Данная работа посвящена анализу вклада С. Б. Стечкина в некоторые вопросы в аналитической теории чисел. Выделены пять направлений его исследований в области теории чисел. Рассмотрены работы С. Б. Стечкина по теории дзета-функции Римана. Определенную роль в этих исследованиях сыграли его результаты по четным тригонометрическим полиномам. Другое направление исследований, в которое существенный вклад внёс
С. Б. Стечкин вместе с А. Ю. Поповым, относится к вопросам асимптотического распределения простых чисел в среднем. Третий вопрос, которому было посвящено творчество С. Б. Стечкина в области аналитической теории чисел, связан с теоремой о среднем И. М. Виноградова основным методом в оценке сумм Г. Вейля. Четвертое направление исследований, где С. Б. Стечкину удалось получить результат, который не смогли усилить за
последние 30 лет, — это оценки полных рациональных тригонометрических сумм. Наконец, пятое направление — это изучение сумм Гаусса. Оценка, полученная здесь С. Б. Стечкиным, и поставленная им задача послужили источником многочисленных работ вплоть до настоящего времени.

Статья посвящена жизни и научно-педагогической деятельности известного математика, доктора физико-математических наук Бориса Максимовича Бредихина (1920–1994) в связи со 100-летием со дня его рождения. В ней сначала приводятся биографические сведения из его жизни. Основная часть нашей работы посвящена достижениям Б. М. Бредихина в теории чисел. Даётся анализ его научных публикаций.

Мы изучаем точное неравенство Маркова--Бернштейна--Никольского вида

$\|D^{s}u\|_{\infty}\le \\C_{p}(n;s)\|u\|_{p}$ при $p\in [1,\infty]$ для

тригонометрических и алгебраических полиномов $u$ степени не выше $n$ в весовом

пространстве $L^{p}$ с дифференциальным оператором Гегенбауэра--Данкля $D$. В

частных случаях эти неравенства сводятся к классическим неравенствам теории

приближений типа Маркова, Бернштейна, Никольского, которым посвящены

многочисленные работы. Мы применяем результаты В.А. Иванова (1983, 1992),

В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой (2013, 2015), F. Dai, D.V. Gorbachev и

S.Yu. Tikhonov (2020) для алгебраических констант в $L^{p}$ на компактных

римановых многообразий ранга 1 (включая евклидову сферу) и отрезке с весом

Гегенбаура, ссылаемся на работы E. Levin и D. Lubinsky (2015), M.I. Ganzburg

(2017, 2020), обзор классических результатов G.V. Milovanovi'c,

D.S. Mitrinovi\'c и Th.M. Rassias (1994).

 

Ранее мы изучили случай $s=0$. В этой работы мы рассматриваем случай $s\ge 0$.

Наш основной результат заключается в доказательстве существования в

тригонометрическом случае для чётных $s=2r$ экстремальных полиномов $u_{*}$, которые

действительные, четные и $C(n;s)=\frac{|D^{s}u_{*}(0)|}{\|u_{*}\|_{p}}$.

С помощью этого факта доказывается взаимосвязь с алгебраической константой для

веса Гегенбауэра. С одной стороны, это позволяет автоматически охарактеризовать

экстремальные алгебраические полиномы. С другой стороны, известные

алгебраические результаты переносятся на более общий тригонометрический

вариант. Основным методом доказательства является применение гармонического

анализа Гегенбауэра--Данкля, построенного Д.В. Чертовой (2009). Как следствие,

мы приводим точные константы при $p=2,\,\infty$ (при помощи результатов

В.А. Иванова), даем соотношения ортогональности и двойственности (доказываемые

методами выпуклого анализа из теории приближений), устанавливаем один

асимптотический результат типа Левина--Любинского (благодаря связи с

многомерной константой Никольского для сферических полиномов).

Пусть $M_{n}=\sup_{P\in \mathcal{P}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\max_{x\in

[-1,1]}|P(x)|}{\int_{-1}^{1}|P(x)|\,dx}$ --- константа Никольского между

равномерной и интегральной нормами для алгебраических полиномов с комплексными

коэффициентами степени не выше $n$. D. Amir и Z. Ziegler (1976) доказали, что

$0.125(n+1)^{2}\le M_{n}\le 0.5(n+1)^{2}$ для $n\ge 0$. Аналогичная оценка

сверху получена T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2019--2020)

уточнили этот результат, установив, что $M_{n}=Mn^{2}+o(n^{2})$ при $n\to

\infty$, где $M\in (0.141,0.192)$ --- точная константа Никольского для целых

функций экспоненциального сферического типа в пространстве

$L^{1}(\mathbb{R}^{2})$ и функций экспоненциального типа в $L^{1}(\mathbb{R})$

с весом $|x|$.

