В статье даны постановки задач и представлен вклад в их решение выдающихся математиков Г. И. Архипова и С. М. Воронина.
В основу статьи положены две работы, написанные в связи с юбилейными датами ученых.

Анализ данных понятие сложное и многозначное. Объясняется это как объективной сложностью самих данных, так и субъективной природой анализирующего их эксперта.
Поэтому адекватная формализация этого требует совершенно нового аппарата, с одной стороны способного преодолеть объективную сложность данных (нерегулярность и неточность), а с другой - нечеткий характер суждений эксперта. Развитие Дискретного математического анализа (ДМА) является важным шагом в этом направлении. ДМА значительно ориентирован на эксперта и занимает промежуточное положение в анализе данных между
жесткими математическими методами (статистический анализ, СВАН и др.) и мягкими комбинаторными (имитационное моделирование, нейронные сети и др.).
В настоящей работе предлагаются новые математические конструкции регрессионных производных и регрессионных интегралов для дискретных временных рядов, заданных в
общем случае на нерегулярной сетке. В их изучение важную роль играет недавно созданный авторами проекционный метод решения систем линейных алгебраических уравнений,
описанный в конце работы.
Полученные конструкции регрессионных производных и регрессионных интегралов имеют иерархический характер в духе вейвлет- и фрактального анализов.
Результаты работы определяют направление для дальнейших исследований, а именно, проникновение регрессионного дифференцирования и регрессионного интегрирования в
конечную математику по сценариям классической.

В статье рассмотрены свойства квазиметрики среднего времени первого прохода (обобщенной метрической структуры, тесно связанной с эргодическими однородными цепями Маркова), построенной на основе нескольких графовых моделей, в том числе на базе простого цикла, простого пути и их ориентированных аналогов.
Во введении представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы.
Во втором разделе собраны основные понятия теории цепей Маркова – последовательностей случайных событий с конечным или счетным числом исходов, характеризующихся
тем, что распределение вероятностей параметров процесса в следующий момент времени зависит только от параметров процесса в предыдущий момент. Даны базовые определения,
необходимые для рассмотрения роли графовых моделей в представлении и исследовании эргодических однородных цепей Маркова. Марковская цепь может быть изображена в виде ориентированного взвешенного графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги – переходам между ними. С другой стороны, любой связный граф (ориентированный граф) может служить базой для построения модели простейшей цепи Маркова: если вершина 𝑖 имеет степень (полустепень исхода) 𝑘, то все выходящие из нее ребра (дуги) превращаются в дуги с весами 1/𝑘 . Дано определение среднего времени первого
прохода для однородной эргодической цепи Маркова. Проанализирован алгоритм нахождения среднего времени первого прохода с помощью использования сходящихся деревьев ориентированного графа, связанного с матрицей перехода эргодической однородной цепи Маркова. Матрица среднего времени первого прохода рассмотрена как квазиметрика 𝑚 среднего времени первого прохода на множестве вершин 𝑉 = {1, 2, ..., 𝑛} ориентированного графа, соответствующего матрице перехода эргодической однородной цепи Маркова: 𝑚(𝑖, 𝑗) – ожидаемое количество шагов (дуг) для случайного блуждания на орграфе Γ,
начинающегося с 𝑖, для достижения 𝑗 в первый раз. Эта квазиметрика обладает рядом важных теоретических и прикладных свойств.
В третьем разделе рассмотрены вопросы построения и исследования квазиметрики среднего времени первого прохода для неориентированного цикла 𝐶𝑛, 𝑛 ≥ 3. Рассмотрены примеры построения квазиметрики среднего времени первого прохода для неориентированного цикла для малых значений 𝑛. Приведены иллюстрации ”графовой“ процедуры построения матрицы 𝑀. Проанализированы свойства получающиеся при этом обобщенных метрических структур.
В четвертом разделе аналогичные рассуждения проведены для квазиметрики среднего времени первого прохода для неориентированного пути 𝑃𝑛, 𝑛 ≥ 2.
В пятом разделе рассмотрены вопросы построения и исследования квазиметрики среднего времени первого прохода для ориентированного цикла 𝐶𝑛, 𝑛 ≥ 3. Рассмотрены примеры построения квазиметрики среднего времени первого прохода для ориентированного цикла для малых значений 𝑛. Приведены иллюстрации ”графовой“ процедуры построения матрицы 𝑀. Проанализированы свойства получающихся при этом обобщенных метрических структур.
В шестом разделе аналогичные рассуждения проведены для квазиметрики среднего времени первого прохода для ориентированного пути 𝑃𝑛, 𝑛 ≥ 2.
В заключении подведены итоги работы и намечены возможные пути дальнейших исследований.

Криптографические алгоритмы на основе квазигрупп активно изучаются в рамках перспективных исследований; кроме того, в последние годы регулярно появляются квази-
групповые алгоритмы-кандидаты на конкурсах криптографических стандартов. С точки зрения обеспечения стойкости одним из желательных требований, предъявляемых к квазигруппам, является отсутствие подквазигрупп (в противном случае преобразование
может вырождаться). В работе предлагаются оптимизированные по временной сложности
(за счет увеличения пространственной сложности) алгоритмы проверки наличия подквазигрупп и подквазигрупп порядка не меньше 2 в квазигруппах, заданных таблицей Кэли.
Доказываются утверждения о сложности в худшем случае, а также приводятся оценки эффективности программной реализации на квазигруппах большого порядка. Результа-
ты работы были анонсированы в рамках доклада на XVIII Международной конференции «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории».

