Рецензируемый научно-теоретический журнал «Чебышевский сборник» «Chebyshevskii Sbornik» издается с 2001 года, зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС 77-80049 от 31.12.2020, ISSN - 2226-8383, онлайн ISSN 2587-7119), с 2015 года включен в список ВАК «Рецензируемые научные издания, включенные в Перечень, рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук». С 2017 года журнал индексируется в международной библиографической и реферативной базе данных Scopus. Подписной индекс – 10642 (Почта России).
Периодичность издания - 5 раза в год, тираж - 150 экземпляров.
Распространяется по подписке и предварительному заказу на территории Российской Федерации и за рубежом.
Электронная версия журнала размещена в открытом доступе на Общероссийском портале (http://www.mathnet.ru) и в Научной электронной библиотеке (http://elibrary.ru).
Журнал является общематематическим. Публикуются оригинальные статьи, допускаются статьи большого объема. Журнал охватывает широкий спектр направлений современной математики: теория чисел, алгебра и математическая логика, теория функций вещественного и комплексного переменного, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, математическая физика, геометрия и топология, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы, теория оптимизации и др. Все статьи проходят рецензирование у ведущих специалистов по данным направлениям.
Журнал индексируется в электронных базах данных Scopus, MathSciNet Американского математического общества и Zentralblatt MATH издательства Springer, Russian Science Citation Index (RSCI) (русская коллекция Web of Science), реферируется РЖ «Математика» (Россия, ВИНИТИ), «Mathematical Reviews» (США, American Mathematical Society).
Плата за публикацию и редакционную подготовку статей с авторов не взимается.
Адрес редакции: г. Тула, пр. Ленина, 125, учебный корпус №4 ТГПУ им. Л. Н. Толстого кафедра алгебры, математического анализа и геометрии (кабинет 310) и редакция «Чебышевского сборника» (кабинет 302а)
Текущий выпуск
Статьи
Неоднородные последовательности Битти играют важную роль в играх Витгофа и инвариантных играх, например, о том, как победить противника в играх Витгофа на трех фронтах, и придают свойства решению процедуры, опираясь только на несколько алгебраических тестов. В этой статье обсуждается мощность сумм характеров и их оценка относительно неоднородных последовательностей Битти 𝛽𝛼 = ⌊𝛼𝑛 + 𝛽 : 𝑛 = 1, 2, 3...⌋, где 𝛽 действительные числа и 𝛼 положительное является иррациональным. Чтобы оценить мощность, используется измерения количества равномерного распределения последовательностей Битти. При оценке дробной части последовательностей Битти используется известный принцип «ячейки». При этом, неравенства Коши применяются для разложения сумм двойных характеров. Затем оценка сумм двойных характеров получается путем при-
менения свойств сумм аддитивных и мультипликативных характеров. Результат оценки в
этом исследовании по составным модулям является более общим по сравнению с предыдущими исследованиями, которые проводились только по простым модулям.
Накрытия в основном рассматриваются в геометрии и анализе, и в некоторых случаях они не задаются явным образом. Задача определения накрытий в конкретной ситуации является очень важным. Накрытия возникают в теории многообразий,в особенности в связи с системами уравнений. Одним из действенных методов в этом направлении является использование теоремы о неявных функциях.
В настоящей статье мы изучаем эти вопросы во требуемом общем виде. Такой подход приводит проблему к рассмотрению основных понятий, которые были изучены классиками математики в последние два столетия. Этими математиками анализированы основные моменты теории, касающиеся поведению многообразий малых размерностей в многообразиях больших размерностей. Определение понятия кривой на плоскости является ярким примером того, как мы должны определить основные понятия, с которыми мы имеем дело, чтобы обеспечить необходимую свободу действий, не умаляя при этом необходимой общности. Вdедение квадрируемых кривых дает возможность развивать приемлемую теорию интегрирования в плоских областях. Однако, этого недостаточно, к примеру для установления теоремы Фубини в той общности, которая рассматривается в теории интегрирования Лебега. Здесь мы наталкиваемся на ограничения внесенные пересечениями многообразия
с краем области. Поэтому, плодотворную формулировку этой теоремы мы наблюдаем лишь в теории интегрирования Лебега. Это и есть один из множества вопросов, которые связаны с поведением многообразий малых размерностей. Мы показываем, как нужно видоизменить некоторые понятия, чтобы преодолеть такие трудности. Мы устанавливаем, что обобщение понятия "неявного"поверхностного интеграла в некотором, отличном от
традиционного взгляда понимании, позволяет устранить возникающие трудности и решать поставленные задачи в достаточной общности.