 

Мы доказываем, что для произвольного $n\ge 0$ имеем $M(n+1)^{2}\le M_{n}\le

M(n+2)^{2}$, где $M\in (0.1410,0.1411)$. Данное утверждение также позволяет

уточнить точную константу Джексона--Никольского для полиномов на евклидовой

сфере $\mathbb{S}^{2}$. Доказательство базируется на взаимосвязи алгебраических

констант Никольского с тригонометрическими константами Бернштейна--Никольского

и наших результатах об оценках последних (2018--2019). Также мы применяем

характеризацию экстремального алгебраического полинома, полученную D. Amir и

Z. Ziegler (1976), В.В. Арестовым и М.В. Дейкаловой (2015). С помощью этой

характеризации мы составляем тригонометрическую систему для определения нулей

экстремального полинома, которую решаем приближенно с необходимой точностью с

помощью метода Ньютона.

В статье доказана алгоритмическая неразрешимость $\exists \forall^2 \exists^3$-теории свободной полугрупп счетного ранга, что усиливает классический результат
В.~Куайна [1] 1946 года об алгоритмической неразрешимости элементарной теории любой нециклической свободной полугруппы.

Разработан метод решения вариационной задачи функциональной теории плотности в рамках безорбитального подхода с обобщенной градиентной аппроксимацией. Способ основан на вычислении потенциала обменаорреляции с использованием итеративной процедуры. Расчеты испытаний для двухатомных систем показали, что наш подход позволяет найти энергию связывания атомов и равновесное межатомное расстояние в димерах примерно с той же точностью, что и метод Кон-Шама, но гораздо быстрее.

В пространствах с весом Данкля $v_k(x)$ степенного типа на $\mathbb{R}^d$, определяемым системой корней и неотрицательной функцией кратности $k$, инвариантной относительно конечной группы отражений, построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует случаю $k\equiv 0$. В 2012 году Салем Бен Саид, Кобаяши и Орстед определили двупараметрическое $(k,a)$-обобщенное преобразование Фурье, действующее в пространствах с весом $|x|^{a-2}v_k(x)$, $a>0$. Наиболее интересны случаи $a=2$ и $a=1$. При $a=2$ обобщенное преобразование Фурье совпадает с преобразованием Данкля и оно хорошо изучено. В случае $a=1$
гармонический анализ, важный, в частности, в задачах квантовой механики, изучен пока еще не достаточно. Одним из существенных элементов гармонического анализа является ограниченный оператор сдвига, позволяющий определить свертку и структурные характеристики функций. При $a=1$ имеется оператор сдвига $\tau^yf(x)$. Его $L^p$-ограниченность недавно установлена Салемом Бен Саидом и Делеавалом, но только на радиальных функциях и при $1\le p\le 2$. В настоящей работе предложен новый оператор обобщенного сдвига $T^tf(x)$. Он получается интегрированием оператора $\tau^yf(x)$ по единичной евклидовой сфере по переменной $y'$, $|y'|=1$, $y=ty'$. Мы доказываем, что он положителен на функциях из пространства Шварца $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d)$, для него $T^t1=1$ и он допускает представление с вероятностной мерой. Отсюда мы выводим его $L^p$-ограниченность для всех $1\le p<\infty$ и ограниченность на пространстве $C_b(\mathbb{R}^d)$ непрерывных ограниченных функций.

В пространствах с весом Данкля степенного типа на $\mathbb{R}^d$ за последние 30 лет построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует безвесовому случаю. В гармоническом анализе Данкля важную роль играют преобразования Данкля--Рисса и потенциал Данкля--Рисса, определенные Тангавелу и Шу. В частности, они позволяют доказывать неравенства Соболева для градиента Данкля. Частные результаты здесь были получены Амри и Сифи, Абделькефи и Рачди, Велику. Опираясь на весовые неравенства для потенциала Данкля--Рисса и преобразований Данкля--Рисса, мы доказываем общие $(L^q,L^p)$-неравенства Соболева для градиента Данкля с радиальными степенными весами. Весовые неравенства для потенциала Данкля--Рисса были установлены ранее. $L^p$-неравенства для преобразований Данкля--Рисса с радиальным степенным весом устанавливаются в настоящей работе. Безвесовой вариант этих неравенств был доказан Амри и Сифи.

Рассматриваются только конечные группы. Класс групп $\mathfrak F$ называется классом Фиттинга, если он замкнут относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных $\mathfrak F$-подгрупп; формацией, если он замкнут относительно фактор-групп и подпрямых произведений; формацией Фиттинга, если $\mathfrak F$ является формацией и классом Фиттинга одновременно.

