С помощью интегрального неравенства, обобщающего, в частности, неравенство Чебышева, в статье получены точные двусторонние априорные оценки решения интегрального уравнения Вольтерра со степенной нелинейностью и ядром общего вида в конусе, состоящем из всех неотрицательных и непрерывных на положительной полуоси функций. На основе этих оценок строится полное метрическое пространство, инвариантное относительно нелинейного интегрального оператора Вольтерра, порожденного данным уравнением, и методом весовых метрик (аналог метода Белицкого) доказывается глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения решения указанного уравнения.
Показано, что это решение может быть найдено методом последовательных приближений пикаровского типа и дана оценка скорости их сходимости в терминах весовой метрики. Показано, что, в отличие от линейного случая, нелинейное однородное интегральное уравнение Вольтерра помимо тривиального решения может иметь еще и нетривиальное решение. Указаны условия, при которых однородное уравнение, соответствующее данному нелинейному интегральному уравнению, имеет только тривиальное решение. Вместе с
этим дано уточнение и обобщение некоторых результатов, полученных в случае нелинейных интегральных уравнений с разностными и суммарными ядрами. Приведены примеры,
иллюстрирующие полученные результаты.

История вопроса вычисления и оценки постоянной Эрмита насчитывает два столетия.
В данной статье дается краткий обзор истории этой задачи. Также эта проблема рассматривается с точки зрения критических решеток единичного шара.
Данная задача берет свое начало с работ Ж. Л. Лагранжа, Л. А. Зеебера и К. Ф. Гаусса.
Разрабатывая теорию приведения положительно определенных квадратичных форм, ими были получены предельные формы, для которых отношение минимального значения этих форм в целых точках, отличных от 0, к их определителю было максимально.
В середине XIX века Ш. Эрмитом была получена оценка этой величины для произвольной размерности. А в конце XIX века А. Н. Коркиным и Е. И. Золотаревым был предложен новый метод приведения квадратичных форм, который позволил получить точные значения постоянной Эрмита вплоть до размерности 8.
В данной работе будет рассматриваться эквивалентная постоянной Эрмита величина – критический определитель единичного шара. Следует отметить тесную связь этих величин с другими задачами геометрии чисел, например, задачами нахождения плотности наилучшей упаковки, поиска кратчайшего вектора решетки и диофантовыми приближениями. Мы приведем критические решетки размерностей до 8, а также рассмотрим их
некоторые метрические свойства.

В работе доказана теорема о разложении действительных чисел по мультипликативной системе чисел. Особое внимание обращено на “явные формулы” и условия единственности
таких представлений. Здесь найдено, что последовательность остатков в этом разложении имеет равномерное распределение. Данное утверждение обобщает известный результат Харди–Литтлвуда для позиционных систем счисления. В основе доказательства лежат два утверждения: критерий Г.Вейля равномерного распределения последовательности по модулю единица и теоретико-вероятностная лемма Бореля–Кантелли.

В данной небольшой обзорного плана работе мы приводим последние результаты по точным константам Бернштейна — Никольского для полиномов на многомерной единичной
сфере в пространстве 𝐿𝑝 с весом Данкля и оператором Бельтрами–Данкля и родственным весовым константам для полиномов и целых функций экспоненциального типа и операторами Гегенбауэра, Бесселя. Долгое время классическим направлением теории неравенств Бернштейна — Никольского было установление порядкового роста констант в зависимо-
сти от роста степени полиномов. Современным развитием теории является доказательство асимптотических равенств типа Левина — Любинского, которые уточняют порядковые соотношения. Основные результаты здесь получили F. Dai, M. Ganzburg, E. Levin,
D. Lubinsky, S. Tikhonov, авторы работы.
Мы отталкиваемся от доказанных ранее соотношений между многомерной константой Бернштейна — Никольского и одномерной константой для алгебраических полиномов с весом и дифференциальным оператором Гегенбауэра. В случае группы отражений октаэдра и функции кратности 𝜅, такой что min 𝜅 = 0, имеет место равенство между этими константами. Как следствие, для 𝑝 > 1 это позволяет выписать асимптотические равенства
равенства Левина — Любинского для констант Бернштейна — Никольского с целой степенью оператора Бельтрами — Данкля. Случай min 𝜅 > 0 рассмотрен для случая констант Никольского и окружности. Для подпространства четных полиномов с четными гармониками установлена связь с точной константой Никольского для полиномов на компактных однородных пространствах ранга 1. Это позволило выписать равенство Левина — Любинского для поточечных констант при всех 𝑝 > 0 и обычных констант при 𝑝 > 1, которое согласуется с известным порядковым неравенством.
Предельные константы в асимптотических равенствах Левина — Любинского выражаются через константы Бернштейна — Никольского для целых функций экспоненциального типа на евклидовом пространстве, полуоси со степенным весом и операторами Лапласа, Лапласа — Данкля, Бесселя. Дальнейшее уточнение значений констант связано с их оценкой при больших значения размерности пространства или степени степенного веса. В работе мы приводим схему получения таких оценок для случая пространства 𝐿_1. Этот случай также интересен тем, что он связан с экстремальной проблемой Ремеза о концентрации 𝐿_1-нормы.

