Рецензия на книгу "Математический Петербург. История, наука, достопримечательности: Справочник-путеводитель / Ред.-сост. Г.И. Синкевич, науч. ред. А.И. Назаров. — СПб.: Образовательные проекты, 2018. - 336 с.". Книга посвящена историческому развитию и современному состоянию математической жизни Санкт-Петербурга с XVIII в. до настоящего времени. Речь идёт о научной и учебной деятельности в академических институтах, университете и других вузах города, о работе Математического общества, архивов и библиотек, о работе с талантливыми детьми в специализированных школах, о математических олимпиадах.

Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различными методами, начиная с работы К.~Зигеля 1929 г.. Это направление теории диофантовых приближений исследовалось такими авторами как М.~Хата [1]-[2], Ф.~Аморозо и К.~Виола [3], А.~Хеймонен, В.~Матала-Ахо и К.~Ваананен [4]-[5] и многими другими. В последние десятилетия был получен ряд интересных результатов в этой области, усилено много ранее известных оценок меры иррациональности, как для значений гипергеометрической функции, так и для других величин.

В настоящее время одним из широко применяемых подходов при построении оценок показателя иррациональности является использование интегральных конструкций, симметричных относительно какой-либо замены параметров. Симметризованные интегралы и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж.~Рина [6], но наиболее активное развитие это направление приобрело после работы В.~Х.~Салихова [7], получившего с помощью симметризованного интеграла новую оценку для $\ln{3}$. Впоследствии симметричность различного типа позволила доказать ряд значимых результатов. Были получены новые оценки для некоторых значений логарифмической функции, функции $\arctg{x}$, классических констант (см., например, [8] -- [18]). В 2014~г., используя общие симметризованные многочлены первой степени вида $At-B$, где $t=(x-d)^2$, К.~Ву и Л.~Ванг усилили результат В.~Х.~Салихова о мере иррациональности $\ln{3}$ (см.[19]). В работе [20] идея симметричности была применена к интегралу Р.~Марковеккио, доказавшего ранее новую оценку для $\ln{2}$ в [21], что позволило улучшить результат для $\pi/3$.

Данная статья является продолжением работы [22], обобщающей результаты для двух типов симметричных интегральных конструкций. Первая позволяет более эффективно оценить показатели иррациональности чисел вида $\sqrt{d}\ln{\frac{\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}$ при $d=2^{2k+1}, d=4k+1$ для некоторых $k\in\mathbb N$ (см. [22]). Используя данный интеграл, также можно получить оценки меры иррациональности чисел $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}},\ k\in\mathbb N$. Вторая рассматриваемая интегральная конструкция дает возможность оценивать меру иррациональности некоторых значений логарифмической функции, используя симметричность другого типа, что было подробно рассмотрено в [22]. Данный интеграл позволяет также оценивать меру иррациональности значений $\frac{1}{\sqrt{k}}\arctg{\frac{1}{\sqrt{k}}}$. Обобщение этого случая предлагается в данной работе.

Цель. Целью работы является изучение вклада отечественных математиков (В.В. Немыцкого, А.Н. Тихонова, А.А. Маркова, М.Г. Крейна, В.Л. Шмульяна и др.) в развитие метода неподвижной точки за период  с начала 1920-х гг. до конца 1950-х гг.

Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ перечисленных учёных в контексте общемирового процесса развития нелинейного функционального анализа на фоне достижений американских (Дж. Биркгофа, О. Келлога), польских (С. Банаха, С. Мазура, Ю. Шаудера, К. Борсука и др.), итальянских (Р. Каччиополи), французских (Ж. Лере) и немецких (Э. Роте) математиков.

Результат. Вклад советских учёных в области метода неподвижной точки оказался сопоставимым с вкладом остальной части мирового математического сообщества в рассматриваемый период. Это подтверждается  как количеством доказанных теорем о неподвижной точке, так и их качеством. Благодаря усилиям советского математика М.А. Красносельского с середины 1950-х гг.  метод неподвижной точки приобрёл своё значение, как общий метод для решения широкого класса задач качественного характера, относящихся к анализу нелинейных операторных уравнений (до указанного времени обсуждаемый метод рассматривался, только как инструмент для доказательства разрешимости  абстрактных аналогов нелинейных интегральных или дифференциальных уравнений и их систем).

Обсуждение. Анализ достижений в области метода неподвижной точки в мировом контексте показал, что развитие нелинейного функционального анализа (как, впрочем, и любого другого раздела математики) есть процесс наднациональный, который осуществляется усилиями математиков из разных стран. Этот процесс выходит за рамки любой научной школы, какой бы крупной она не была.

Фибиномиальное тождество --- это тождество, сочетающее числа Фибоначчи с биномиальными или мультиномиальными коэффициентами.
В этой статье для получение новых фибиномиальных тождеств мы используем семейства определителей и перманентов нижних матриц Хессенберга специального вида
(так называемых матриц Теплица-Хессенберга, т.е. матриц порядка $n\times n$ вида $H_n=(h_{ij})$, где $h_{ij}=0$ для всех $j>i+1$, $h_{ij}=a_{i-j+1}$ и $a_{i,i+1}=2$),
элементами которых являются числа Фибоначчи $F_n$ с последовательными, четными и нечетными индексами.

Полученные формулы для детерминантов и перманентов могут быть записаны как тождества, включающие суммы произведений чисел Фибоначчи и мультиномиальные коэффициенты.
Например, для всех $n\geq1$ имеет место тождество
$$
\sum_{s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n}(-1)^{s_1+\cdots+s_n}{s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}\left(\frac{F_2}{2}\right)^{s_1}\left(\frac{F_4}{2}\right)^{s_2}\cdots\left(\frac{F_{2n}}{2}\right)^{s_n}=
\frac{1-4^n}{3\cdot 2^n},
$$
где ${s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}=\frac{(s_1+\cdots+s_n)!}{s_1!\cdots s_n!}$ -- мультиномиальный коэффмцмент, а суммирование производится по всем целым $s_i\geq0$,
удовлетворяющих уравнению $s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n$.

Использование определителей матриц Теплица-Гессенберга позволило нам, в частности, получить формулы, устанавливающие связь между числами Фибоначчи и числами Якобсталя, Пелля, Пелля-Люка.

Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horv\'ath установили ряд интересных
результатов относительно точной константы Никольского
$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)$ в весовом неравенстве
\[
\sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le
\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}
\biggl(2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}
\]
для подпространства $\mathcal{E}^{\sigma}\cap
L^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1}\,dx)$ четных целых функций $f$
экспоненциального типа не больше $\sigma>0$, где $1\le p<\infty$ и $\alpha\ge
-1/2$.

Мы доказываем, что при тех же $\alpha$ и $p$
\[
\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p),
\]
где $\mathcal{L}(\alpha,p)$~--- точная константа в неравенстве Никольского
\[
\sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}
\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}
\]
для произвольных (не обязательно четных) функций $f\in
\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\cap
L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$.

Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p):=
(2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p),
\]
которые имеют следующий вид:
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in
(0,\infty),
\]
и для фиксированного $p\in [1,\infty)$
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p}\,(1+o(1))},\quad
\alpha\to \infty.
\]
Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда $p=2$. В этом случае
$\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ для каждого $\alpha\ge -1/2$.

Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности,
для доказательства равенства
$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ применяется четный
положительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T^{t}$, который ограничен в
$L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой~$1$ и инвариантен на
подпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.

Доказательство верхней оценки константы $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ основано на
оценке норм воспроизводящего ядра подпространства $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$
и мультипликативном неравенстве для константы Никольского. Для получения нижней
асимптотической оценки мы рассматриваем нормированную функцию Бесселя
$j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ порядка $\nu\sim (2\alpha+2)/p$.

Для $0<p<\infty$ мы изучаем взаимосвязь между константой Никольского для
тригонометрических полиномов порядка не больше $n$
\[
\mathcal{C}(n,p)=\sup_{T_{n}\ne 0}\frac{\|T_{n}\|_{\infty}}{\|T_{n}\|_{p}}
\]
и константой Никольского для целых функций экспоненциального типа не
больше~$1$
\[
\mathcal{L}(p)=\sup_{f\ne 0}\frac{\|f\|_{\infty}}{\|f\|_{p}}.
\]

Недавно Е.~Левин и Д.~Любинский доказали, что
\[
\mathcal{C}(n,p)=\mathcal{L}(p)n^{1/p}(1+o(1)),\quad n\to \infty.
\]
М.~Ганзбург и С.~Тихонов обобщили этот результат на случай констант
Никольского--Бернштейна.

Мы доказываем неравенства
\[
n^{1/p}\mathcal{L}(p)\le \mathcal{C}(n,p)\le (n+\lceil
p^{-1}\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p),\quad n\in \mathbb{Z}_{+},\quad 0<p<\infty,
\]
которые уточняют результат Левина и Любинского. Доказательство следует нашему
старому подходу, основанному на свойствах интегрального ядра Фейера. С помощью
этого подхода ранее были доказаны оценки при $p=1$
\[
n\mathcal{L}(1)\le \mathcal{C}(n,1)\le (n+1)\mathcal{L}(1).
\]

Данные неравенства позволяют оценить константу $\mathcal{L}(p)$, приближенно
вычисляя $\mathcal{C}(n,p)$ для больших $n$. Чтобы это сделать мы используем
недавние результаты В.В.~Арестова и М.В.~Дейкаловой, которые выразили константу
Никольского $\mathcal{C}(n,p)$ при помощи алгебраического полинома $\rho_{n}$,
наименее уклоняющегося от нуля в пространстве $L^{p}$ на отрезке $[-1,1]$ с
весом $(1-t)v(t)$, где $v(t)=(1-t^{2})^{-1/2}$~--- вес Чебышева. Как следствие,
мы уточняем оценки для константы Никольского $\mathcal{L}(1)$ и находим, что
\[
1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.082.
\]
Для сравнения предыдущие оценки были $1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.098$.

Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяют
следующему свойству:
\[
\int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1,
\tag{$*$}
\]
где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ это
свойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеют
приложения в теории чисел.

В одномерном случае неравенство~($*$) изучалось Б.Ф.~Логаном (1988), а также
недавно А.~Ефимовым, М.~Гаалом и Сц.~Ревешем (2017). Было доказано, что
$2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$.
Вопрос о точных константах здесь открыт.

Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства
$\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В.~Горбачевым и С.Ю.~Тихоновым (2018). В
частности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций
$f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$
\[
\int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx,
\]
где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда на
радиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство
\[
\int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in \mathbb{N}.
\]

Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:
\[
\int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\le
C_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2,
\]
где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$~--- произвольная четная
непрерывная положительно определенная функция относительно веса
$x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М.~Левитаном (1951) и означает, что
для произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица
$(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь
$T_{\alpha}^{t}$~--- оператор обобщенного сдвига Бесселя--Гегенбауэра. Левитан
доказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласно
которому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).

Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$
\[
c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quad
R\ge 1.
\]
Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательства
верхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида
$\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$~--- характеристическая
функция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.

Мы предлагаем высокоточный метод вычисления потенциала для многоатомной системы в прямом пространстве. Отличительная особенность метода состоит в разделении электронной плотности $\rho$ и потенциала $\varphi$ на две части: $\rho=\rho_0+\widehat{\rho},\; \varphi=\varphi_0+\widehat{\varphi},$ где $\rho_0$ --- сумма сферических атомных плотностей, $\widehat{\rho}$ --- результат взаимодействия атомов в многоатомной системе; потенциал $\varphi_0$ порождается плотностью $\rho_0,$ потенциал $\widehat{\varphi},$ порожденный плотностью $\widehat{\rho},$ в нашей работе находится путем решения уравнения Пуассона.

Для нахождения граничных условий применяется мультипольное разложение потенциала. Для обеспечения высокой точности мы разделяем расчетное пространство на многогранники Вороного и применяем асимптотические оценки итераций при замене характеристической функции гладкими приближениями. Для численного решения уравнения Пуассона мы используем двух--~сеточный метод и Фурье--~преобразование на этапе начальной итерации.

Мы получили теоретические оценки точности метода $O(h^{\alpha-1}),$ где $h$ --- шаг сетки, $\alpha$ --- фиксированное число, большее 1.

В работе приводится обзор результатов, получен\-ных в ходе работы по теме 0АААА-А16-116070810025-5 и по завершившемуся совместному проекту
с индийскими алгебра\-истами С. Чакрабарти, С. Гангопапдуем, С. Палом. В работе приняли участие
российские алгебраисты В.Т. Марков и А.Е. Панкратьев.

Цель работы состоит в изучении алгебраических свойств ко\-нечных полиномиально полных квазигрупп, проблемы их рас\-ознавания по латинскому квадрату и в построении полиноми\-ально полных квазигрупп квазигрупп достаточно большого по\-рядка. Кроме того, нас интересуют полиномиально полные квазигруппы без подквазигрупп.
Приведены достаточные ус\-ловия полиномиально полноты квазигруппы $Q$ в терминах груп\-пы $G(Q)$. Например, достаточно, чтобы $G(Q)$ действовала два\-жды транзитивно на $Q$. Отмечено поведение $G(Q)$ при изото\-пиях.
Показано что любую конечную квазигруппу можно вло\-жить в полиномиально полную. Рассмотрена конструкция би\-произведения квазигрупп. Результаты применяются для за\-щиты информации.

В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде $M_{q,1}$, состоящем из натуральных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$. При $q>2$ моноид $M_{q,1}$ не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с 1 по модулю $q$, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай $q=3,4,6$ выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с $q-1$ по модулю $q$. Таким образом, для множества простых элементов $P(M_{q,1})$ моноида $M_{q,1}$ в этом случае справедливо равенство $P(M_{q,1})=\mathbb{P}_{q,1}\bigcup(\mathbb{P}_{q,q-1}\cdot\mathbb{P}_{q,q-1})$.

Так как моноид $M_{q,1}$ не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция
$$
\zeta(M_{q,1}|\alpha)=\sum_{n\in M_{q,1}}\frac{1}{n^\alpha}
$$
моноида $M_{q,1}$ не равна эйлерову произведению
$$
P(M_{q,1}|\alpha)=\prod_{r\in P(M_{q,1})}\left(1-\frac{1}{r^\alpha}\right)^{-1}.
$$
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде $M_{q,1}$ с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.

Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.

Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$ и равных произведению двух простых чисел.

Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах $M_{q,1}$ при $q=3,4,6$.

В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

В работе продолжено рассмотрение нового класса рядово Дирихле --- дзета-функции моноидов натуральных чисел. Основной задачей, решаемой в данной статье, является построение моноида натуральных чисел, для которого дзета-функция этого моноида имеет заданную абсциссу абсолютной сходимости.

Ранее автор решил аналогичную задачу построения множества натуральных чисел, для которого соответствующая дзета-функция имеет заданную абсциссу абсолютной сходимости.

Для решения задачи для дзета-функции моноида натуральных чисел возникают определенные трудности, связанные с необходимостью построения последовательности простых чисел, удовлетворяющих определенным требованиям на рост членов.

Было введено понятие $\sigma$"=последовательности $\mathbb{P}_\sigma$ простых чисел, члены которой удовлетворяют неравенству $n^\sigma\le p_n<(n+1)^\sigma.$

С помощью теоремы Ингама с кубическим ростом простых чисел удалось построить $\sigma$"=последовательность простых чисел для любого $\sigma\ge3$. Для соответствующей дзета-функции моноида, порожденного данной $\sigma$"=последовательностью простых, абсцисса абсолютной сходимости равна $\frac{1}{\sigma}$. Таким образом, с помощью теоремы Ингама удалось решить проблему для значений абсциссы абсолютной сходимости от 0 до $\frac{1}{3}$. Для таких моноидов удается получить асимптотическую формулу для функции распределения простых чисел $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)$: $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)=x^{\frac{1}{\sigma}}+\theta(x)$, где $-2<\theta(x)<-1$.

Для доказательства существования моноида натуральных чисел, для дзета-функции которого значение абсциссы абсолютной сходимости от $\frac{1}{3}$ до 1, потребовалось использовать теорему Россера о простых числах. Для этого было введено понятие $\sigma$"=последовательности второго рода.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

В работе рассматривается структура данных - дерево процессов Linux, возникающая вследствие иерархической схемы порождения процессов в Unix-подобных операционных системах. Целью исследования является выделение свойств деревьев процессов Linux, позволяющие заключить о применимых методах анализа таких деревьев, с целью решения задачи сохранения и восстановления состояний исполняемых сред операционной системы Unix-подобных операционных систем. Формулируется обратная дискретная задача восстановления цепочек системных вызовов, порождающих некоторое дерево процессов, а также
ряд ограничений на вид системного вызова и утверждение о существовании решения, заключающее корректность ввода. Приводятся комбинаторные оценки общего количества деревьев при порождении системным вызовом fork, вводится поправка на различимость идентификаторов. Осуществляется обоснование возможности индексирования деревьев по узлам, благодаря образованию некорневыми идентификаторами симметрической группы.Таким образом, доказывается функциональная эквивалентность автоморфных деревьев
с перестановками некорневых идентификаторов. Демонстрируется комбинаторный взрыв числа функционально различных деревьев при добавлении нового системного вызова. Ввиду приведённых оценок, проводится заключение о неэффективности восстановления деревьев процессов перебором или прямым поиском, предлагается идея построения некоторых восстанавливающих математических формализмов, учитывающих структуру задачи.

Далее рассматривается свойство наследования атрибутов в дереве процессов, позволяющее локализовать область поиска нужного атрибута при проверке применимости правила системного вызова, таким образом снизив количество проверок. Заключается свойство сегментации дерева процессов Linux. На базе приведённых свойств формулируется заключение о целесообразности построения решения задачи восстановления цепочек системных вызовов, восстанавливающих дерево процессов, на базе теории формальных языков и грамматик, используя формализмы класса мягко-контекстно-зависимых. Приводятся обзорно альтернативные способы решения задачи.

Ключевые слова: математическое моделирование, перечислительная комбинаторика, группы, деревья, Unix-подобные операционные системы, системные вызовы, дерево процессов, восстановление по контрольным точкам, формальные грамматики.

В работе исследуются свойства уравнений, которые используются при расчете пластического формоизменения  дилатирующих материалов (порошков сталей, чистых металлов, цветных сплавов) в концепции пластического газа. Приведена полная система  основных уравнений теории течения  жесткопластических изотропных дилатирующих сред. Рассматривается частный случай плоской деформации, для медленного установившегося пластического течения,  вследствие чего начальные условия при решении задачи  не формулируются. Учитывая, что сплошная среда при нагружении изменяет свою плотность, задается закон объемной сжимаемости, и  привлекается условие пластичности, которые взаимно  удовлетворяются.  Для уравнений равновесия, неразрывности и соотношения коаксиальности  девиаторов построена  система уравнений, дано её аналитическое решение. Выписаны   для случая плоской деформации изотропной дилатирующей среды, наделенной свойствами пластического газа, граничные условия для напряжений, плотностей и  скоростей.

В статье доказано, что к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти суммой квадратов трех простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{217/768+\varepsilon}$ и можно подойти суммой четырех квадратов простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{1519/9216+\varepsilon}$, где $\varepsilon$ -- произвольное положительное число.

Данные \quad результаты \quad получены \quad при \quad помощи \quad плотностной \quad техники, \quad разработанной Ю.В. Линником в 1940-х годах. Плотностная техника основана на применении явных формул, выражающих суммы по простым числам, через суммы по нетривиальным нулям дзета-функции Римана и использовании плотностных теорем -- оценок количества нетривиальных нулей дзета-функции, лежащих в критической полосе и таких, что их реальная часть больше некоторого $\sigma$, где $1>\sigma\geq 1/2$.

Содержащиеся в статье результаты основаны на применении современных плотностных теорем, полученных А. Ивичем. Кроме того, при доказательстве была использована теорема Бейкера, Хармана, Пинтца: к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти простым числом на расстояние не большее, чем $H=N^{21/40+\varepsilon}$. Также использован результат полученный ранее автором: к заданному действительному числу $N>N_0(\varepsilon)$ можно подойти суммой квадратов двух простых чисел на расстояние не большее, чем $H=N^{31/64+\varepsilon}$.

Функционально-градиентные пироматериалы находят
широкое применение при создании различных диагностических приборов. Для
правильного расчета устройств, использующих пироэффект, необходимо знание
материальных характеристик. В случае неоднородных предварительно-напряженных
тел прямые измерения материальных характеристик невозможны, поскольку они
представляют собой некоторые функции координат. Нахождение характеристик
неоднородных пироматериалов возможно только на основе аппарата
коэффициентных обратных задач термоэлектроупругости (КОЗТ), который
практически не разработан. В работе приведена постановка обратной задачи
термоэлектроупругости для предварительно-напряженного
функционально-градиентного стержня. Для этого на основе подхода,
предложенного Гузем А.Н. для упругих тел, были получены уравнения термоэлектроупругости для
предварительно-напряженного стержня. Проведено обезразмеривание задачи.
Получена слабая постановка прямой задачи термоэлектроупругости. На основе
слабой постановки и метода линеаризации получены операторные уравнения для
решения обратной задачи на основе итерационного процесса. В ходе
итерационного процесса поправки к восстанавливаемым характеристикам
термоэлектроупругого стержня определялись из решения интегральных уравнений
Фредгольма 1-го рода. Прямая задача решалась на основе метода сведения к
системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода в трансформантах по
Лапласу и использовании процедуры обращении, реализуемой в соответствии с
теорией вычетов Проведена серия вычислительных экспериментов по
восстановлению характеристик, изменение которых оказывает существенное
влияние на дополнительную информацию. В вычислительных экспериментах
восстанавливалась одна из характеристик термоэлектроупругого стержня при
известных остальных. Даны практические рекомендации по выбору наиболее
информативных временных интервалов для измерения входной информации.
Выяснено, что появление начальных напряжений существенно влияет на
результаты реконструкции характеристик стержня.