В работе таким путем удается свести вопрос об оценке числа листов накрытий, определяемых системами уравнений, к некоторым метрическим задачам теории поверхностных
интегралов.
В предложенной работе выполнено построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной неоднородной задачи Коши для уравнения Шредингера. Выбранный в работе потенциал 𝑞(𝑥) = 𝑥^2 приводит к особенности в спектре предельного оператора в виде сильной точки поворота. Основная проблема, с которой сталкивается исследователь при применении метода регуляризации, связана с поиском и описанием
регуляризирующих функций, которые содержат в себе неравномерную сингулярную зависимость решения искомой задачи, выделяя которые, можно оставшуюся часть решения
искать в виде степенных рядов по малому параметру. Развитие метода регуляризации привело к пониманию того, что этот поиск тесно связан со спектральными характеристиками предельного оператора. В частности, установлено, каким образом следует описывать сингулярную зависимость асимптотического решения от малого параметра при выполнении условий стабильности спектра. При нарушении условий стабильности все обстоит значительно сложнее. Более того, до сих пор нет законченной математической теории для сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром, хотя с общематематических позиций их стали изучать порядка 50 лет назад. Особый интерес среди таких задач вызывают те, в которых спектральные особенности выражены в виде точечной нестабильности.
В работах, посвященных сингулярно возмущенным задачам, некоторая часть особенностей такого вида названа точками поворота. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным спектром С.А. Ломова и А.Г. Елисеева, указано каким образом и из каких соображений следует вводить регуляризирующие функции и дополнительные регуляризирующие операторы, подробно описан формализм метода регуляризации для поставленной задачи, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической
решение любого порядка по малому параметру.
В настоящей работе представлено новое доказательство правила Лопиталя, предлагаемое для изучения преподавателям, читающим курс математического анализа. Соответствующая теорема сформулирована и доказана для 6 пределов 𝑥 → 𝑎, 𝑥 → 𝑎+0, 𝑥 → 𝑎−0, 𝑥 → +∞, 𝑥 → −∞, 𝑥 → +∞, для 2 неопределённостей вида 0/0 и ∞/∞ и для 4 значений предела 𝐴 ∈ (−∞,+∞), 𝐴 = −∞, 𝐴 = +∞, 𝐴 = ∞, т. е. представленная теорема покрывает 6 * 2 * 4 = 48 частных случаев правила Лопиталя. Представленное доказательство
отличается от многих традиционных доказательств тем, что кроме определения предела функции по Коши в нём также используется определение предела функции по Гейне.
В качестве важного вспомогательного утверждения, позволяющего применить определение предела функции по Гейне, используется теорема о единственном частичном пределе.
Данное утверждение позволяет также применить арифметические свойства пределов последовательности в доказательстве для неопределённости вида ∞/∞ и предела 𝑥 → 𝑎+0, т.е. для случая, где достигается наиболее существенное упрощение доказательства.
Для моделирования трещиноватого породного массива нужно иметь информацию о геометрических характеристиках трещин - их размерах, ориентации, числе. В результате геологических изысканий и наблюдений в процессе горных работ получают данные о числе и ориентации следов трещин.
Отсюда возникают задачи восстановления пространственной картины расположения трещин на поверхностях или по скважинам. Фактически возникающие здесь задачи являются задачами томографии. Эта работа посвящена их математической постановке и сведению к классическим задачам нахождения обратного преобразования Радона.
В данной работе при рассмотрении задач отыскания распределения трещин только по ориентациям под трещиной будем понимать будем понимать участок плоской поверхности,
имеющий произвольную форму.
