Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ CИЛЬВЕСТРА

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-52-66

Полный текст:

Аннотация

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучена, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения. Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их реше- ний. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообра- щение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова. Используя технику псевдообратных (по Муру-Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части обобщенного матричного уравнения Сильвестра не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова с использованием проекторов и псевдообратных по Муру-Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай линейного обобщенного матричного уравнения Сильвестра. Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра подробно проиллюстрированы на примерах.

 

Об авторе

С. М. Чуйко
Донбасский государственный педагогический университет
Россия


Список литературы

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука. — 1988. — 552 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука: 1969. — 367 с.

3. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука. — 1978. — 280 с.

4. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука. — 1970. — 534 с.

5. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type // Ukrainian Mathematical Journal. — 1998. — Vol. 50, № 8. — P. 1162 — 1169.

6. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. A Critical Periodic Boundary Value Problem for a Matrix Riccati Equations // Differential Equations. — 2001. — Vol. 37, № 4. — P. 464 — 471.

7. Захар-Иткин М. Х. Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных преобразований // Успехи мат. наук. — 1973. — Т. XXVIII. № 3. — С. 83 — 120.

8. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV — 317 pp.

9. Деревенский В. П. Матричные уравнения Бернулли. I // Известия вузов. Математика. — 2008. — № 2. — P. 14 — 23.

10. Chuiko S. M. Emergence of solution of linear Noetherian boundary-value problem // Ukrainian Math. Zhurn. 2007. — Vol. 59, № 8. P. 1274 — 1279.

11. Воеводин, В. В., Кузнецов, Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. 1984.

12. Чуйко С. М. Метод наименьших квадратов в теории некорректно постав- ленных краевых задач // Вестник Киевского национального университета им. Тараса Шевченко. — 2007. № 7, С. 51 — 53.

13. Chuiko S. M. On approximate solution of boundary value problems by the least square method // Nonlinear Oscillations (N.Y.) — 2008.— Vol. 11, № 4, P. 585 — 604.

14. Чуйко С. М., Чуйко Е. В. Регуляризация периодической краевой задачи при помощи импульсного воздействия // Буковинский математический журнал. — 2013. — Т. 1, № 3 — 4, С. 158 — 161.

15. Chuiko S. M. On the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem by a degenerate pulsed action // Journal of Mathematical Sciences — 2014. — Vol. 197, № 1. — P. 138 — 150.

16. Чуйко С. М. О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестник Одесского национального университета. Сер. математика и механика. — 2014, Т. 19, вып. 1 (21), С. 49 — 57.

17. Чуйко С. М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Вестник Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина. Серия: Математика, прикладная математика и механика. — № 1120. — 2014. — C. 85 – 94.

18. Коробов В. И., Бебия М. О. Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению // Докл. НАН Украины. — 2014. — № 2. — С. 20 — 25.

19. Чуйко С. М. Оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи для матричного дифференциального уравнения // Динамические системы. — 2014. — Т. 4 (32), № 1-2. — С. 101 — 107.


Для цитирования:


Чуйко С.М. О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ CИЛЬВЕСТРА. Чебышевский сборник. 2015;16(1):52-66. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-52-66

For citation:


Chuiko S.M. ON THE SOLUTION OF THE GENERALIZED MATRIX SYLVESTER EQUATIONS. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(1):52-66. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-52-66

Просмотров: 650


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)