В статье рассматривается задача дифракции плоской звуковой волны на
однородном упругом шаре с радиально-неоднородным упругим покрытием,
находящемся вблизи плоскости. Полагается, что тело помещено в
идеальную жидкость, подстилающая плоская поверхность является
абсолютно жесткой или абсолютно мягкой, законы неоднородности
материала покрытия описываются непрерывными функциями.

Задача сведена к задаче дифракции на двух телах. Согласно методу
мнимых источников граница раздела сред заменена на зеркально
отображенный мнимый шар, находящийся в поле двух плоских волн.
Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой
волны на двух одинаковых однородных упругих шарах с
радиально-неоднородными покрытиями, находящихся в безграничной
идеальной жидкости. Для решения задачи использована теорема сложения
для сферических волновых функций. Получено аналитическое описание
волновых полей в содержащей среде и однородных упругих телах в виде
разложений по сферическим функциям, а для нахождения полей смещений
в неоднородных покрытиях шаров построена краевая задача для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. На основе
решения задачи дифракции плоской волны на двух телах записано
решение дифракционной задачи в случае рассеяния второй плоской
волны. Путем суммирования результатов решения двух дифракционных
задач получено аналитическое решение задачи дифракции плоской
звуковой волны на упругом шаре с покрытием, находящемся вблизи
плоской поверхности.

С помощью непрерывно-неоднородных упругих покрытий можно эффективно
изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях,
если подобрать соответствующие законы неоднородности для
механических параметров покрытия.

Физические процессы рассеяния электромагнитных волн и процессы
порождения аномалий при передаче информации в сетевых каналах связи
рассмотрены с единых позиций преобразований многомерных потоков данных соответствующими
операторами эволюции, действующими как проекционные операторы. Основанием
работы послужили результаты исследований одного из авторов, посвященные
задачам синтеза объемных голографических фильтров для обработки когерентных
оптических сигналов, задачам локации объектов, движущихся в неоднородной среде,
а также результаты совместных работ авторов в области
защиты информации, передаваемой по каналам связи. В настоящей работе делается
определенное обобщение результатов данных исследований. Так,
поставлена и решена прямая задача реконструкции стационарного оператора эволюции,
описывающего упругое рассеяние когерентного электромагнитного поля на
пространственных неоднородностях стационарной среды. Показано, что с
точностью до малых помех, пропорциональных дисперсии неоднородностей среды,
оператор эволюции представляется в виде проекционного оператора или активного
фильтра угловых (пространственных) частот поля. На основании полученных результатов
неупругое рассеяние нестационарного электромагнитного поля в нестационарной среде
рассматривается как его преобразование нестационарным оператором эволюции, также
имеющим вид проекционного оператора или активного фильтра, но преобразующего временные
частоты поля. По аналогии с задачами рассеяния оператор эволюции в виде проекционного
оператора, реконструируемого по наблюдаемым сетевым информационным потокам данных,
применяется к описанию процессов порождения аномалий при
передаче информации в каналах связи. Оператор эволюции используется для
формирования специальных статистик многомерного процесса, которые возможно использовать
для его последовательного статистического анализа и классификации. Приводятся
примеры практического использования этих статистик для обнаружения и классификации
аномалий сетевого трафика. В частности, проведен вычислительный эксперимент по
формированию статистических распределений значений информативных признаков
реального трафика и классификации на их основе различных типов сетевых атак.
Результатом экспериментальных исследований стало подтверждение
эффективности метода реконструкции оператора эволюции сетевого трафика.

В статье рассмотрены некоторые аспекты проблемы разработки математического, алгоритмического и программного аппарата моделирования характеристик вновь создаваемых материалов, изготовленных с применением аддитивных технологий. Показана актуальность разработки методики подхода к компьютерному моделированию, объединенной общей идеологией многомасштабного моделирования и технологиями параллельных вычислений, обмена и обработки входных и выходных данных.

Сделан вывод о целесообразности применения при моделировании процессов для оценки напряженно-деформируемого состояния изделия полученного с использованием наиболее перспективной и активно внедряемой в настоящий момент аддитивной технологии селективного лазерного спекания целесообразно применять экспериментальный стенд на основе специализированного вычислительного кластера.

В статье предложен подход к оптимизации программной среды экспериментального стенда для оценки напряженно-деформируемого состояния изделия полученного с использованием аддитивных технологий. Сформулирована задача проектирования оптимального состава программного обеспечения информационно- измерительного стенда с применением сетей Петри--Маркова. Предложено для ее решения использовать метод целенаправленного выбора. Разработана методика целенаправленного проектирования оптимального состава программного обеспечения как систем массового обслуживания. Рассмотрено решение экспериментального нахождения эффективных физико-механических свойств материалов, изготовленных с применением аддитивных технологий.

Исследуется функционирование сложных объектов, управляемых ЭВМ. Показано, что абстрактным аналогом функционирования каждого контура управления является ординарный полумарковский процесс. Указанной абстракции недостаточно для аналитического моделирования объекта в целом, поэтому для описания синхронизационных процессов необходима более сложная модель, которая получается интегрированием ординарных процессов в комплексный полумарковский процесс. Для определения подобной абстракции введен термин «функциональные состояния», которые получаются как все возможные комбинации структурных состояний. Предложен метод определения элементов полумарковской матрицы комплексного процесса. Показано, каким образом могут быть определены временные интервалы блужданий по комплексному полумарковскому процессу.

В согласии с философско-математической мыслью ранних пифагорейцев, для заданных отрезков $s$ и $t$ мог быть найден отрезок $u$, содержащийся ровно $n$ раз в $s$ и $m$ раз в
$t$ при некоторых подходящих числах $n$ и $m$. Справедливость этого положения была подвергнута самими же пифагорейцами при обнаружении ими несоизмеримости стороны и диагонали правильного пятиугольника. Это фундаментальное историческое открытие, прославившие Пифагорейскую школу, оставило <<забытым>> предшествующий ему этап исследований. Именно фаза поиска $u$, начатая многочисленными неудачными попытками и завершившаяся разработкой известной техники доказательства <<чётное-нечётное>>, является объектом нашей <<творческой интерпритации>> исследований Пифагора, которую мы приводим в этой статье. В частности, будет выявлена сильная связь между пифагорейским тождеством $b(b+a)-a^2=0$ относительно стороны $b$ и диагонали
$a$ правильного пятиугольника и тождеством Кассини
$F_{i}F_{i+2}-F_{i+1}^2=(-1)^{i}$ для трех последовательных чисел Фибоначчи. Более того, эти два тождества были обнаружены Пифагорейской школой <<почти одновременно>>, и, следовательно, числа Фибоначчи и тождество Кассини имеют пифагорейское происхождение. Нам не известны архивные документы (уже столь редкие для изучаемого периода!), касающиеся этого утверждения, но в статье приводятся ряд математических заключений в его подтверждение. Приведенный в работе анализ дает новую (и естественную) характеризацию чисел Фибоначчи, до сих пор отсутствующую в литературе.