При решении задачи отыскания совместного распределения трещин по размерам и ориентациям мы будем полагать трещины дискообразными. Если предполагать трещины, скажем, эллиптичными, то задача не решается. Это связано с тем, что эллиптическая трещина задается пятью параметрами: ориентацией плоскости, направлением главных осей и их
величинами. Поэтому функция распределения таких трещин по формам и ориентациям есть функция от пяти переменных. С другой стороны, функция распределения следов трещин по размерам и ориентациям есть уже функция от четырех переменных - направления секущей плоскости и величины и направления следа там. Поэтому, задача отыскания распределения трещин для эллиптических трещин, вообще говоря, не решается однозначно, из-за чего приходится предполагать дискообразность.
В статье исследована классификация с точностью до эквивалентности инволюций в алгебре верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных
полей.
Описание инволюций в алгебрах представляет собой одну из классических задач теории колец. Стандартными примерами инволюций является транспонирование в матричной алгебре и сопряжение в поле комплексных чисел и алгебре кватернионов.
В случае, когда поле 𝑃 имеет характеристику отличную от двух, полное описание инволюций с точности до их эквивалентности в алгебре 𝑇𝑛(𝑃) для любого натурального числа 𝑛, было получено в [15]. В работе [3] исследованы инволюции в алгебре верхнетреугольных матриц над коммутативными кольцами. Если кольцо является полем характеристики 2 или булевым кольцом, то были найдены необходимые и достаточные условия конечности
числа классов эквивалентности инволюций.
Данная статья является продолжением работы [3]. В статье [3], в частности, было найдено число классов эквивалентности инволюций в алгебрах верхнетреугольных матриц над кольцом целых чисел. В связи с этим результатом естественной является задача об описании инволюций с точностью до их эквивалентности в алгебрах верхнетреугольных матриц над кольцом целых алгебраических чисел квадратичных полей, которой посвящена настоящая работа. В работе найдено число классов эквивалентности инволюций в таких алгебрах и на примерах проиллюстрирован способ нахождения представителей в каждом классе эквивалентности. При получении основных результатов в настоящей работе существенно используется аппарат теории уравнений Пелля.
Рассматривается регрессионная постановка задачи оценивания функции математического ожидания некоторого почти наверное непрерывного случайного процесса, когда зашумленные значения независимых копий случайного процесса наблюдаются в некоторых известных наборах точек (вообще говоря, случайных), при этом количество наблюдений для каждой из копий случайно и совокупность этих величин по всем сериям не обязательно состоит из независимых и одинаково распределенных компонент. Данная постановка включает в себя два наиболее популярных в научной литературе варианта разреженных данных, когда либо количества наблюдений в сериях представляют собой независимые одинаково распределенные случайные величины, либо количества наблюдений в каждой серии неслучайны и равномерно ограничены по всем сериям.
В работе предложены новые оценки ядерного типа для функции математического ожидания случайного процесса. Доказана равномерная состоятельность новых ядерных оценок при весьма слабых и универсальных ограничениях касательно стохастической природы временных точек наблюдений: требуется лишь, чтобы вся совокупность этих точек с высокой вероятностью образовывала бы измельчающееся разбиение области определения исходного случайного процесса.
В случае алгебр Ли g малой размерности ≤ 7 доказан усиленный вариант обобщенной гипотезы Мищенко—Фоменко, а именно показано, что для любого элемента 𝑎 ∈ g* на двойственном пространстве g* существует полный набор полиномов в биинволюции относительно стандартной скобки Пуассона-Ли и скобки с замороженным аргументом, ассоциированной с ковектором 𝑎.