В абстрактной теории чисел и её приложениях к статистической физике важную роль играет понятие энтропии. Так как энтропия равна логарифму функции распределения, то изучение поведения энтропии моноида равносильно решению обратной задачи для этого моноида.
В работе рассмотрены вопросы об асимптотики энтропии для некоторых моноидов натуральных чисел и моноидов натуральных чисел с весовой функцией.
Во-первых, задача решена для двух моноидов типа геометрическая прогрессия.
Во-вторых, полученные результаты относительно энтропии для моноидов с произвольной экспоненциальной последовательностью простых чисел типа 𝑞 на основании полученного ранее авторами решения обратной задачи для моноидов этого типа.
Наконец, для произвольного основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 на основании решения обратной задачи, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов
моноида 𝑀(P(𝑞)), исходя из асимптотики распределения псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞, получены оценки для энтропии.
Для решения этой задачи рассматриваются два гомоморфизма основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 и задача о распределении сводится к аддитивной задаче Ингама.
Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает.
Введено новое понятие 𝐶 логарифмической 𝜃-степенной плотности.
Показано, что любой моноид 𝑀(P(𝑞)) для последовательности псевдопростых чисел P(𝑞) типа 𝑞 имеет оценки сверху и снизу для функции распределения элементов основного основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞.
Показано, что если 𝐶 логарифмическая 𝜃-степенная плотность для основного моноида 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 существует, то 𝜃 = 1
2 и для константы 𝐶 справедливы неравенства 𝜋√︁1/3ln𝑞 <= 𝐶 <= 𝜋√︁2/3ln𝑞 .
Для основных моноидов 𝑀(P(𝑞)) типа 𝑞 остается открытым вопрос о существовании 𝐶 логарифмической 1 2-степенной плотности и величине константы 𝐶.

В статье изучается проблема Ферма — Торричелли: задача поиска точки, минимизирующей сумму расстояний от неё до некоторых заданных точек в нормированном пространстве. Рассмотрены различные обобщения данной задачи, а также изложены актуальные методы решения и некоторые последние результаты в этой области. Целью работы является поиск ответа на следующий вопрос: в каких нормах на плоскости решение задачи Ферма
— Торричелли единственно для любых трёх точек. В работе сформулирован и доказан критерий единственности, кроме того показано применение полученного критерия на нормах, задаваемых правильными многоугольниками, так называемых лямбда-плоскостях.

В первой части статьи модификация элементарного метода Э. Ч. Титчмарша применяется к доказательству локальной теоремы Кронекера. Для произвольной конечной последовательности ¯𝜆 = (𝜆1, . . . , 𝜆𝑟) вещественных чисел, линейно независимых над полем Q, и для любого 𝜀 > 0 этот метод даёт явную верхнюю оценку величины ℎ = ℎ(𝜀,¯𝜆) такой, что для всякой последовательности ¯𝛼 = (𝛼1, . . . , 𝛼𝑟) любой интервал длины ℎ содержит точку 𝑡 такую, что ‖𝑡𝜆𝑠 − 𝛼𝑠‖ <= 𝜀, 1 <= 𝑠 <= 𝑟. Эта оценка уступает по точности наилучшей известной на сегодняшний день, однако проста в выводе и в приложениях приводит, по сути, к результатам той же точности, что и наилучшая.
Во второй части помещены воспоминания авторов об академике Алексее Николаевиче Паршине.