В первой части нашего исследования рассматриваются общие вопросы теории функций плотности и $\rho$-полуаддитивных функций, которые часто используются
в теории роста целых и субгармонических функций и в других разделах математики. В теории функций плотности важной и часто цитируемой является теорема Полиа о существовании максимальной и минимальной плотности. Утвеpждение 3 теоpемы \ref{T6} или теоpему \ref{T7} статьи можно pассматpивать как pаспpостpанение теоpемы Полиа на более шиpокий класс
функций. Функции плотности обладают некоторыми свойствами полуаддитивности.
Некоторые вопросы теории функций плотности и $\rho$-полуаддитивных функций
изложены в первой части нашего исследования. Центральной здесь является теорема \ref{T2-6}, касающаяся
условий существования в нуле производной $\rho$-полуаддитивной функции и
оценка интегралов
$
\int\limits_a^bf(t)\,d\nu(t)
$
через функции плотности для функции $\nu$. Отметим, что функция $\nu$ у нас,
вообще говоря, не является функцией распределения некоторой счетно-аддитивной
меры и написанный интеграл нужно понимать как интеграл Римана-Стилтьеса, а не
как интеграл Лебега по мере $\nu$.

Исследуются $n$-квазигруппы \mbox{$(n\geqslant3)$} со следующим свойством \textit{слабой обратимости}.
Если на каких-то двух наборах из $n$ аргументов с одинаковыми началами, одинаковыми концами, но с различными оставшимися средними частями (одной длины) результат операции одинаков, то при любых одинаковых началах (другой длины), при прежних средних частях и при любых одинаковых концах (соответствующей длины) результат операции будет одинаков.
Для таких $n$-квазигрупп
доказывается аналог теоремы Поста -- Глускина -- Хоссу, которая сводит операцию $n$-квазигруппы к групповой.
Утверждаемое теоремой представление $n$-квазигрупповой операции с помощью автоморфизма группы, как оказалось, имеет место в более слабых (и вполне естественных) предположениях, нежели ассоциативность и $(i,j)$-ассоциативность, требовавшиеся ранее.
Хорошо известные $(i,j)$-ассоциативные $n$-квазигруппы удовлетворяют рассматриваемому условию слабой обратимости.

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием {\it рядов Дирихле}
$f(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$ и {\it сумматорных функций} $\Phi(x)=\sum\limits_{n\leq x} a_n$ их
коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является {\it дзета-функция Римана} $\zeta(s)$, определенная для любого комплексного
числа $s=\sigma+it$ с действительной частью $\Re s=\sigma> 1$ как
$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$

Квадрат дзета-функции
$
\zeta^{2}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \,\,
\Re s >1,$
связян с {\it функцией делителей}
$\tau(n)=\sum\limits_{d|n}1$, дающей число натуральных делителей
натурального числа $n$. Сумматорной функцией ряда Дирихле $\zeta^2(s)$ является функция $D(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau(n)$, вопросы асимптотической оценки которой известны как {\it проблема делителей Дирихле}.
В общем случае,
$
\zeta^{k}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \,\,
\Re s>1,
$
где функция $\tau_k(n)=\sum\limits_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$ дает число представлений
натурального числа $n$ в виде произведения $k$
натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $
\zeta^k(s)$ является функция $D_k(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau_k(n)$. Ее изучение - это {\it многомерная проблема делителей Дирихле}.

 

Логарифмическая производная
$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции представима в
виде $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=$ $=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}
\frac{\Lambda(n)}{n^s},$ $\Re s >1.$
Здесь $\Lambda(n)$ - {\em функция Мангольдта}, которая
определяется как $\Lambda(n)=\log p$, если $n=p^{k}$ для простого
$p$ и натурального $k$, и как $\Lambda(n)=0$, иначе.
Таким образом, {\em функция Чебышева}
$\psi(x)=\sum\limits_{n\leq x}\Lambda(n)$
является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$, соответствующего
логарифмической производной $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$
дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с {\it асимптотическим законом распределения простых чисел}.

В частности, хорошо известно представление функции $\psi(x)$ по нулям дзета-функции:
$\psi(x)=x-\sum\limits_{|\Im \rho|\leq
T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right),
$ где $x=n+0,5$, $n \in\mathbb{N}$, $2\leq T \leq x$,
и $\rho=\beta+i\gamma$ - {\it нетривиальные нули} дзета-функции Римана,
то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в
{\em критической полосе} $0< \Re s<1$.

Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева:
$$\psi_{1}(x)=\sum\limits_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n) \, \mbox{ и } \,
\psi_{2}(x)=\sum\limits_{n \leq x}\Lambda(n)\ln\frac{x}{n}.$$
Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных
функции Чебышева, если использовать логарифмические производные $L$-функций Дирихле.

Специальные функции математической физики составляют основу математического аппарата в разнообразных областях анализа, прикладной математики, математической физики и квантовой механики. Хотя анализу свойств специальных функций уделяется традиционно большое внимание, тем не менее, огромное количество формул, часто эквивалентных или близких по структуре, а также большое разнообразие приемов, используемых для их вывода, указывают на отсутствие единых начал в этой важной области анализа, что создает определенные трудности как для систематизации известных свойств специальных функций, так и для вывода новых соотношений. В связи с этим, использование теоретико-группового подхода к изучению базисных функций неприводимых представлений полупростых групп дает технически эффективный и удобный для приложений метод вывода новых свойств, интегральных соотношений и континуальных теорем сложения для специальных функций. В этой работе рассмотрены лишь вырожденные унитарные представления группы О(3,1), построены функции на конусе, реализующие эти представления, вычислены коэффициенты перехода между различными базисными функциями, отвечающими редукции группы Лоренца на различные подгруппы. В работе также показано, что формулы, содержащие функции Мейера и Макдональда можно получить используя представления группы Лоренца.

В работе продолжено исследование роли Н. М. Коробова в развитии теоретико-числового метода в приближенном анализе.

Одно из центральных мест в теоретико-числовом методе в приближенном анализе занимает метод оптимальных коэффициентов. Первый пример гиперболической дзета-функции решёток появился в работах Н. М. Корбова и Н. С. Бахвалова в 1959 году как оценка погрешности интегрирования на классе $E_s^\alpha$ с помощью квадратурных формул, построенных на параллелепипедальных сетках.

В данной работе выделены 5 этапов-направлений в теории гиперболической дзета-функции решёток.

Во-первых, это этап становления общей теории, который исторически занимает период от 1959 года по 1990 год. За этот период Была построена теория квадратурных формул с обобщёнными параллелепипедальными сетками и показано, что норма погрешности приближенного интегрирования на классе $E_s^\alpha$ либо равна гиперболической дзета-функции решёток, случай целочисленной решётки, либо оценивается сверху через неё в случае произвольной решётки.