Работа содержит в себе результаты, в которых даются представления субгармонических функций на наиболее упоминаемых множествах в полуплоскости — полукольце и
полукруге. Классическими результатами в этом направлении являются, например, формулы Неванлинны, Пуассона — Иенсена и Симидзу — Альфорса о представлении мероморфной функции в замкнутом круге и в замкнутом полукруге, а также теорема Рисса — Мартина о представлении субгармонических функций. В работах Т. Карлемана (1933) и Б. Я. Левина (1941) для функций, аналитических и мероморфных в замыкании полукольца и в замыкании полукруга на комплексной плоскости, были получены формулы, связывающие логарифм модуля функции с расположением её нулей и полюсов. Эти формулы нашли многочисленные приложения в теории целых и мероморфных функций. Независимо друг от друга Дж. Ито и А. Ф. Гришин (1968) распространили формулы Левина и Карлемана на функции субгармонические в открытом полукруге. Заметим, однако, что
формулы А. Ф. Гришина с использованием функции Мартина, на наш взгляд, являются более наглядными и удобными для практического применения. Кроме того, А. Ф. Гришин
сформулировал (без доказательства) теорему о представлении субгармонической функции в полуоткрытом полукольце. Н. В. Говоров (1968) распространил формулы Левина и Карлемана на функции аналитические в полузамкнутом полукруге и в полузамкнутом полукольце. Под выражением "полузамкнутое множество"мы понимаем множество на комплексной плоскости, часть границы которого принадлежит множеству, а остальная
часть границы ему не принадлежит. В частности, под полузамкнутым полукольцом или полузамкнутым полукругом в верхней полуплоскости комплексного переменного мы понимаем полукольцо или полукруг, пересечение границы которого с вещественной осью не принадлежит данному множеству.
В статье мы распространяем формулу Гришина на субгармонические функции в открытом полукольце. Мы вводим понятие полной меры субгармонической функции в открытом
полукольце, которое обобщает понятие полной меры в смысле Гришина. Благодаря этому получается наиболее простое по форме и при наименьших ограничениях на функцию представление субгармонической функции в открытом полукольце.
В работе рассматриваются приближенно транссасакиевые многообразия, являющиеся почти 𝐶(𝜆)-многообразиями. На пространстве присоединенной G-структуры получены компоненты тензора римановой кривизны, тензора Риччи приближенно транссасакиевых многообразий и почти 𝐶(𝜆)-многообразий. Получено тождество, которому удовлетворяет тензор Риччи приближенно транссасакиевых многообразий. Доказано, что Риччи-плоское почти 𝐶(𝜆)-многообразие локально эквивалентно произведению Риччи-плоского келерова многообразия на вещественную прямую. Получены тождества, которым удовлетворяет тензор Риччи почти 𝐶(𝜆)-многообразия. Доказано, что кривизна Риччи почти 𝐶(𝜆)-многообразия в направлении структурного вектора равна нулю тогда и только тогда,
когда оно является косимплектическим, а значит локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Получено тождество, которому удовлетворяет тензор римановой кривизны приближенно транссасакиевого многообразия, являющегося почти 𝐶(𝜆)-многообразием. Доказано, что для приближенно транссасакиевого многообразия М следующие условия эквивалентны: 1) многообразие М является почти 𝐶(𝜆)-многообразием; 2) многообразие М является точнейше косимплектическим многообразием; 3) многообразие М локально эквивалентно произведению приближенно келерова многообразия на вещественную прямую. В случае, когда многообразие М является транссасакиевым почти 𝐶(𝜆)-многообразием, многообразие М является косимплектическим, а значит, локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Для NTS-многообразия размерности больше трех, являющегося почти 𝐶(𝜆)-многообразием, из точечного постоянства Φ-голоморфной секционной кривизны следует глобальное постоянство. Получена полная классификация таких многообразий.
В работе описывается прием рассуждений, позволяющий получать относительно простые оценки значений котангенса для углов из полуинтервала (0, 𝜋/2 ]. Прием базируется на способности котангенса уточнять некоторые свои оценки, ранее полученные из сторонних соображений. В качестве иллюстрации приема приводятся выводы оценок котангенса для двух подклассов дробно-рациональных функций.
В центре внимания статьи лежит классическая формула Фаа Ди Бруно для вычисления производных высших порядков сложной функции 𝐹(𝑢(𝑥)). Здесь приведен вариант доказательства этой формулы. Затем доказывается обобщение формулы Фаа Ди Бруно на случай сложной функции с внутренней функцией 𝑢(𝑥, 𝑦), зависящей от двух независимых переменных. В работе представлена формула для 𝑛-ой производной сложной функции,
когда аргументом внешней функции является вектор с произвольным числом компонент (функций от одной переменной). В статье также рассмотрены примеры нахождения производных высших порядков, иллюстрирующие как классическую формулу Фаа Ди Бруно, так и ее обобщения.