В данной статье рассматриваются различные подходы к построению максимальных абелевых расширений для локальных и глобальных геометрических полей. Теория Любина — Тейта играет ключевую роль в построении максимального Абелева расширения для локальных геометрических полей. В случае глобальных геометрических полей особый интерес представляют модули Дринфельда. В настоящей работе рассматривается самый простой частный случай модулей Дринфельда для проективной прямой, который называется модулем Карлица.
Во введении мы приводим мотивацию и краткую историческую справку по затронутым в работе темам.
В первом и втором разделах мы приводим краткую информацию о модулях Любина- Тейта и модуле Карлица.
В третьем разделе мы приводим два основных результата:
• установлена явная связь между теориями глобальных и локальных полей в геометрическом случае проективной прямой над конечным полем: доказано, что башня расширения модуля Карлица индуцирует башню расширений Любина-Тейта.
• установлена связь между отображениями Артина расширений функционального поля произвольной проективной гладкой неприводимой кривой и расширениями пополнений локальных колец в замкнутых точках этой кривой.
В последнем разделе мы формулируем различные открытые задачи и интересные направления для дальнейших исследований, которые включают обобщение первого результата для произвольной гладкой проективной кривой над конечным полем и рассмотрение модулей Дринфельда более высокого ранга.

Гельфонд доказал что при условии взаимной простоты 𝑏 − 1 и 𝑑 суммы цифр разложений натуральных чисел в 𝑏-ичную систему счисления равномерно распределены по
арифметическим прогрессиям с разностью 𝑑. Позднее аналогичный результат был получен для разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.
Мы рассматриваем вопрос об остаточном члене в соответствующей асимптотике и изучаем дихотомию между логарифмической и степенной оценкой остаточного члена. В случае 𝑑 = 2 получены некоторые достаточные условия справедливости логарифмической оценки. С их помощью показано, что логарифмическая оценка имеет место для разложений по всем рекуррентным последовательностям порядка 2 и бесконечному семейству последовательностей порядка 3, а также строим пример линейной рекуррентной последовательности произвольного порядка с таким свойством. С другой стороны, мы приводим пример линейной рекуррентной последовательности третьего порядка, для которой логарифмическая оценка не имеет места. Также нами показано, что для 𝑑 = 3 логарифмическая
оценка не имеет места уже в простейшем случае разложений по числам Фибоначчи.
Кроме того, мы рассматриваем разложения натуральных чисел по знаменателям подходящих дробей к произвольному иррациональному числу. В этом случае нами доказана равномерность распределения сумм цифр по арифметическим прогрессиям с разностью 2 с логарифмическим остаточным членом.

В статье исследуется полная полезность экономической деятельности. В случае производстывенной функции Кобба-Дугласа и экономического ресурса 𝐾(𝑡) = 𝐾0𝑒^(−𝜆𝑡) доказывается, что показатель экспоненты 𝜆, доставляющий максимум полной полезности, находится в определенном интервале.

В экстремальных задачах теории приближения функций важную роль играют точные неравенства, содержащие оценки величины наилучшего полиномиального приближения посредством усредненных значений модулей непрерывности высших порядков производных функций. В настоящей работе приводится неравенство типа А.А. Лигуна – двухсторонняя оценка наилучших весовых приближений аналитических в единичном круге функций из пространства Бергмана 𝐵_2,𝛾 . Полученные неравенства позволяют установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций а также для
соответствующих классов функций дают оценку сверху поперечников. Вычислены точные значения бернштейновских, колмогоровских, гельфандовских, линейных и проекционных 𝑛-поперечников классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых усредненными с положительным весом модулями непрерывности высших порядков производных
функций в пространстве 𝐵_2,𝛾 .

В работе рассмотрена проблема оптимизации расписания функционирования многопроцессорных систем. Решение данной проблемы предполагает формирование жесткого
графика работы, который определяет ритм процессов, но на практике на функционирование систем оказывает влияние множество побочных факторов, которые делают интервалы
времени выполнения работ случайными. В работе построена полумарковская модель формирования стохастического расписания в условиях парного соревнования. Показано, что
если при функционировании системы возможно исполнение пунктов расписания в произвольном порядке, то эволюция полумарковского процесса проходит по гамильтонову пути.
Доказано, что все возможные реализации гамильтоновых путей образуют полную группу несовместных событий. Отмечается, что вследствие наложения ограничений по характеру эволюции, процесс эволюции не является строго полумарковским, и поэтому предложен метод формирования из первичной модели, строго полумарковского процесса с древовидной структурой. Получены зависимости для расчета плотностей распределения и вероятностей переключения из состояний полумарковского процесса в сопряженные состояния, а также времени блуждания от стартового до поглощающих состояний. С использованием
понятия парного дискретного соревнования и распределенного штрафа оценивается эффективность выбора гамильтонова пути одним из субъектов с учетом того, что алгоритм поведения его оппонента известен с точностью до построения полумарковской модели.