Второй этап начался в середине 90-х годов, когда появилось новое направление исследований гиперболической дзета-функции решёток как функции комплексного аргумента $\alpha=\sigma+it$ на метрическом пространстве решёток. Это направление продолжает развиваться и по настоящее время.

Следующий этап, который тоже начался в середине 90-х годов был связан с рассмотрением обобщённой гиперболической дзета-функции решёток, или другими словами гиперболической дзета-функции на сдинутых решётках.

Четвертый этап, который стал самостоятельным направлением исследований, начался в конце 90-х, в начале 2000-х годов. Он связан с вопросом получения функционального уравнения для аналитического продолжения гиперболической дзета-функции решёток.

Наконец, последнее новое направление этой теории логически возникшее из предыдущих связано с изучение дзета-функций моноидов натуральных чисел.

В работе раскрыта определяющая роль профессора Н. М. Коробова в становлении и развитии теории гиперболической дзета-функции решёток.

Термин "универсальность" для функций был введен в начале 70-х годов Е.М. Ворониным и смысл, который вкладывается в это понятие, заключается в том, что весьма общий класс аналитическихческих функций допускает приближение вертикальными сдвигами данной функции. В 1975 году С.М. Воронин доказал свойство универсальности для дзета-функций Римана, а в 1977 году для L-функции Дирихле.

В данной работе предлогается доказательство свойства универсальности для L-функций Дирихле отличное от доказательства С.М. Воронина, основанное на быстром приближении в критической полосе L-функций Дирихле полиномами Дирихле.

Изучение абелевых групп без кручения конечного ранга было начато в
работах Л.С. Понтрягина [1], А.Г. Куроша [2], А.И. Мальцева [3],
Д. Дерри [4], Р. Бэра [5], Р. Бьюмонта и Р. Пирса [6,7]. В
частности, Бьюмонт и Пирс в [6] ввели понятие факторно делимой
группы без кручения. Понятие факторно делимой группы было
расширено на случай смешанных групп в работе [8]. В этой же работе
[8] было доказано, что категория смешанных факторно делимых групп
с квазигомоморфизмами является двойственной категории групп без
кручения конечного ранга также с квазигомоморфизмами. Новая версия
категории [8] была получена в [9, 10]. Категории групп с
квазигомоморфизмами были заменены на категории групп с отмеченными
базисами и с обычными гомоморфизмами такими, что их матрицы
относительно отмеченных базисов состоят из целых чисел.
Двойственность [8] была также расширена в статье С. Бреаза и Ф.
Шультца [11] на класс самомалых групп. Смешанные факторно делимые
группы, также как и самомалые группы, находятся в настоящее время
в фокусе внимания [12-35].

В данной статье мы доказываем две теоремы об однородных вполне
разложимых факторно делимых смешанных группах. В первой теореме мы
показываем, что для любого базиса такой группы существует
разложение этой группы в прямую сумму групп ранга 1 такое, что
элементы данного базиса сами являются базисами в соответствующих
группах ранга 1. Более того, для любых двух базисов такие
разложения изоморфны. Во второй теореме мы показываем, что любая
точная последовательность смешанных факторно делимых групп
$0\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow C\rightarrow 0$
расщепляется, если группа $A$ является однородной вполне
разложимой. Эта теорема является дуализацией следующего
классического результата Бэра. Любая сервантная подгруппа
однородной вполне разложимой группы без кручения конечного ранга
выделяется прямым слагаемым в этой группе.

В данной работе проводится исторический обзор результатов по проблеме оценки константы
наилучших совместных диофантовых приближений для $ n $ действительных чисел. Эта проблема
является частным случаем более общей проблемы приближения $ n $ действительных линейных форм и имеет свою богатую историю,
восходящую к П.~Г.~Дирихле. Мы в большей степени остановимся на подходе Г.~Дэвенпорта, основанном
на связи диофантовых приближений с геометрией чисел.

В первой части дается обзор
результатов, полученных для $ n = 1 $ и $ n = 2 $ действительных чисел.
Исторически, в основе оценок для $ n = 1 $ лежит теория цепных дробей, и наиболее значимой является
оценка А.~Гурвица, полученная им в 1891 году. Для $ n = 2 $ в основе известных оценок лежит
математический аппарат линейной алгебры (Ф.~Фуртвенглер),
геометрия чесел (Г.~Дэвенпорт, Дж.~В.~С.~Касселс) и результаты многомерных обобщений цепных дробей
(В.~Адамс, Т.~Кьюзик).

Вторая часть посвящена одной из первых общих оценок снизу, полученной в 1929 году Ф.~Фуртвенглером.
Он построил оценки дискриминантов алгебраических полей, которые приводят к оценке качества приближения
$ n $ действительных чисел рациональными, что в свою очередь приводит в оценке константы
наилучших совместных диофантовых приближений.

В третьей часть изложена наиболее фундаментальная из известных на данный момент оценок, полученная
Г.~Дэвенпортом, а затем доработанная Дж.~В.~С.~Касселсом. Г.~Дэвенпорт обнаружил связь между значением
критического определителя решеток и оценкой некоторых форм. В частном случае, это позволяет
вычислив критический определитель специальной решетки, получить значение константы
наилучших совместных диофантовых приближений. Однако, вычисление критических определителей
для решеток такого вида является сложной задачей. Поэтому Дж.~В.~С.~Касселс перешел
от непосредственного вычисления критического определителя, к оценке его значения.
Этот подход оказался достаточно плодотворным, позволив получить оценки константы
наилучших совместных диофантовых приближений для $ n = 2, 3, 4 $.

В четвертой части дается обзор известных оценок снизу для $ n > 2 $.
Эти результаты основаны на использовании вышеупомянутого подхода Дж.~В.~С.~Касселса.
Стоит отметить, что оценки такого рода являются достаточно сложной вычислительной задачей,
и в каждом отдельном случае решение такой задачи требовало использования новых подходов.

В последней части мы приведем обзор некотрых известных оценок константы
наилучших диофантовых приближений сверху. Хотя данная проблема не является основной темой данной
статьи, значительный интерес представляет сравнение подходов при оценки
константы наилучших совместных диофантовых приближений сверху и снизу.
Первая оценка сверху была получена Г.~Минковским в 1896 году с ипользованием геометрии чисел.
Г.~Ф.~Блихфельдт введя понятие фундаметального параллелепипеда в 1914 году
улучшил результат Г.~Минковского. Позднее подход Г.~Ф.~Блихфельдта получил
развитие в работах П.~Мюллендера, В.~Спона, В.~Г.~Новака.

Параллелоэдр - это выпуклый многогранник в аффинном пространстве, сдвиги которого на векторы некоторой дискретной решетки $L$ заполняют все пространство без зазоров и пересечений по внутренним точкам. Частным случаем параллелоэдра является ячейка Дирихле-Вороного решетки относительно метрики, порожденной положительной квадратичной формой. Более 100 лет назад Г. Вороной предположил, что всякий параллелоэдр есть ячейка Дирихле-Вороного своей решетки относительно некоторой метрики.