Задача перечисления класса многогранников с заданными условиями симметрии — одна из важных задач современной теории выпуклых многогранников. Известно много работ, в которых ставится задача о полном перечислении многогранников с условиями симметрии. Если ограничиться многогранниками в 𝐸3, то примерами таких многогранников являются правильные, правильные звёздчатые, Архимедовы многогранники, класс
Джонсона-Залгаллера, многогранники с условными рёбрами и многогранники с паркетными гранями. Конкретно, условия симметрии для класса замкнутых выпуклых правильных многогранников состоят в условиях правильности равных граней многогранника и однотипности его вершин. Для многогранников Джонсона-Залгаллера — в условии правильногранности замкнутого выпуклого многогранника. Известно, что последний класс помимо правильных и архимедовых многогранников, бесконечной серии призм и антипризм, содержит 92 многогранника с правильными гранями.
Ранее автором были найдены новые классы многогранников (например, так называемые многогранники, сильно симметричные относительно вращения); они обладают такой симметрией элементов, при которой условия правильности граней не предполагаются заранее. При этом была доказана полнота списков рассмотренных классов.
Возвращаясь к таким условиям симметрии, которые включают условия правильности граней, автором был введён класс замкнутых выпуклых 𝑅𝑅-многогранников (от слов rhombic и regular). Коротко этот класс определяется следующими условиями симметрии.
Грани 𝑅𝑅-многогранника можно разбить на два непустых непересекающихся множества — множество равных симметричных ромбических звёзд, не имеющих общих рёбер, и множество правильных граней.
При этом вершина 𝑉 называется ромбической, если гранная звезда 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) вершины 𝑉 многогранника состоит из 𝑛 равных и одинаково расположенных ромбов (не квадратов), имеющих общей вершиной 𝑉 . Если вершина 𝑉 принадлежит оси вращения порядка 𝑛 звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ), то 𝑉 называется симметричной. Симметричная ромбическая вершина 𝑉 называется тупоугольной, если ромбы звезды 𝑆𝑡𝑎𝑟(𝑉 ) в вершине 𝑉 сходятся своими
тупыми углами. Примером 𝑅𝑅-многогранника является удлинённый ромбододекаэдр.
В настоящей работе приводится изменённое доказательство теоремы о существовании и единственности замкнутого выпуклого 𝑅𝑅-многогранника, связанного с икосаэдром и
доказано существование двадцать четвёртого 𝑅𝑅-многогранника с треугольными гранями и с четырьмя тупоугольными ромбическими вершинами. Доказаны также теоремы о
несуществовании некоторых многогранников с правильными гранями различного типа, "близких"к 𝑅𝑅-многогранникам.
История математики и приложений
В работе рассматривается прямая задача дифракции гармонической звуковой волны на совокупности линейно упругих тел. Приведена постановка задача о дифракции плоской акустической волны, распространяющейся в идеальной жидкости, на заданной совокупности неоднородных анизотропных упругих тел. Постановка задачи является двумерной. В качестве метода решения задачи предлагается модификация метода конечных элементов. Описывается как общая идея метода применительно к задачам дифракции, так и алгоритм решения данной поставленной задачи. Для дискретизации в пространстве, окружающем упругие тела, в двумерном случае выделяется область, ограниченная окружностью. Область разбивается на элементы: в данном работе предлагается использовать треугольные элементы первого порядка. Для каждого треугольного элемента строится локальная матрица, структура которой основывается на уравнении Гельмгольца (для жидких элементов) или общих уравнениях движения сплошной среды и законе Гука (для упругих элементов), а также граничных условиях. Локальные матрицы элементов позволяют сформировать
разреженную глобальную матрицу для системы линейных алгебраических уравнений, решение которой определяет искомые значения давления и смещений в узлах сетки. Процедура интерполяции позволяет вычислить давление и смещения в произвольной точке внутри области, а граничные условия – определить рассеянную волну в точках вне области.