Работа посвящена «равномерному» приведению гладких функций на двумерных многообразиях к каноническому виду вблизи критических точек этих функций. Функция 𝑓(𝑥, 𝑦) имеет особенность типа 𝐴𝑘, 𝐸6 или 𝐸8 в своей критической точке, если в некоторых локальных координатах с центром в этой точке ряд Тейлора функции имеет вид 𝑥2+𝑦𝑘+1+𝑅2,𝑘+1, 𝑥3+𝑦4+𝑅3,4, 𝑥3+𝑦5+𝑅3,5 соответственно, где через 𝑅𝑚,𝑛 обозначена сумма мономов более высокого порядка, т.е. 𝑅𝑚,𝑛 =Σ︀𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑦𝑗 , где 𝑖/𝑚 + 𝑗/𝑛 > 1. Согласно результату В.И. Арнольда (1972), эти особенности просты и гладкой заменой переменных приводятся к каноническому виду, в котором член 𝑅𝑚,𝑛 равен нулю.
Для особенностей типов 𝐴𝑘, 𝐸6 и 𝐸8 мы явно строим такую замену и оцениваем снизу (через 𝐶𝑟-норму функции, где 𝑟 = 𝑘 + 3, 7 и 8 соответственно) максимальный радиус окрестности, в которой определена замена. Наша замена является «равномерным» приведением к каноническому виду в том смысле, что построенные нами окрестность и замена координат в ней (а также все частные производные замены координат) непрерывно зависят
от функции 𝑓 и ее частных производных.

Рассмотрим задачу
𝐿𝑢(⃗𝑥) = 𝑓(⃗𝑥),
𝑢(⃗𝑥)⃒⃒𝜕𝐺𝑠= 𝑔(⃗𝑥),
где 𝑓(⃗𝑥), 𝑔(⃗𝑥) ∈ 𝐸𝛼
𝑠 , 𝐿 — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, 𝐺𝑠 — единичный куб [0; 1]𝑠.
Её решение сводится к отысканию минимума функционала
𝑣(𝑢(⃗𝑥)) =∫︁. . .𝐺𝑠∫︁ 𝐹 (⃗𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥1 , . . . , 𝑢𝑥𝑠 ) 𝑑𝑥1 . . . 𝑑𝑥𝑠
при заданных граничных условиях.
Значения функционала 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) в методе Ритца рассматриваются не на множестве всех допустимых функций 𝑢(⃗𝑥), а на линейных комбинациях 𝑢(⃗𝑥) = 𝑊0(⃗𝑥) + Σ︁𝑛 𝑘=1 𝑤𝑘𝑊𝑘(⃗𝑥),
где 𝑊𝑘(⃗𝑥) — некоторые базисные функции, которые будем находить с помощью теоретико-числовой интерполяции, причём 𝑊0(⃗𝑥) — функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, а остальные 𝑊𝑘(⃗𝑥) удовлетворяют однородным граничным условиям.
На этих полиномах данный функционал превращается в функцию 𝜙( ⃗𝑤) от коэффициентов 𝑤1, . . . ,𝑤𝑛. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция 𝜙( ⃗𝑤) достигала экстремума. При некоторых ограничениях на функционал 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) и базисные функции 𝑊𝑘(⃗𝑥) получим приближённое решение краевой задачи.

В теории гиперболической дзета-функции решёток значительную роль играет теорема Бахвалова, в которой величина дзета-функции решётки решений линейного сравнения оценивается через гиперболический параметр решётки.
В монографии Н. М. Коробова 1963 года эта теорема доказывается методом, отличным от первоначальной работы Н. С. Бахвалова. В этом методе центральную роль играет лемма о количестве решений линейного сравнения в прямоугольной области.
В работе даются новые оценки количества точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях. Это позволяет доказать усиленную теорему Бахвалова об оценки гиперболической дзета-функции решётки решений линейного сравнения.
Отличия теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях от соответствующей леммы Коробова состоит в том, что вместо одной оценки через отношение объёма прямоугольной области к гиперболическому параметру добавлены ещё два случая и в первом случае уменьшена константа. Использование теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях приводит к необходимости в доказательстве теоремы Бахвалова–Коробова рассматривать
различные области применения теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях.