А. Ордин ввел понятия неприводимой грани и $k$-неприводимого параллелоэдра, у которого все грани коразмерности $k$ неприводимы. Разбиение на параллелоэдры называется $k$-неприводимым, если его параллелоэдры $k$-неприводимы. Он доказал гипотезу Вороного для 4-неприводимого параллелоэдров.

С каждой фасетой $F$ параллелодра связано два вектора: {\em фасетный} вектор $l_F$ решетки $L$ разбиения $\mathcal T$ на параллелоэдры и {\em нормальный} вектор $p_F$ фасеты $F$. Фасетные векторы целочисленно порождают решетку $L$. Одна из форм знаменитой гипотезы Вороного утверждает, что существуют такие параметры $s(F)$, что нормированные ({\em канонические}) нормальные векторы $s(F)p_F$ целочисленно порождают решетку $\Lambda$. В этой статье определяются {\em однозначно нормируемые} грани $G$ как грани, определяющие однозначно с точностью до общего множителя параметры $s(F)$ всех фасет разбиения $\mathcal T$, содержащих грань $G$. Разбиение, все грани которого коразмерности $k$ однозначно нормируемы, $k$-неприводимо.

Доказывается следующий аналог теоремы А. Ордина: каноническая нормировка фасет разбиения $\mathcal T$ существует, если для некоторого целого $k\ge 1$ все его грани коразмерностей $k$ и $k+1$ однозначно нормируемы. Случаи $k=2$ и $k=3$ соответствуют 2- и 3-неприводимым разбиениям, в смысле А. Ордина.

Существует большое количество различных алгоритмов вычисления Н.О.Д. Прежде всего стоит отметить алгоритмы типа Шонхаге. Они используются для очень больших чисел и имеют наилучшую асимптотическую сложность в худшем случае --- $O(n\log^2(n)\log(\log(n)))$.
Для чисел поменьше используются обобщенный бинарные алгоритмы. Все они основаны на $k$-арной редукции: $\alpha \gcd(u,v)=\gcd(v,\frac{|au \pm bv|}{k})$, целые $u>v>0$, $\gcd(u,k)=\gcd(v,k)=1$, $\alpha \geqslant 1$. Знак $+$ или $-$ ставится в зависимости от версии выбранного алгоритма. Основная задача --- подобрать коэффициенты $a,b$ таким образом, чтобы выполнялось $au+bv=0\bmod k$. Число $k$ обычно выбирают равным простому числу или степени простого числа. Недостаток алгоритмов в том, что в ходе вычислений могут накапливаться дополнительные множители, поэтому в рекуррентном соотношении в начале стоит множитель $\alpha \geqslant 1$. Если $k=2^s$, то получаем обобщенные бинарные алгоритмы. Вебер первым предложил алгоритм поиска коэффициентов на основе подаваемых чисел, его обобщенный бинарный алгоритм работает в пять раз быстрее, чем бинарный алгоритм. Седжелмаси модифицировал алгоритм Джебелеана-Вебера, избавив его от дополнительных множителей, асимптотическая сложность алгоритма в худшем случае --- $O(n^2/\log(n))$.

Коэффициенты Безу --- представление Н.О.Д. $d$ чисел $A,B$ в виде линейной комбинации $Ax + By = d$, где $x$ и $y$
--- целые числа, называемые коэффициентами Безу. В этой статье предложен расширенный алгоритм Джебелеана--Вебера--Седжелмаси вычисления Н.О.Д двух натуральных чисел, выводятся необходимые формулы и приводятся примеры, показывающие как можно вычислять обратные элементы.

Мы рассмотрим проблему деления прямоугольного параллелепипеда на конечное число непересекающихся кубов для некоторых жадных алгоритмов. Сформулированные задачи решаются серией блок-функций с прямой и косвенной (взаимной) рекурсией, написанных на языке программирования свободной программной системы \textit{Maxima}. Все построенные функции проверяются контрольными вычислениями. Заметим, что на попарно различные кубы разделить прямоугольный параллелепипед невозможно.

Язык программирования системы \textit{Maxima} используется исходя из следующих соображений. Постановки решаемых в данной статье задач вполне понятны и студенту, и школьнику. С рекурсией они также знакомы. Так что дело лишь в выборе языка программирования для реализации предлагаемых алгоритмов. И здесь язык системы \textit{Maxima} вполне уместен. Дело в том, что в последнее время школы и вузы по многим причинам из многочисленных математических пакетов вынуждены выбирать для использования свободно распространяемое программное обеспечение. Лидерами среди таких пакетов являются кроссплатформенные системы \textit{Maxima} и \textit{GeoGebra}. Поэтому разговор об особенностях создания пользовательских рекурсивных функций на языке программирования Maxima своевременен и полезен.

Изучение паркетогранников началось сразу после завершения классификации выпуклых многогранников с правильными гранями полвека назад. Паркетогранником назовём выпуклый многогранник, обладающий правильными или паркетными гранями. Напомним, паркетным называется выпуклый многоугольник, составленный из конечного и большего единицы числа равноугольных многоугольников. Паркетные многоугольники классифицированы: существует 23 их типа. Четыре из них могут быть представлены правильными многоугольниками, а ещё пять имеют равносторонние представители, составленные так из правильных многоугольников, что каждая вершина такого правильного многоугольника служит и вершиной паркетного. Около десяти  лет назад стали известны с точностью до подобия все паркетогранники, которые кроме правильных могут обладать и указанными пятью паркетными гранями. Выдвинута гипотеза, приводящая нахождению всех равнорёберных паркетогранников.  Без рассмотрения соединений по однотипным граням невозможно получить все типы паркетогранников, т.е. закрыть основную проблему: ''Каковы все типы паркетогранников?''  В настоящей работе рассмотрена часть требуемых для решения этой проблемы соединений правильногранной пятиугольной пирамиды $M_3$ с единичными рёбрами, усечённой по средним линиям боковых треугольных граней пирамиды $M_{3a}$, тел $M_{19a}$ и $M_{19b}$, полученных из усечённого икосаэдра $M_{19}$ отсечением двух и трёх семигранников $M_{3a}$ соответственно. Рёбра трёх последних тел и рёбра соединений имеют длины один и два. В настоящее время этот результат может представлять самостоятельный интерес для квазикристаллографии. В частности, архимедово тело $M_{19}$ с правильными пятиугольником и двумя шестиугольниками в каждой вершине является представителем фуллеренов. Кроме того, объём уже сделанных вычислений показывает необходимость привлечения в существенно больших масштабах программирования и компьютерной графики, для которых выполненная работа послужит хорошим тестом.

К основным алгоритмическим проблемам в теории групп, поставленным М. Дэном, относятся проблемы равенства, сопряженности слов в конечно определенных группах, а также проблема изоморфизма групп.

П. С. Новиков доказал неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп.
Поэтому алгоритмические проблемы изучаюся в конкретных группах.

Группы Кокстера введены Х. С. М. Кокстером: всякая группа отражений является группой Кокстера, если в качестве образующих взять отражения относительно гиперплоскостей, ограничивающих ее фундаментальный многогранник. Х. Кокстер перечислил все группы отражений в трехмерном евклидовом пространстве и доказал, что все они являются группами Кокстера, а всякая конечная группа Кокстера изоморфна некоторой группе отражений в трехмерном евклидовом пространстве, элементы которой имеют общую неподвижную точку.