Брунн в 1887 году сформулировал теорему о трёх параллельных сечениях выпуклого тела с одинаковыми по площади крайними сечениями, но не получающимися друг из друга параллельным сдвигом, утверждающую, что площадь среднего сечения строго больше, а корректно доказал, как заметил Минковский, что только не меньше. Исключение равенства, считавшегося до сих пор наиболее трудным в теореме, доказывается вплоть до настоящего времени многими авторами, привлекая серьёзную математику. В статье предлагается принципиально иной геометрический подход к доказательству теоремы, благодаря чему для корректного завершения исходного доказательства Брунна можно ограничиться элементарными средствами, доступными школьникам, минуя трудности с равенством, причём предлагаемые рассуждения распространяются на все размерности, как и сама теорема, на что указывал Брунн. Пусть, в общем случае, 𝑉𝑛(𝑄) – 𝑛-мерный объём тела 𝑄 ⊂ R𝑛, 𝐿0, 𝐿1 – параллельные гиперплоскости в R𝑛+1, содержащие соответственно выпуклые тела 𝑃0, 𝑃1, а 𝐿 – паралельная им гиперплоскость, находящаяся строго между ними, и 𝑃 – пересечение 𝐿 с выпуклой оболочкой объединения 𝑃0 ∪𝑃1. Теорема Брунна утверждает, что если 𝑃1 не получается из 𝑃0 параллельным переносом и 𝑉𝑛(𝑃1) = 𝑉𝑛(𝑃0) = 𝑣 > 0, то 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. В 1887 году Брунн строго доказал, что 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣, используя эффективный приём одновременного
одинакового деления объёмов 𝑃0, 𝑃1 гиперплоскостью в R𝑛+1. В предлагаемой статье это называется рассечением Брунна. Для строго неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 оставалось неболь-
шим "шевелением" перейти от тела 𝑃1 к другому выпуклому телу ̃︀ 𝑃1, 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃1) = 𝑣, так, что 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃), где ̃︀ 𝑃 – новое сечение в гиперплоскости 𝐿, возникающее после замены 𝑃1
на ̃︀ 𝑃1. Поскольку 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃) > 𝑣, то 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. Проще всего такая замена 𝑃1 на ̃︀ 𝑃1 осуществляется в случае выпуклых многогранников 𝑃0, которыми можно приближать выпуклые тела сколь угодно близко. Совсем просто требуемая замена 𝑃1 на ̃︀ 𝑃1 осуществляется, когда в качестве 𝑃0 выступают 𝑛-мерные симплексы, на которые выпуклый многогранник может разбиваться рассечениями Брунна. До настоящего времени не предлагался очерченный выше достаточно наивный естественный геометрический способ доказательства строгого неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 как бы в лоб может из-за того, что изначально теорема форму-
лировалась не для выпуклых многогранников 𝑃0, 𝑃1, а для произвольных выпуклых тел.
Главная же причина, по мнению автора, заключается в алгебраическом представлении 𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, где 𝑡 – отношение расстояния от 𝐿0 до 𝐿 к расстоянию от 𝐿0 до 𝐿1,
0 < 𝑡 < 1. Это приводит к соблазну переходить в доказательствах теоремы от R𝑛+1 к R𝑛 и использовать эквивалентную формулировку теоремы, считая 𝐿0 = 𝐿1 = R𝑛. В результате от ситуации общего положения, когда 𝐿0 ̸= 𝐿1, перешли в особенность 𝐿0 = 𝐿1, в условиях которой существенно уменьшаются возможности для привлечения геометрической интуиции и, как следствие, уменьшаются возможности для более простых наглядных геометрических обоснований неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. Настоящей статьёй показывается, что при доказательстве теоремы в эквивалентной формулировке следует, напротив, простран-
ство R𝑛 включать в R𝑛+1 и использовать изначальную формулировку теоремы, когда основным инструментом доказательства элементарными средствами становится рассечение Брунна. Справедливости ради следует отметить, что многочисленные приложения настоящей теоремы, полученные Минковским и другими авторами, связаны как раз c её эквивалентной формулировкой, со смешанными объёмами, с алгебраическими представлениями
𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, называемыми суммами Минковского.

В статье рассмотрены свойства матрицы относительной лесной доступности ориентированного цикла и ориентированного пути.
Во введении представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы.
Во втором разделе собраны основные понятия теории графов, и дано ”графовое“ представление матрицы относительной лесной доступности орграфа Γ: F =
(((𝑓𝑖𝑗))𝑛×𝑛)/𝑓 , 𝑖, 𝑗 = 1 . . . 𝑛, где 𝑓𝑖𝑗 – количество остовных сходящихся корневых лесов орграфа Γ, в которых вершины 𝑖 и 𝑗 принадлежат одному дереву, сходящемуся к 𝑗, а 𝑓 – общее количество остовных cходящихся корневых лесов орграфа Γ.
В третьем разделе рассмотрены вопросы построения и исследования матрицы относительной лесной доступности ориентированного пути 𝑃𝑛, 𝑛 ≥ 2. Рассмотрены примеры построения матрицы относительной лесной доступности ориентированного пути для малых значений 𝑛. Приведены иллюстрации ”графовой“ процедуры построения матрицы F. Доказано, что матрица относительной лесной доступности ориентированного пути 𝑃𝑛, 𝑛 ≥ 2, связана с последовательностью 1, 2, 4, 8, 16, ..., 2𝑛, ... степеней числа 2. Другими словами, элементы 𝑓𝑖𝑗 , формирующие матрицу, представляют собой элементы множества {1, 2, 22, ..., 2𝑛−1}, заполняющие столбцы матрицы: первый столбец состоит из последовательно убывающих чисел 2𝑛−1, ..., 2, 1; второй столбец, начинаясь с 0, содержит на втором месте (пересечение с главной диагональю) число 2𝑛−2, в то время как следующие элементы представляют собой последовательно убывающие числа 2𝑛−3, ..., 2, 1; третий столбец, содержащий нули на двух позициях, расположенных над главной диагональю, содержит на третьем месте (пересечение с главной диагональю) число 2𝑛−2, в то время как следующие элементы представляют собой последовательно убывающие числа 2𝑛−3, ..., 2, и т.д.
Величина 𝑓 равна 2𝑛−1.
В четвертом разделе аналогичные рассуждения проведены для матрицы относительной лесной доступности для ориентированного цикла 𝐶𝑛, 𝑛 ≥ 3.
В заключении подведены итоги работы.

Методы символической динамики играют существенную роль в изучении комбинаторных свойств слов, задачах теории чисел и теории динамических систем. Работа посвящена задачам комбинаторике слов, её приложениям в алебре и динамических системах. В разделе 2.1 рассматривается одномерный случай на ключевом примере слов Штурма. Даётся доказательство критерия подстановочности палиндромов Штурма с помощью индукции Рози, рассматривается случай одномерной фактординамики. В разделе 2.2 рассматривается сдвиг тора и фрактал Рози, порождающий слово Трибоначчи. Рассказывается связь периодичности схем Рози и подстановочности слова, порождённого этой системой. Приводится реализация слова Трибоначчи через перекладывание отрезков. Намечается подход к гипотезе Пизо. В разделе 2.3 говорится об унипотентных преобразованиях тора и бильярдах в многоугольниках.
В главе 3 рассказывается о нормальных формах и росте групп и алгебр. Глава 4 посвящена графам Рози, базисам Гребнера и ко-росту, а также алгебраическим применениям. В разделе 4.1 говорится о результатах в комбинаторике полилинейных слов, разбитой В. Н. Латышевым и поставленных им проблемах. В параграфе 4.2 говорится о конечно
определённых объектах и проблемах контроля над определяющими их соотношениями. В разделе 4.3 описываются некоторые мономиальные алгебры в терминах равномерно рекуррентных слов.
Глава 5 посвящена проблеме о высоте и нормальным формам.

статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируются и доказываются теоремы для некоторых элементов прямых произведений 𝑝-адических полей. Пусть Q𝑝 — пополнение Q по 𝑝-адической норме, поле Ω𝑝 — пополнение алгебраического замыкания Q𝑝, 𝑔 = 𝑝1𝑝2 . . . 𝑝𝑛 — произведение различных простых чисел, а пополнение Q по 𝑔-адической псевдонорме это кольцо Q𝑔, иными словами
Q𝑝1⊕. . .⊕Q𝑝𝑛. Рассматривается кольцо Ω𝑔∼=Ω𝑝1⊕. . ⊕Ω𝑝𝑛, содержащее Q𝑔 в качестве под-кольца. Вопросы о трансцендентности и алгебраической независимости над Q𝑔 элементов Ω𝑔 привели к результатам полученным в статье. При соблюдении некоторых условий можно делать соответствующие выводы не только для чисел вида 𝛼 =
∞Σ︀𝑘=1 𝑎𝑘𝑔𝑟𝑘 , где 𝑎𝑘 ∈ Z𝑔, а неотрицательные рациональные числа 𝑟𝑘 образуют возрастающую и стремящуюся к +∞
при 𝑗 → +∞ последовательность. Но и для чисел вида 𝑓(𝛼), где 𝑓(𝑧) = ∞Σ︀ 𝑗=0 𝑐𝑗𝑧𝑗 ∈ Z𝑔[[𝑧]].
Кроме того, пусть ̂︀ Q∼=Π︀𝑝 Q𝑝 — кольцо полиадических чисел, тогда, рассматривая элементы кольца ̂︀ Ω =
Π︀𝑝Ω𝑝, можно делать аналогичные выводы для чисел вида 𝑓(𝛼), где𝑓(𝑧) =∞Σ︀𝑗=0𝑐𝑗𝑧𝑗 ∈ ̂︀ Z[[𝑧]], 𝛼 =∞Σ︀𝑘=1𝑎𝑘𝑔𝑟𝑘 , 𝑎𝑘 ∈ Z𝑔, 𝑔 = (𝑝1, . . . , 𝑝𝑛, . . .).

В статье изучаются атомы решеток конгруэнций и подпрямая неразложимость алгебр с одним оператором и основной операцией меньшинства, определенной специальным образом и называемой симметрической. Операцией меньшинства называется тернарная операция 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧), удовлетворяющая тождествам 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑦, 𝑥, 𝑦) = 𝑥. Алгебра подпрямо неразложима, если она имеет наименьшую ненулевую конгруэнцию. Алгеброй с
операторами называется универсальная алгебра, сигнатура которой состоит из двух непустых непересекающихся частей: основной, которая может содержать произвольные операции, и дополнительной, состоящей из операторов. Операторами называются унарные операции, действующие как эндоморфизмы относительно основных операций, то есть перестановочные с основными операциями. Решетка с нулем называется атомной, если любой ее элемент содержит некоторый атом. Решетка с нулем называется точечной (atomistic), если любой ее ненулевой элемент представляется как решеточное объединение некоторого множества атомов.
Показано, что решетка конгруэнций алгебр с одним оператором и основной симметрической операцией является атомной. Описано строение атомов в решетках конгруэнций алгебр данного класса. Получено полное описание подпрямо неразложимых алгебр в данном классе, а также алгебр, имеющих точечную решетку конгруэнций

В работе вводится понятие рисовского замыкания для подалгебр универсальных алгебр. Обозначим через △𝐴 отношение равенства на 𝐴. Подалгебра 𝐵 алгебры 𝐴 называ-
ется подалгеброй Риса, если бинарное отношение 𝐵2 ∪ △𝐴 есть конгруэнция алгебры 𝐴.
Конгруэнция 𝜃 алгебры 𝐴 называется конгруэнцией Риса, если 𝜃 = 𝐵2∪△𝐴 для некоторой подалгебры 𝐵 алгебры 𝐴. Мы определяем оператор рисовского замыкания, ставя в соответствие произвольной подалгебре 𝐵 алгебры 𝐴 наименьшую по включению подалгебру Риса алгебры 𝐴, содержащую 𝐵. Показано, что в общем случае рисовское замыкание не коммутирует с операцией решеточного пересечения на решетке подалгебр универсальной
алгебры. Как следствие, решетка подалгебр Риса в общем случае не является подрешеткой решетки подалгебр.
Неодноэлементная универсальная алгебра называется рисовски простой, если любая ее конгруэнция Риса является тривиальной. В работе дается характеризация рисовски
простых алгебр в терминах рисовского замыкания.
Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра с дополнительной системой операторов, то есть, унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Получено полное описание рисовски простых алгебр в некоторых подклассах класса алгебр с одним оператором и тернарной основной операцией. Для алгебр из этих классов описано строение решеток подалгебр Риса. Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы решетка подалгебр Риса алгебр из данных классов являлась цепью.