Для непустого подмножества $\omega$ множества простых чисел $\mathbb P$ и разбиения
$\sigma =\{\sigma_i\mid i\in I\}$, где $\mathbb P=\cup_{i\in I}\sigma_i$ и $\sigma_i\cap\sigma_j=\varnothing$ для всех
$i\not =j$, в работе вводятся $\omega\sigma R$-функция $f$ и $\omega\sigma FR$-функция $\varphi$. Областью определения данных функций является множество $\omega\sigma\cup\{\omega'\}$, где
$\omega\sigma=\{ \omega\cap\sigma_i\mid\omega\cap\sigma_i\not =\varnothing\}$,
$\omega'=\mathbb P\setminus\omega$. Областью значений функций является множество классов Фиттинга и множество непустых формаций Фиттинга соответственно. С помощью функций $f$ и $\varphi$ определяется
$\omega\sigma$-веерный класс Фиттинга $\mathfrak F=\omega\sigma R(f,\varphi )=(G: O^\omega (G)\in f(\omega' )$ и $G^{\varphi (\omega\cap\sigma_i )}\in f(\omega\cap\sigma_i )$ для всех $\omega\cap\sigma_i \in\omega\sigma (G))$ с
$\omega\sigma$-спутником $f$ и $\omega\sigma$-направлением $\varphi$.

В работе приведены примеры $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга. Выделены два вида $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга: $\omega\sigma$-полные и $\omega\sigma$-локальные классы Фиттинга. Их направления обозначены $\varphi_0$ и $\varphi_1$ соответственно. Показано, что каждый непустой неединичный класс Фиттинга является $\omega\sigma$-полным классом Фиттинга для некоторого непустого множества
$\omega\subseteq\mathbb P$ и любого разбиения $\sigma$. Получен ряд свойств $\omega\sigma$-веерных классов Фиттинга. В частности, дано определение внутреннего
$\omega\sigma$-спутника и показано, что каждый $\omega\sigma$-веерный класс Фиттинга всегда обладает внутренним $\omega\sigma$-спутником. При $\omega=\mathbb P$ введено понятие $\sigma$-веерного класса Фиттинга. Показана связь между $\omega\sigma$-веерными и $\sigma$-веерными классами Фиттинга.

В работе рассматривается задача вычисления параметров плоскости пространственного
треугольника по его центральной проекции. При определенных условиях доказана теорема
существования решения этой задачи и его единственность. Приведены примеры условий,
при которых решения не существует или оно не единственно. Так же предложен алгоритм
приближенного поиска всех возможных решений задачи при выполнении определенных
условий. Рассматриваемая в статье задача возникает при построении трехмерных моделей
объектов по их фотоснимку.

Для произвольного поля ${\mathbb F}$ мы рассматриваем коммутативную неассоциативную четырёхмерную алгебру ${\mathfrak M}$ камня, ножниц и бумаги с единичным элементом над полем ${\mathbb F}$ и доказываем, что образ произвольного неассоциативного мультилинейного полинома над ${\mathfrak M}$ является линейным пространством. Тот же вопрос мы рассматриваем и для двух подалгебр: алгебры камня, ножниц и бумаги без единицы, а также, алгебры элементов нулевого следа и нулевой скалярной части.
Кроме того, в работе поставлены задачи и рассмотрены вопросы о возможных образах однородных полиномов на этих алгебрах.

В работе доказывается сильная компактность последовательности $\{\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$ в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$,
$\Omega_{T}=\Omega\times(0,T)$, $\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$, ограниченную в пространстве $\mathbb{W}^{1,0}_{2}(\Omega_{T})$ с последовательностью производных по времени
$\left\{ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\big(\chi(\boldsymbol{x},t,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon})
\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\big) \right\}$ ограниченной в пространстве $\mathbb{L}_{2}\big((0,T);\mathbb{W}^{-1}_{2}(\Omega)\big)$,
где характеристическая функция $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ есть 1-периодическая в $\displaystyle \boldsymbol{y}\in Y=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)^{3}\subset \mathbb{R}^{3}$.

В качестве приложения рассмотрим усреднение уравнения диффузии-конвекции в непериодической структуре, заданной 1-периодической в $\boldsymbol{y}$ характеристической функцией $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ с последовательностью бездивергентных скоростей $\{\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$, слабо сходящейся в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$.

В настоящей заметке мы доказываем теорему редукции для подгрупп полной линейной группы ${\operatorname{GL}}(n,T)$ над телом $T$, порожденных парой микровесовых торов одного и того же типа. Оказывается, что любая пара торов вычета $m$ сопряжена такой же паре в ${\operatorname{GL}}(3m,T)$. При этом пары, которые не могут быть вложены далее в ${\operatorname{GL}}(3m-1,T)$, образуют единственную ${\operatorname{GL}}(3m,T)$-орбиту.
В случае $m=1$ нам остаётся проанализировать ${\operatorname{GL}}(2,T)$, что было сделано два десятилетия назад вторым автором, Коэном, Кюйперсом и Стерком. Для следующего значения $m=2$ это означает, что единственными случаями, которые должны быть рассмотрены, являются группы
${\operatorname{GL}}(4,T)$ и ${\operatorname{GL}}(5,T)$. В этих случаях задача может быть полностью решена (прямыми, но достаточно длинными) матричными вычислениями, которые осуществлены в готовящейся статье авторов.

Доказывается регулярность в окрестности нуля преобразования Лапласа от преобразо-
вания Фурье от четной функции, полученной из регулярной в окрестности действительной
оси нечетной функции изменением четности. Из данного факта следует перестановочность
синус и косинус преобразований Фурье с точностью до знака.