Ж. Титс в своих работах изучал группы Кокстера в алгебраическом аспекте, им решена проблема равенства слов в данных группах.

Известно, что в группах Кокстера разрешима проблема сопряженности слов и неразрешима проблема вхождения.

К. Аппелем и П. Шуппом определен класс групп Кокстера
экстрабольшого типа. Группы данного класса являются гиперболическими.

Группы Кокстера с древесной структурой введены В. Н. Безверхним. В графе, соответствующем группе Кокстера, всегда можно выделить максимальный подграф, соответствующий группе Кокстера с древесной структурой. В данном классе групп В. Н. Безверхним и О. В. Инченко решен ряд алгоритмических проблем.

В статье доказывается алгоритмическая разрешимость проблем корня и степенной сопряженности слов в обобщенных древесных структурах групп Кокстера, представляющих собой древесные произведения групп Кокстера экстрабольшого типа и групп Кокстера с древесной структурой.

В доказательстве основных результатов используется метод диаграмм, введенный ван Кампеном, переоткрытый Р. Линдоном и усовершенствованный В. Н. Безверхним.

В статье вводится класс замкнутых выпуклых симметричных многогранников в $E^3$ со специальным строением некоторых вершин: множество $Star (V)$ всех граней, инцидентных таким вершинам, состоит из равных между собой дельтоидов. Такие вершины называются в работе \textit {дельтоидными}. Дельтоиды здесь --- это выпуклые четырёхугольники, обладающие двумя парами равных смежных сторон и отличные от ромбов. Предполагается также, что каждая дельтоидная вершина $V$ многогранника и каждая грань, не входящая в звезду какой-либо дельтоидной вершины, \textit {локально симметричны}. Локальная симметричность вершины означает, что через $V$ проходит ось вращения $L_V$ порядка $n$ фигуры $S$~=~$Star (Star (V))$, где $n$ --- число дельтоидов в $Star (V)$; $S$ представляет собой множество граней, состоящих из множества $Star (V)$ и всех граней, имеющих хотя бы одну общую вершину с множеством $Star (V)$. Локальная симметричность грани $F$ означает, что ось вращения $L_F$, пересекающая относительную внутренность $F$ и перпендикулярная $F$, является осью вращения звезды $Star (F)$.

$DS$ --- это обозначение класса многогранников, у которых существуют локально симметричные дельтоидные вершины и существуют грани, не входящие ни в одну звезду дельтоидных вершин; кроме того, все грани, не входящие ни в одну звезду дельтоидных вершин, являются локально симметричными.

В статье доказана теорема о полном перечислении многогранников класса $DS$, у которых все дельтоидные вершины изолированы. Изолированность, или отделённость, вершины $V$ означает, что что её звезда граней не имеет общих элементов со звездой любой другой вершины многогранника.

В работе рассмотрены также многогранники, через каждую вершину $V$ которых проходит ось вращения звезды $Star(V)$, причём $V$ не предполагается дельтоидной заранее; если у таких многогранников существует хотя бы одна дельтоидная грань, то таких многогранников только три.

Доказательства утверждений в работе основаны на свойствах так называемых \textit{сильно симметричных многогранников}. А именно, многогранников, сильно симметричных относительно вращения граней

Работа посвящена многомерной проблеме распределения дробных долей
линейной функции. Подмножество многомерного тора называется
множеством ограниченного остатка, если остаточный член многомерной
проблемы распределения дробных долей линейной функции на этом
множестве ограничен абсолютной константой. Интерес представляют не
только отдельные множества ограниченного остатка, но и разбиения
тора на такие множества.

В работе введен новый класс разбиений $d$-мерного тора на
множества $(d+1)$ типа -- обобщенные перекладывающиеся разбиения,
описанный в комбинаторно-геометрических терминах. Показано, что
все разбиения из этого класса состоят из множеств ограниченного
остатка. Соответствующая оценка остаточного члена является
эффективной. Также найдены условия, при которых оценка остаточного
члена для последовательности обобщенных перекладывающихся
разбиений тора не зависит от конкретного разбиения в
последовательности.

На основе теории геометрических подстановок Арно-Ито введен новый
класс обобщенных перекладывающихся разбиений многомерных торов на
множества ограниченного остатка с эффективной оценкой остаточного
члена. Ранее аналогичные результаты были получены в двумерном
случае для одной конкретной подстановки - геометрического варианта
хорошо известной подстановки Рози. При помощи предельного перехода
построен еще один класс обобщенных перекладывающихся разбиений
тора на множества ограниченного остатка с фрактальными границами
(так называемые обобщенные фракталы Рози).

Заметка посвящена оценке среднего значения величин $\Delta(\alpha,N)=\Delta(\alpha,0,N)$ и $\Delta(\alpha,\beta,N)$ относительно $\alpha>1$ и $0<\beta<\alpha$ соответственно, где $\Delta(\alpha,\beta,N)$ --- остаточный член в формуле вида
$$\sum_{n\leqslant N}f([\alpha n+\beta])=\frac{1}{\alpha}\sum_{m\leqslant \alpha N+\beta}f(m)+\Delta(\alpha,\beta,N),$$
для произвольной арифметической функции $f(n)$.

Доказана теорема о сходимости произведения абсолютно и условно сходящихся рядов, которое определяется через дискретный интеграл в смысле Н.В.Бугаева. Даны теоретикочисловые примеры, иллюстрирующие эту теорему.

Обозначим через $E(T)$ ($E$ --- банахово пространство; $T$ --- метрический компакт) пространство всех непрерывных отображений компакта $T$ в $E$ с sup-нормой.

Тогда $E(T)$ --- банахово пространство. Если Е есть вещественная ось, то будем $E(T)$ обозначать через $C(T)$. А.~А.~Милютиным доказана следующая теорема.

Если $K1$ и $K2$ --- метрические компакты континуальной мощности, $E$ --- банахово пространство, то $E(K1)$ изоморфно $E(K2)$.

А.~А.~Милютин, не зная об этом, в 1951 году решил знаменитую проблему Банаха: будут ли изоморфны пространства непрерывных функций на отрезке и на квадрате.

Среди работ, по духу близких исследованиям А.~А.~Милютина, можно назвать работы М.~И.~Кадеца, доказавшего топологическую эквивалентность всех бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств. Одно из важных направлений функционального анализа --- геометрия банаховых пространств. «Метод эквивалентных норм» заключается в возможности введения в банаховом пространстве эквивалентной нормы, обладающей тем или иным «хорошим» свойством. Теория эквивалентных норм для банаховых пространств $C(K)$ непрерывных функций на метрических компактах есть следствие теоремы Милютина и теории сепарабельных пространств Банаха. Для случая неметризуемых компактов теория далека от завершения.

Общей теории этих компактов нет и мало что известно о пространствах $C(K)$ для неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности. Теорема Милютина повлияла на исследования в этом направлении. Основной же целью работы является анализ влияния теоремы Милютина на развитие теории пространств Банаха, особенно в одном из важных направлений функционального анализа – теории эквивалентных норм в геометрии банаховых пространств. В статье приводятся результаты, полученные учениками М.~И.~Кадеца для неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности, в том числе результаты полученные автором и другими математиками.

Некролог - Евгений Соломонович Голод