В работе рассмотрено линейное диофантово уравнение с шестью переменными. Построено его решение как сдвинутая неполная пятимерная целочисленная решётка в шестимерном пространстве. Построен базис этой решётки.
Дано алгоритмическое решение нахождения всех его решений из заданного шестимерного целочисленного параллелепипеда. Для этого был построен новый базис этой неполной пятимерной решётки, который позволил написать эффективную программу нахождения всех наборов, удовлетворяющих данному диофантову уравнению и принадлежащих заданному прямоугольному параллелепипеду.
В результате работы предложенного алгоритма, реализованного в системе Mathcad, было показано, что из общего количества 10182290760 целых точек, лежащих в заданном параллелепипеде, только 7822045 удовлетворяют заданному диофантову уравнению.
Таким образом, полный перебор был сокращён в 1301,7 раза.
В статье рассмотрена связь сдвинутых решёток и задачи целочисленного программирования. Показано, как можно строить базисы неполных целочисленных решёток, которые
позволяют сокращать полный перебор по точкам s-мерного прямоугольного параллелепипеда на перебор по точкам сдвинутой неполной решётки, лежащим в этом параллелепипеде.
Рассмотрены некоторые приложения этого диофантова уравнения в технических вопросах, связанных с решением одной прикладной задачи машиностроения в области проектирования мерительного инструмента, в частности, наборов концевых мер длины.
В статье отражён итерационный характер уточнения математической модели указанной прикладной задачи. После первой корректировки модели количество наборов уменьшилось ещё в 193,237 раза, а после второй корректировки модели общее сокращение наборов пригодных для последующей оптимизации стало в 581114,6 раза. В заключении указаны направления дальнейших исследований и возможное применение идей нейросетей Хопфилда и машинного обучения для реализации отбора оптимальных решений.

В статье исследуется бесконечная линейная независимость полиадических чисел 

$$𝑓0(𝜆) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆)𝑛𝜆𝑛, 𝑓1(𝜆) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆 + 1)𝑛𝜆𝑛$$,

где 𝜆 представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (𝛾)𝑛 , по определению, (𝛾)0 = 1 , а при 𝑛 ≥ 1 имеем (𝛾)𝑛 = 𝛾(𝛾 + 1)...(𝛾 + 𝑛 − 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Q𝑝 . Результат является непосредственным продолжением проведенного автором исследования арифметических свойств полиадических чисел

$$𝑓0(1) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆)𝑛, 𝑓1(1) =
∞Σ︁
𝑛=0
(𝜆 + 1)𝑛$$,

Значения обобщенных гипергеометрических рядов являются объектом исследования многочисленных работ. Если параметры рядов представляют собой рациональные числа, то такие ряды входят либо в класс 𝐸− функций( если эти ряды - целые функции), либо в класс 𝐺− функций (если они имеют конечный ненулевой радиус сходимости),либо в класс
𝐹− рядов ( в случае нулевого радиуса сходимости в поле комплексных чисел, однако при этом они сходятся в полях 𝑝− адических чисел). Во всех перечисленных случаях применим
метод Зигеля-Шидловского и его обобщения. Если среди параметров рядов содержатся алгебраические иррациональные числа, то исследование их арифметических свойств ведется на основе приближений Эрмита-Паде.
В рассматриваемом случае параметр - трансцендентное число. Следует отметить, что ранее А.И. Галочкин доказал алгебраическую независимость значений 𝐸−функций в точ-
ке, представляющей собой действительное число Лиувилля. Упомянем также поданные в печать работы Е.Ю. Юденковой о значениях 𝐹−рядов в полиадических лиувиллевых
точках. Особенно отметим, что в этой работе рассматриваются значения в полиадической
трансцендентной точке гипергеометрических рядов, параметр которых - полиадическое трансцендентное (лиувиллево) число.

Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (𝛽−1, 𝛽−2), где 𝛽 – действительный корень уравнения 𝛽3 = 𝛽2 + 𝛽 + 1, и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози и нашло многочисленные применения в комбинаторике слов, геометрии, теории динамических систем и теории чисел.
Позднее была введена бесконечная последовательность разбиений 𝑑 − 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени 𝑑, на фрактальные множества 𝑑 типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Эти разбиения оказались тесно связанными с некоторыми иррациональными сдвигами тора и позволили построить новые примеры множеств ограниченного
остатка для этих сдвигов, а также получить результаты о самоподобии орбит сдвигов.
В настоящей работе продолжается изучение обобщенных разбиений Рози, связанных с числами Пизо. Предложен новый подход к определению фракталов и разбиений Рози на основе разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.
Это позволило улучшить результаты о связи разбиений Рози и множеств ограниченного остатка, показав, что соответствующая оценка остаточного члена не зависит от номера разбиения.
Доказана теорема геометризации, показывающая, что натуральное число имеет заданное окончание жадного разложения по линейной рекуррентной последовательности тогда и только тогда, когда соответствующая точка орбиты сдвига тора попадает в некоторое множество, являющееся объединением тайлов разбиения Рози. Получен ряд теоретико-числовых приложений этого результата.
В заключении сформулирован ряд открытых проблем, связанных с обобщенными разбиениями Рози.

В настоящей работе доказывается бесконечная линейная и алгебраическая независимость значений 𝐹-рядов в полиадических лиувиллевых точках. Используется модифика-
ция обобщенного метода Зигеля-Шидловского. 𝐹-ряд – это ряд вида 𝑓𝑛 =Σ︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑛!𝑧𝑛, коэффициенты которого 𝑎𝑛 удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти
ряды сходятся в поле Q𝑝 – 𝑝-адических чисел и их алгебрических расширений K𝑣. Полиадическое число – это ряд вида Σ︀∞𝑛=0 𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z. Лиувиллево число – это вещественное число 𝑥 такое, что для всех положительных целых чисел 𝑛 существует бесконечное число пар целых чисел (𝑝, 𝑞), 𝑞 > 1 таких, что 0 <⃒𝑥 − 𝑝/𝑞|< 1/𝑞^𝑛 . Полиадическое лиувиллево число 𝛼 обладает тем свойством, что для любых чисел 𝑃,𝐷 существует целое число |𝐴| такое,
что для всех простых чисел 𝑝 ≤ 𝑃 выполняется неравенство |𝛼 − 𝐴|𝑝 < 𝐴−𝐷. Бесконечная линейная (алгебраичская) независимость означает, что для любой ненулевой линейной
формы (любого ненулевого многочлена) существует бесконечно много простых чисел 𝑝 и нормирований 𝑣, продолжающих 𝑝-адическое нормирование на алгебраическое числовое поле K, со следующим свойством: результат подстановки в рассматриваемую линейную
форму (многочлен) значений 𝐹-рядов вместо переменных является отличным от нуля элементом поля K𝑣.
Ранее было доказано лишь существование хотя бы одного простого числа 𝑝 с перечисленными выше свойствами.