В настоящее время одной из основных проблем широкого применения в машиностроении вольфрамо-титано-кобальтового твердого сплава является высокая стоимость легирующих компонентов, входящих в его состав, вольфрама и титана. Помимо того, данный сплав обладает достаточно высокой температурой плавления, что затрудняет его переработку для вторичного использования. Одним из перспективных методов их переработки
в порошки сферической формы является электроэрозионное диспергирование. К настоящему времени в современной научно-технической литературе отсутствуют полноценные сведения об использовании диспергированных электроэрозией частиц вольфрамо-титано-кобальтового твердого сплава марки Т5К10 в качестве шихты для производства твердых сплавов и режущего инструменты из них. Для этих целей требуется проведение комплексных теоретических и экспериментальных исследований.
Целью настоящей работы являлось проведение размерного анализа частиц твердосплавного порошка, полученного электроэрозионным диспергированием вольфрамо- титано-кобальтового твердого сплава в керосине.
Электроэрозионное диспергирование отходов вольфрамо-титано-кобальтового твердого сплава марки Т5К10 осуществляли на экспериментальной установке (Патент РФ №2449859). В результате воздействия кратковременных электрических разрядов образовы-
вались твердосплавные частицы различной формы и размера. Размерные характеристики частиц порошка, полученного вольфрамо-титано-кобальтового твердого сплава, исследовали на лазерном анализаторе размеров частиц «Analysette 22 NanoTec».

На основании проведенных экспериментальных исследований, установлено, что в порошке, полученном электроэрозионным диспергированием вольфрамо-титано-кобальтового твердого сплава марки Т5К10 в керосине, содержится: 10% частиц с размером до 5,592 мкм; 20% частиц с размером до 9,871 мкм; 30% частиц с размером до 13,483 мкм; 40% частиц с размером до 19,451 мкм; 50% частиц с размером до 24,996 мкм; 60% частиц с
размером до 29,194 мкм 70% частиц с размером до 33,868 мкм; 80% частиц с размером до 42,686 мкм; 90% частиц с размером до 56,121мкм; 99% частиц с размером до 64,469 мкм включительно. При этом частицы твердосплавного порошка, полученного электроэрозионным диспергированием вольфрамо-титано-кобальтового сплава Т5К10, имеют размеры от 0,5 до 100 мкм со средним объемным диаметром 27,092 мкм.

Хорошо известно, что современным историкам физико-математических наук приходится отдавать много времени и сил на рутинную работу, относящуюся к формированию тематической базы данных по выбранному направлению исследований, а также поиском первоисточников и материалов историко-научного плана (воспоминаний, писем, статей к юбилеям и т.п.). Ещё одна трудозатратная часть деятельности научного работника (вне
зависимости от сферы интересов) связана с вопросами научно-организационного и научно-методического характера, такими, как участие в конференциях и семинарах, поиск журналов для публикации, грантов для получения финансовой поддержки и т.п. Развитие теории экспертных систем и нейросетевых алгоритмов дало возможность для построения электронных систем научной осведомлённости в области истории науки, выполняющих
значительную часть вышеперечисленных задач. Это позволит уделять больше времени основной работе учёного – получению новых результатов. В соответствии с принципами инженерии знаний, в структуру системы научной осведомленности историка математики предлагается включить обучаемых электронных агентов, обладающих искусственным интеллектом, что позволит решать задачи сложного поиска, а также формировать базы
данных и знаний в соответствующей предметной области. Авторами приводится вариант интерфейса системы научной осведомленности в сфере истории математики, включающей
в себя подсистему обучения, содержащую лекционный материал и сведения энциклопедического характера, а также следующие функциональные блоки

- поиска;
- формирования баз данных публикаций и первоисточников;        - семинаров и конференций;
- форумов и социальных сетей учёных;
- грантовой поддержки;
- формирования базы данных университетов, реализующих образовательные программы в области истории математики;
- cовместной работы по научным проектам.

В статье приведена новая эмпирическая математическая модель для описания изменения фактической площади контакта металлов в зависимости от пути трения, включающая такие характеристики как резкость изменения фактической площади контакта, исходная
интенсивность изменения фактической площади контакта, приращение интенсивности изменения фактической площади контакта, значение пути трения, соответствующее минимальному «ускорению» изменения фактической площади контакта. Показана справедливость разработанной математической модели при трении пирамидальных инденторов из алюминия, меди и стали Ст.3 по стальной поверхности.