Для упругого симметричного тела в виде слоя, ослабленного вырезом и нагружаемого по моде 1 вводится понятие дуги взаимодействия (ДВ). ДВ образует малая окрестность точки максимума удельной свободной энергии в срединном сечении слоя. Поток свободной энергии через ДВ представляется энергетическим произведением (ЭП) - произведением
удельной свободной энергии на линейный параметр. Используя известные асимптотические выражения поля напряжений в окрестности вершины выреза получена связь между линейным параметром и радиусом кривизны вершины выреза, обеспечивающая независимость ЭП от радиуса кривизны и линейного параметра. При нулевом значении радиуса кривизны вырез вырождается в математический разрез. В этом случае ЭП сводится к формуле Ирвина. Таким образом, если какой-либо вырез, вырождается в математический разрез, то независимо от геометрии берегов выреза в пределе мы должны приходить к
одному и тому же коэффициенту интенсивности напряжений (КИН). В частности, используем полуэллиптический вырез. Предложена методика определения КИН-1, основанная на
представлении аппроксимирующего КИН через безразмерные потоки свободной энергии, принимающие стационарное значение при стремлении радиуса кривизны к нулю. Полученные данным методом значения КИН совпадают с их значениями, приведенными в других источниках на основании анализа раскрытия математического разреза. В частности, рассмотрен слой прямоугольной формы, подвергаемый воздействию распределенной нагрузки. Решения получены МКЭ с использованием программного комплекса CAE Fidesys
Разница с известными результатами составила менее одного процента.
Энергия взаимообмена аналогично многим другим характеристикам, является периодическим свойством, зависящим от положения элемента в ПТ Д.И. Менделеева. В работе для установления этой закономерной периодичности используется график, представляющий собой зависимость энергии взаимообмена индия с другими элементами от их порядкового номера.
Графически изображая зависимость, полученную расчетом, величины энергии взаимообмена индия с другими элементами в пределах отдельных групп ПТ от заряда ядра между атомами, можно установить виды взаимодействия компонентов. Исходя из представления о разновидностях типов диаграмм состояния, показывающих на взаимную растворимость элементов друг в друге как в жидком, так и в твердом состояниях в зависимости от температуры и давления, в работе установленным закономерностям удается дать объяснение.
В статье рассматривается дифракция звуковых волн неоднородной изотропной цилиндрической оболочкой конечной длины произвольной толщины. Полагается, что в полости цилиндрической оболочки – вакуум. Плотность и модули упругости материала оболочки описываются непрерывными функциями радиальной координаты. Первичное поле возмущений представляет собой плоскую гармоническую звуковую волну, наклонно падающую на тело.
Для рассеянного поля используется представление в виде интеграла Гельмгольца-Кирхгофа. Показано, что использование квадратурных формул по параллелепипедальным сеткам Коробова позволяет сократить число вычислений при приближенном вычислении интегралов. Этот метод сравнивается с вычислением интегралов методом последовательного интегрирования по квадратурной формуле трапеций. Проведено сопоставление времени вычисления потенциала поля, рассеянного конечной цилиндрической оболочкой, двумя
методами вычисления интегралов.
Выявлено существенное влияние неоднородности материала оболочки на звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел.
В статье рассматривается задача дифракции сферической монохроматической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим
покрытием, расположенном вблизи границы полупространств. Полагается, что цилиндр находится в верхнем полупространстве, заполненном идеальной однородной жидкостью, граничащем с однородным упругим полупространством.
Для представления рассеянного поля в идеальной жидкости используется представление в виде интеграла Гельмгольца-Кирхгофа, которое впоследствии сводится к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье соответствующих разложений полного потенциала поля и его нормальной производной в жидком полупространстве.
Колебания неоднородного изотропного упругого слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды. Для нахождения поля смещений в неоднородном покрытии
построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Методом перевала получена асимптотическая формула для дальней зоны поля.
Представлены численные расчеты угловых характеристик рассеянного поля. Выявлено существенное влияние непрерывно-неоднородных покрытий, а также присутствия плоскости вблизи цилиндрического рассеивателя, на дифракционную картину рассеянного поля.
Авторы статьи ставят перед собой задачу: ознакомить математическую общественность с неопубликованной статьей выдающегося советского математика М. И. Кадеца, возглавлявшего Харьковскую школу, известную своими работами в области теории банаховых пространств, рассказать историю этой статьи. Данная работа продолжает статью автора о долгом сотрудничестве и взаимодействии преподавателей и ученых Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого и Харьковской школы Михаила Иосифовича Кадеца.