В статье рассматривается проблема обучения информатике, математике и логике в современном образовании, в частности, в средней общеобразовательной школе в качестве
наследуемых от проблем сложившихся соотношений наук информатики и математики, а также порождённых сложившимися формами и практикой обучения в системе общего образования.
Рассматриваются методологические аспекты обучения информатике, математике и логике свойственные им и применяемые к ним в дифференцированной форме:
- содержательный подход, свойственный информатике и применяемый в математике и логике;
- формальный подход, свойственный математике и применяемый в информатике и логике;
- социокультурный подход, свойственный триаде ”информатика-математика-логика”.
На фоне имеющегося соответствия выделенных подходов (или меры этого соответствия) каждому локальному и независимому элементу триады предполагается наличие идентификации закономерных отношений предмета и субъекта образования, принципов организации
процессов реализации методологических знаний на основании этих закономерностей.
Для нашего исследования важно то, что методология и методика каждой дифференцированной системы триады должна содержать все то, что ”необходимо и достаточно” для
функционирования образовательной системы соответствующего уровня. В этом аспекте в статье отмечается, что математика изучает форму, информатика – форму и содержание.
Изучение объектов только по форме ведет к формализму в информационной сфере (что недопустимо), поэтому возможная интеграция должна сочетаться с необходимой дифференциацией.
Поскольку процессы развития знаний науки, ее методология и методика обучения взаимосвязаны и взаимообусловлены, то представляет безусловно интересным раскрытие по-
тенциала (возможности) межпредметных и метапредметных связей и отношений рассматриваемой триады как близких, но не однородных образовательных систем, имеющих свою
предметную специфику содержания, методов и форм обучения. В этом ракурсе предложены возможные пути решения возникших проблем в условиях изменений в школьных программах содержания информатического и математического образования под влиянием
требований новых ФГОС и структура предметного обучения информатике и математике, обеспечивающая их эффективность и результативность.

В работе определены оптимальных параметров работы установки ЭЭД методом постановкой полного факторного эксперимента по среднему размеру частиц получаемых
электроэрозионных материалов. В качестве факторов были выбраны параметры работы установки ЭЭД: напряжение на электродах, емкость разрядных конденсаторов и частота
следования импульсов. Оптимальные параметры работы установки определяли для двух рабочих сред: воды дистиллированной и керосина осветительного. Согласно проведенной серии опытов определены предельные значения параметра оптимизации по среднему раз-
меру электроэрозионных частиц, которые составили: для воды — 51,38 мкм при ёмкости разрядных конденсаторов 65,5 мкФ, напряжении на электродах 210 В, частоте следования импульсов 230 Гц; для керосина — 61,73 мкм при ёмкости разрядных конденсаторов 65,5 мкФ, напряжении на электродах 160 В и частоте следования импульсов 205 Гц.

При расчете СВЧ-усилителей и генераторов, основанных на излучении сильноточных релятивистских электронных пучков в ограниченной плазме, приходится сталкиваться с
рядом трудностей, одна из которых состоит в правильной постановке условий излучения. Поскольку универсального алгоритма, позволяющего преодолеть эти трудности не
существует, приходится использовать различные упрощающие предположения и соответствующие им модели. Например, при расчетах плазменных генераторов обычно предполагалось, что ширина спектра генерируемых колебаний невелика, а центральная частота
соответствует частоте точного черенковского резонанса. Однако данные предположения оправдались только для пучков с токами меньшими предельного вакуумного тока. Именно для таких пучков, используя метод медленно-меняющиеся амплитуд и вводя постоянный коэффициент отражения плазменной волны от излучающего рупора, удалось создать нестационарную теорию плазменного СВЧ–генератора. Однако возможность применения такого подхода сильно ограничена, т. к. в нем не используется строгая форма условий излучения. Обусловлено это тем, что известные граничные условия излучения разрабатывались для описания лишь установившихся колебательных процессов. В настоящее время существуют различные варианты обобщения данных граничных условий на нестационарный случай, но все они не лишены тех или иных недостатков. Одним из наиболее удачных вариантов граничных условий излучения для полной нестационарной системы Максвелла — Власова является, с нашей точки зрения, нестационарный аналог парциальных условий
излучения. Однако практическая реализация этих условий также сталкивается с серьёзными математическими трудностями. Вопрос о возможности и эффективности применения данных условий излучения применительно к конкретной электродинамической системе и рассматривается в настоящей работе.

Цель. Целью работы является изучение истории представлений о грубости (структурной устойчивости), которая является не только одним из важнейших понятий теории нелинейных систем, но лежит в основе нашего миропонимания. До настоящего времени структурная устойчивость рассматривалась в историческом плане лишь фрагментарно (главным образом, в связи со школой Андронова) и не являлась предметом последовательного исторического исследования. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ, историко-научной литературы с привлечением воспоминаний участников описываемых событий. Результаты. В школе Андронова в контексте прикладных проблем исчерпывающим образом были изучены двумерные системы, для которых структурная
устойчивость является типичным свойством. С конца 1950-х гг. происходит смещение исследований структурной устойчивости в контексте прикладных проблем в сторону теории динамических систем. М. Пейксото изучил структурную устойчивость на замкнутых двумерных многообразиях и доказал плотность таких систем. С. Смейл выдвинул гипотезу о существовании структурно устойчивых систем в многомерном случае (𝑛 > 3). Такие системы существуют (системы Морса-Смейла), но он сам установил их нетипичность, они не составляют плотного множества. Для многомерных систем характерно сложное поведение,
был построен пример такой системы (подкова Смейла). Изучение систем со сложным поведением стимулировало развитие гиперболической теории. Обсуждение. Структурная
устойчивость явилась важным фактором открытия сложного поведения динамических систем уже в трехмерном случае, она продолжает играть значительную роль в современ-
ной теории динамических систем. Структурная устойчивость имеет общенаучное значение, сыграла ключевую роль в построении теории катастроф, она вышла за рамки теории динамических систем и самой математики, проникает в другие области науки, в том числе в гуманитарную сферу.