В статье приведена новая эмпирическая математическая модель для описания изменения коэффициента трения в зависимости от скорости скольжения, включающая такие характеристики как начальная интенсивность изменения коэффициента трения, приращение интенсивности изменения коэффициента трения при переходе на новый режим, резкость изменения коэффициента трения при переходе на новый режим, значение скорости скольжения, соответствующее минимальному «ускорению» изменения коэффициента трения при переходе на новый режим трения. Показана справедливость разработанной математической модели при трении направляющих из серого чугуна СЧ21-40 в среде смазочных масел «Индустриальное 12», «Индустриальное 45», «Автол 18».

В работе предложена модификация метода PaDiM детекции аномалий, сопоставляющему изображению вектор и вычисляющему расстояние Махаланобиса от такого вектора
до распределения векторов обучающего множенства. Выделяется подмножество тех координатных осей векторов, распределение вдоль которых наименее близко к нормальному в сравнении с остальными по выбранному статистическому критерию. Применение к этим координатам векторов процедуры выпрямления (униформизации) перед вычислением расстояния Махаланобиса повышает значение ROCAUC метода PaDiM.

В статье рассмотрено взаимодействие водорода с дефектами кристаллического строения в металлах и сплавах. Приведена классификация водородных ловушек с точки зрения их энергетических уровней. Рассмотрены различные виды взаимодействий водо-родных ловушек, в зависимости от их энергии связи. Изучено влияние водородных ловушек на
коэффициент диффузии водорода в стали. Показано, что наличие в металлах высокоэнергетических водородных ловушек приводит к снижению диффузионной подвижности водорода, который тем самым исключается из процесса охрупчивания.

В статье обосновывается значимость изучения рекурсии студентами направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование профиля Информатика, а также студентами
второй и девятой укрупненных групп, связанных с ИТ-направлениями. Анализируются работы Есаяна А. Р., составляющие методологическую и теоретическую базу обучения
студентов Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого в области построения и использования рекурсивных алгоритмов. Приводится обзор актуальных исследований в области формирования и развития математической культуры будущих педагогов и специалистов ИТ-направлений посредством изучения рекурсии, методических
особенностей изучения рекурсивных алгоритмов как основы развития мировоззрения и научно-исследовательских навыков студентов, примеров эффективности использования рекурсивных построений и функций при решении практико-ориентированных задач.
Авторами описана логика изучения основ рекурсии, принципы отбора содержания, необходимого для изучения данной темы будущими педагогами и специалистами ИТ- направлений. Предлагаемое содержание занятий основывается не только на теоретическом изучении базовых понятия данной предметной области, но и рассмотрении убедительных неопровержимых доказательств существования и красоты рекурсивных объектов различной природы. Изучение практического материала и решение задач предлагается выстраивать в соответствии с дидактическим принципом «от простого к сложному»: от самых простых для восприятия рекурсивных алгоритмов до эффективных алгоритмов сортировки и поиска на динамических структурах данных. Данный подход, по мнению авторов, позволяет студентам оценить значимость и эффективность рекурсивных методов обработки информации и сформировать профессиональные компетенции разработки и применения оптимальных алгоритмов решения практико-ориентированных задач.

Работа посвящена изучению эволюции основных положений качественной теории, под знаком которой происходило развитие всей математики ХХ в. В развитии качественной теории можно выделить несколько этапов с четко выраженными тенденциями: становление качественной теории, когда сложились новые подходы, новый язык и система понятий (конец XIX – 20-е гг. ХХ в.); следующий этап – широкое привлечение методов топологии и
функционального анализа, вероятностных представлений и расширение качественной теории с выделением самостоятельных областей (конец 1920-х – середина ХХ в.); с середины ХХ в. по настоящее время – современный этап. Он выделяется тем, что в качественной теории воплотилось представление о математике как единой науке. Качественная теория вобрала в себя идеи и методы самых разных разделов (топологии, функционального анализа, теории групп Ли и др.). Объединяющая роль качественной теории заключается в том, что в ней воплощаются две культуры в математике, одна из них направлена на решение задач, а другая – на построение и осмысление теорий. В этом отношении качественная теория не просто конкретный раздел, а своеобразный подход к математическим проблемам. Особенностью современного этапа является еще невиданное сближение с областью приложений, особенно с физикой. Физика является не просто потребителем, она стимулировала кардинальные изменения самой математики. Становится трудно провести различимую границу между некоторыми разделами математики и теоретической физики.
Качественная теория преобразила облик всей математики и ее приложений.