Под его руководством вел научную работу тульский студент, которые впоследствии после обучения в Харьковской школе Михаила Иосифовича Кадеца стал кандидатом физико-математических наук. Михаилом Иосифовичем Кадецем получены глубокие, содержательные научные результаты. Михаил Иосифович по праву считается одним из создателей теории эквивалентных перенормировок банаховых пространств, превратившейся в настоящее время в самостоятельную область. Харьковская школа Кадеца в то время получила мировую известность. М. И. Кадец щедро делился своими математическими идеями со своими учениками. В статье приводятся некоторые совместные результаты, полученные М. И. Кадецем и его учеником в 1988-1990 годах, которые готовились к публикации в виде совместной статьи, но тогда не были опубликованы из-за высокой требовательности, которую предьявлял к себе выдающийся советский математик М. И. Кадец, требовательности,
которая может служить примером для современной молодежи, особенно для научной молодежи. Исследование выполнено за счет бюджетных средств по государственному заданию
Финуниверситета № 15841п-П8.
В статье рассматривается задача об отражении сферической звуковой волны от упругого полупространства с прилегающим неоднородным слоем жидкости. Полагается, что однородное изотропное упругое полупространство покрыто непрерывно-неоднородным плоским слоем жидкости с произвольным законом неоднородности. Точечный источник гармонических звуковых волн помещен в идеальную однородную жидкость, граничащую с
неоднородным слоем.
Аналитическое решение рассматриваемой задачи получено на основе решения аналогичной задачи в случае падения плоской волны.
Акустическое давление в сферической волне представляется в интегральной форме в виде разложения по плоским волнам. При этом подынтегральное выражение оказывается аналогичным по форме выражению для давления в плоской падающей волне. Поэтому давление в рассеянной волне в случае падения сферической волны на полупространство с неоднородным жидким слоем записывается в виде интеграла, подынтегральное выражение которого аналогично по форме выражению для давления в рассеянной волне при падении плоской волны. Для определения волнового поля в неоднородном слое жидкости
построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, приближенное аналитическое решение которой получено методом степенных
рядов.
Эксплуатационные свойства многих изделий точного машиностроения, изготавливаемых методами пластической деформации, существенно зависят от структурной деформационной повреждаемости их материала. В связи с этим существенное значение для расчета и прогнозирования надежных эксплуатационных характеристик этих изделий имеют методы математического моделирования сложного физического процесса структурной повреждаемости. Согласно систематизированным экспериментальным данным, повреждаемость металлов при больших пластических деформациях связана, главным образом, с образованием, ростом и коалесценцией пор. Для формулировки определяющих соотношений и определения входящих в них материальных функций используется геометрическая модель
элементарного объема (RVE) со стохастически распределенными мезоэлементами (ME), представляющими материальную оболочку с порой. Для поэтапного расчета компонент тензора приращения деформации на RVE- и ME- уровнях их начальная (недеформированная) и текущая (деформированная) конфигурация определяются метрическим тензором.
Приводится расчет мер повреждаемости на основе экспериментальния определение и моделирование материальных функций пластической дилатансии и девиаторной деформации
ME в зависимости от девиаторной деформации RVE в опытах на пластическое сжатие.
На основе разработанного метода определения границ областей напряжённо-деформированного состояния (НДС) и координат зон пластичности, развивающихся в окрестностях пор в нагруженных порошковых изделиях SLM технологии, высказана гипотеза и
проведены расчёты, подтверждающие влияние морфологии пор в порошковых аддитивных сплавах на анизотропию их физико-механических свойств. Учтено влияние внешнего растягивающего напряжения и возможного давления газов в порах.
Сделанный расчет позволил уточнить место зарождения, форму и координаты границы развития зоны пластичности (трещинообразования) в окрестностях сферической поры в
зависимости от соотношения внешнего напряжения и давления газов в порах.
Полученные выражения для оценки размера зоны пластичности могут быть использованы для уточнения параметров кинетики процессов деструкции изделий из порошковых сталей, изготовленных по SLM технологии в условиях их стресс-коррозии.