В работе дано пояснение термина «порошковая металлургия» и определены основные отличия от классических способов металлургии. Описаны исторические аспекты развития технологий порошковой металлургии с древних времен. Представлены основные технологические методы порошковой металлургии и их применение для производства современных продуктов. Перечислены основные области применения различных типов продуктов
современной порошковой металлургии.

В статье рассмотрено влияние качества исходной шихты на структуру и физикомеханические свойства конструкционной среднелегированной стали 30ХГСА. Выявлено, что сталь 30ХГСА (плавки № 3–4), отлитая в чугунные изложницы (вес слитка 2,6 т), обладает значительной химической неоднородностью и ликвацией по углероду и основным
легирующим элементам (Cr и Mn), причем в плавке на полупродукте кипящего шлакового слоя ликвация выражена сильнее. Начиная с температуры отпуска 500 ∘C, структура обеих плавок (кипящего шлакового слоя и обычной металлизованной шихты) становится более однородной и механические свойства выравниваются. Микроструктурными исследованиями, установлено, что с повышением температуры отжига при одной выдержке химическая
неоднородность уменьшается, но несильно. Начиная с 1000 ∘C, при увеличении температуры отжига проявляется разнозернистость стали и рост аустенитных зерен, особенно в плавке на полупродукте кипящего шлакового слоя. Разнозернистость неблагоприятно влияет на механические свойства стали: укрупнение зерна понижает сопротивление стали хрупкому разрушению, ухудшает служебные характеристики металла. Устранения химической
и струк-турной неоднородности можно добиться за счет проведения гомогенизирующего отжига (отжиг при 950 ∘C в течение 8 часов). Повышение температуры отжига приводит
к интенсивному росту зерна, особенно в стали,  выплавленной на первородной шихте. Показано, что сталь 30ХГСА, выплавленная на полупродукте кипящего шлакового слоя, в улучшенном состоянии при равных твердости и прочностных характеристиках имеет повышенные пластические свойства и особенно ударную вязкость по сравнению со сталью на обычной металлизованной шихте. По-видимому, это должно определять и более высокие
эксплуатационные характеристики стали, полученные с применением чистой первородной шихты.

статье рассматривается задача о взаимодействии двух плоских шнуровых зарядов при их взрыве на поверхности грунта. Использована импульсно-гидродинамическая твердожидкостная модель, в которой действие зарядов на среду определяется импульсом давления, а границей воронки выброса является поверхность с некоторым постоянным значением модуля скорости.
Полагается, что в общем случае заряды имеют различную ширину, и импульсы давления, характеризующие воздействие зарядов на среду, могут быть различными.
Точное решение задачи построено отображением областей изменения комплексного потенциала и комплексной скорости на область изменения вспомогательного параметрического переменного.
Для случая одинаковых зарядов проведен подробный параметрический анализ, изучено поведение решения при изменении основных безразмерных параметров. Указаны ограничения на значения определяющих параметров, исследованы предельные случаи.
Приведены результаты расчетов формы воронки выброса для различных наборов значений определяющих параметров.

В статье, посвященной 75-летию Александра Юрьевича Ольшанского, коллеги, друзья и ученики отразили биографические данные о юбиляре, сведения о его студенческой жизни, учебе в аспирантуре, привели краткие сведения о его научной и педагогической деятельности, об участии в математической жизни мирового сообщества.

В статье, посвященной 80-летию Юрия Филипповича Головнёва, коллеги, друзья и ученики отразили биографические данные о юбиляре, сведения об учебе в аспирантуре,
привели краткие сведения о его научной и педагогической деятельности, об участии в научных конференциях.

Пусть Λ-𝑛-мерная решетка, а 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛−1 - любые 𝑛 − 1 векторов в 𝑛-мерном вещественном евклидовом пространстве. В работе доказано существование базиса 𝛼1, . . . ,𝛼𝑛 решётки Λ такого, что неравенство

$$|𝛼𝑖 − 𝑁𝑐𝑖| = 𝑂(log^2 𝑁), (1 <= 𝑖 <= 𝑛 − 1)$$

имеет место для любого вещественного 𝑁 > 2, где константа в знаке 𝑂 зависит лишь от Λ и 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛−1.

В теории диофантовых приближений рассматриваются вопросы приближения действительных чисел рацональными дробями с одинаковыми знаменателями. Среди интенсивно
изучаемых вопросов этой теории особое место занимают метрические аспекты. Здесь рассматриваются такие вопросы теории приближений, которые имеют место для почти всех
действительных чисел из заданного промежутка. Впервые подобные вопросы были изучены Хинчином для приближений независимых величин. Им были поучены условия, при которых для почти всех действительных чисел достигается указанная точность приближения рациональными дробями. Очень важный в техническом плане принцип переноса Хинчина позволяет связать совместные приближения зависимых величин с приближени-
ями целочисленных форм.
В 1932 г. Малер К. ввел в рассмотрение классификацию трансцендентных чисел. Он показал, что почти все трансцендентные числа являются 𝑆-числами. Более того, Малер доказал существование такой постоянной 𝛾 > 0 , что для почти всех 𝜔 

$$|𝑃(𝜔)| > ℎ^(−𝑛𝛾)$$,

каков бы ни был целочисленный многочлен 𝑃 степени не более 𝑛 и высоты ℎ > ℎ0(𝜔, 𝑛, 𝛾).
По Малеру можно взять

$$𝛾 = 4 + 𝜀.$$

В этой же работе Малер высказал предположение, что можно взять 𝛾 = 1 + 𝜀 для почти всех вещественных чисел.
Эту гипотезу доказал Спринджук В. Г. методом существенных и несущественных областей. Одновременно Спринджук В. Г. выдвинул несколько гипотез, обобщающие и уточняющие результаты Малера. В дальнейшем исследования Спринджука привели к развитию нового направления в теории диофантовых приближений–исследованию экстремальности
многообразий.
В настоящей статье мы развиваем новый подход к этим вопросам и предлагаем новое доказательство экстремальности алгебраических многообразий. Предлагаемый метод позволяет установить экстремальность аффинного образа топологических произведений
некоторых многообразий. На одном примере мы доказываем, что экстремальность таких многообразий можно вывести из теорем о показателе сходимости особого интеграла проблемы Терри, используя лемму Ковалевской Э. И. Далее из полученного результата мы выведем частный случай гипотезы Спринджука об экстемальности многообразия, поржденного одночленами некоторого многочлена от двух перменных.