Развитие и внедрение в повседневную практику инновационных образовательных технологий традиционно осуществляются на основе положений и рекомендаций классической педагогической науки. В статье предлагается концепция методологии имитационного моделирования педагогических систем, в которую интегрированы положения системного подхода, педагогики и психологии высшей школы, методы исследования операций и
теории моделирования сложных систем. Выделены особенности педагогической системы как объекта исследования. Раскрыта сущность предлагаемой методологии имитационного
моделирования и дана краткая характеристика актуальных прикладных задач, которые могут эффективно решаться на её основе.

В статье рассматривается задача об отражении и прохождении сферической звуковой волны через однородную изотропную упругую пластину с непрерывно-неоднородным по толщине упругим покрытием. Полагается, что пластина помещена в безграничную идеальную жидкость, а падающая звуковая волна является гармонической и генерируется точечным источником.
Аналитическое решение поставленной задачи получено на основе известного решения задачи о прохождения плоских звуковых волн через пластину с непрерывно-неоднородным покрытием и с использованием интегрального представления сферической волны в виде разложения по плоским волнам.
Нахождение поля смещений в неоднородном слое сведено к решению краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Представлены результаты численных расчетов частотных характеристик отраженного и прошедшего акустических полей.

На основе физической концепции порообразования, зарождения и роста пор формулируются обобщенные определяющие соотношения тензорной модели пластической повреждаемости металлов, основанной на трех инвариантах. Мультипликативное разложение тензора метрического преобразования и термодинамическая формулировка определяющих соотношений приводят к симметричному тензору повреждаемости второго ранга с ясным физическим смыслом. Его первый инвариант определяет повреждаемость, связанную с пластической дилатансией материала вследствие роста пор, второй инвариант девиаторного тензора - повреждаемость, связанную с изменением формы дефектов, третий инвариант девиаторного тензора описывает влияние на повреждаемость вида напряженного
состояния (угла Лоде), в том числе, влияние поворота главных осей тензора напряжения (изменение угла Лоде). Введение трех составляющих мер c соответствующим физическим смыслом позволяет отобразить кинетический процесс деформационной повреждаемости эквивалентным параметром в трехмерном векторном пространстве, включая критериальные условия для пластического разрушения. Мера пластической повреждаемости, основанная на трех инвариантах, может оказаться полезной для оценки качества мезоструктуры металлоизделий, получаемых методами обработки давлением.

Однородными последовательностями Битти называют последовательности вида 𝑎𝑛 = [𝛼𝑛], где 𝛼 — положительное иррациональное число. В 1957 г. Т. Сколем показал, что
если числа 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы над полем рациональных чисел, то последовательности [𝛼𝑛] и [𝛽𝑛] имеют бесконечно много общих членов. Т. Банг усилил этот результат:
пусть 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) — количество натуральных чисел 𝑘, 1 <= 𝑘 <= 𝑁, принадлежащих одновременно двум последовательностям Битти [𝛼𝑛] и [𝛽𝑚] и числа 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы
над полем рациональных чисел, тогда 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) ∼ 𝑁𝛼𝛽 при 𝑁 → ∞.
В работе доказывается уточнение этого результата для случая алгебраических чисел.
Пусть 𝛼, 𝛽 > 1 — такие иррациональные алгебраические числа, что 1, 1/𝛼, 1/𝛽 линейно независимы над полем рациональных чисел. Тогда для любого 𝜀 > 0 справедлива асимптотическая формула 𝑆𝛼,𝛽(𝑁) = 𝑁/𝛼𝛽 + 𝑂(︀𝑁^((1/2)+𝜀))︀.

В данной работе изучается деформация пересечения одного компакта с замкнутой окрестностью другого компакта посредством изменения радиуса этой окрестности. Показано, что в конечномерных нормированных пространствах в случае, когда оба компакта являются непустыми выпуклыми подмножествами, такая операция непрерывна в топологии, порождённой метрикой Хаусдорфа.
Вопрос непрерывной зависимости описанного пересечения от радиуса окрестности возник в качестве побочного продукта развития теории экстремальных сетей. Однако он оказался интересным сам по себе, предполагающим различные обобщения. Поэтому было решено опубликовать его отдельно.

Данная статья посвящена девяностолетию со дня рождения профессора, доктора педагогических наук Александра Сергеевича Симонова, более пятнадцати лет возглавлявшего кафедру математического анализа Тульского государственного педагогического университета им. Л.Н. Толстого. В ней приводятся биографические данные, освещается научная деятельность, приводится список основных научных работ.