В статье исследуется зависимость функций капитала (ресурса) и потребления в экономической модели Рамсея — Касса — Купманса в случае, когда сбережение является тождественной постоянной. В сделанных предположениях система дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию рассматриваемой экономической модели, решена в квадратурах. На основании полученного решения найдены оценки сверху функции потребления

Начиная с вещественной аналитической поверхности ℳ с вещественно-аналитической конформной связностью Картана, А. Боровка построил пространство минитвисторов
асимптотически гиперболического многообразия Эйнштейна–Вейля с границейℳ. В этой статье, начиная с симметрии конформной связности Картана, мы доказываем, что симметрии конформной связности Картана на ℳ могут быть продолжены до симметрий полученного многообразия Эйнштейна–Вейля.

Обобщённые гипергеометрические ряды имеют вид

$$𝑓(𝑧) =∞Σ︁𝑛=0((𝑎1)𝑛 . . . (𝑎𝑙)𝑛)/((𝑏1)𝑛 . . . (𝑏𝑚)𝑛)𝑧𝑛$$

При 𝑙 < 𝑚 и рациональных значениях параметров они сводятся к 𝐸-функциям Зигеля.
При 𝑙 = 𝑚 и рациональных параметрах это 𝐺-функции. При 𝑙 > 𝑚 и рациональных параметрах они являются 𝐹-рядами.
Исследование арифметических свойств значений обобщённых гипергеометрических рядов – актуальная задача имеющая большую историю. Достаточно упомянуть Зигеля К. Л., Шидловского А. Б., Салихова В. Х., Beukers F., Brownawell W. D., Heckman G., Галочкина А. И., Олейникова В. А., Иванкова П. Л., Горелова В. А., Чирского В. Г., Зудилина В. В.,
Matala–Aho T. и др.
В работе рассмотренны 𝐹-ряды для значений которых в работе Чирского В. Г. доказана бесконечная алгебраическая независимость.
В этой работе получены оценки снизу многочленов от значений этих рядов и их производных в конкретном 𝑝-адическом поле.

В статье рассматриваются вопросы трансцендентности и алгебраической независимости, формулируется и доказываются теорема для некоторых элементов прямых произведений 𝑝-адических полей. Пусть Q𝑝 — пополнение Q по 𝑝-адической норме, поле Ω𝑝 — пополнение алгебраического замыкания Q𝑝, 𝑔 = 𝑝1𝑝2 . . . 𝑝𝑛 — произведение различных простых чисел, а пополнение Q по 𝑔-адической псевдонорме это кольцо Q𝑔, иными словами
Q𝑝1 ⊕ . . . ⊕ Q𝑝𝑛. Рассматривается кольцо Ω𝑔∼=Ω𝑝1 ⊕ . . . ⊕ Ω𝑝𝑛, содержащее Q𝑔 в качестве подкольца. Также, рассматриваются гипергеометрические ряды вида

$$𝑓(𝑧) =∞Σ︁𝑗=0((𝛾1)𝑗 . . . (𝛾𝑟)𝑗)/((𝛽1)𝑗 . . . (𝛽𝑠)𝑗)(𝑧𝑡)^𝑡𝑗 $$,

и их формальные производные. Получены достаточные условия, при которых значения ряда 𝑓(𝛼) и формальных производных удовлетворяют глобальному соотношению алгебраической независимости, если 𝛼 =∞Σ︀𝑘=1 𝑎𝑘𝑔^𝑟_𝑘 , где 𝑎𝑘 ∈ Z𝑔, а неотрицательные рациональные числа 𝑟_𝑘 образуют возрастающую и стремящуюся к +∞ при 𝑗 → +∞ последовательность.

В настоящей работе доказывается бесконечная алгебраическая независимость значений гипергеометрических 𝐹 – рядов в полиадических лиувиллевых точках. Гипергеометрическая функция – это функция вида

$$Σ︁𝑛=0((𝛼1)𝑛 · · · (𝛼𝑟)𝑛/((𝛽1)𝑛 . . . (𝛽𝑠)𝑛 𝑛!)𝑧^𝑛, |𝑧| < 1$$.

𝐹 – ряд – это ряд вида 𝑓𝑛 = Σ︀∞ 𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!𝑧^𝑛, коэффициенты которого 𝑎𝑛 удовлетворяют некоторым арифметическим свойствам. Эти ряды сходятся в поле Q𝑝 – 𝑝 – адических чисел и их алгебрических расширений K𝑣. Полиадическое число – это ряд вида Σ︀∞ 𝑛=0 𝑎_𝑛𝑛!, 𝑎_𝑛 ∈ Z. Лиувиллево число – это вещественное число 𝑥 такое, что для всех положительных целых чисел 𝑛 существует бесконечное число пар целых чисел (𝑝, 𝑞), 𝑞 > 1 таких, что 0 <|𝑥 − 𝑝/𝑞|< 1/𝑞^𝑛 . Полиадическое лиувиллево число 𝛼 обладает тем свойством, что для любых чисел 𝑃,𝐷 существует целое число |𝐴| такое, что для всех простых чисел 𝑝 ≤ 𝑃
выполняется неравенство |𝛼 − 𝐴|𝑝 < 𝐴^(−𝐷).