Описана методика наблюдения и статистического анализа количества и расположения структурных дефектов (несплошностей различной морфологии и неметаллических
включений) в объёме нагруженных образцов порошковых нержавеющих и жаропрочных сплавов систем Fe-Cr-Ni, Fe-Cr-Ni-Mo, изготовленных по аддитивной технологии SLM.
Задача оценки пористости по изображению компьютерной томографии (КТ) сводится к установлению наличия на изображении элементов (объектов), с некоторыми индивидуальными характеристиками. Такой характеристикой принята яркость элементов изображения. Наиболее простым и естественным способом обнаружения объекта/объектов является выбор порога яркости или пороговая классификация (thresholding). В работе для указанных целей использовали метод Нобуюки Оцу, разработанный в 1979 году.
Представлено сравнение информативности результатов пористости по анализу изображений, полученных при помощи методик рентгеновской компьютерной томографии и
металлографического анализа (оптического, РЭМ). Наибольшее содержание пористости в образце, отсканированном методом КТ, составило ∼0,61-0,82%. Поры в образцах SLM сплавов в обоих случаях (при оптической микроскопии и компьютерной томографии) распределены неравномерно. Анализируются проблемы, оказывающие влияние на объём информации и количественные характеристики концентраторов напряжений, фиксируемых в объектах.
Показана перспективность применения алгоритма Оцу для обработки изображений КТ и оценки распределения пористости в образцах аддитивного производства, позволившего детально визуализировать внутренние поры в образцах в 3D без их физического и химического разрушения по сравнению с металлографической подготовкой.
Краткие сообщения
Рассматривается разбиение трещинами массивов горных пород на блоки. Взяв за основу модель, в которой трещины представляют собой системы неограниченных эквидистантных (то есть параллельных и равноотстоящих) систем плоскостей, в статье изучено распределение блоков по объемам и формам и представлен метод, который позволяет находить распределение блоков не только по объемам, как все разработанные ранее методы, но и по другим геометрическим параметрам.
В работе изучаются свойства гиперболической дзета-функции диагональных двумерных унимодулярных решёток. Доказывается теорема об аналитическом продолжении этой функции.
Определение обобщённой параллелепипедальной сетки не даёт простого представления того, каким образом её строить. В статье предложены алгоритмы построения обобщённых параллелепипедальных сеток, соответствующих целочисленным решёткам.
Пусть N – множество натуральных чисел, Z+ – множество неотрицательных целых чисел, C – множество комплексных чисел, 𝐴(𝑈) – множество аналитических в единичном круге 𝑈 := {𝑧 ∈ C : |𝑧| < 1} функций, 𝐵2 – пространство Бергмана функций 𝑓 ∈ 𝐴(𝑈),
наделенных конечной нормой
Для 𝑓 ∈ 𝐴(𝑈) обычную производную порядка 𝑚 ∈ N обозначим через 𝑓(𝑚)(𝑧) и введём класс функций
Пусть 𝐸_(𝑛−1)(𝑓)_2 – величина наилучшего приближения функции 𝑓 ∈ 𝐵2 комплексными алгебраическими полиномами степени ≤ 𝑛 − 1. В данной работе найден ряд точных неравенств между величиною наилучшего приближения промежуточных производных 𝐸_(𝑛−𝜈−1)(𝑓^(𝜈))_2 (𝜈 = 1, 2, · · · ,𝑚− 1;𝑚 ≥ 2) и наилучшего приближения 𝐸_(𝑛−𝑚−1)(𝑓^(𝑚))_2 старшей производной 𝑓^(𝑚).
Пусть 𝑊^(𝑚)_2 := 𝑊^(𝑚)_2 (𝑈) (𝑚 ∈ N)−класс функций 𝑓 ∈ 𝐵^(𝑚)_2 , для которых ‖𝑓^(𝑚)‖_2 ≤ 1.
В работе доказано, что при любых 𝑛,𝑚 ∈ N, 𝜈 ∈ Z+, 𝑛 > 𝑚 ≥ 𝜈 имеет место равенство
а также для функций 𝑓 ∈ 𝐵^(𝑚)_2 при всех 1 ≤ 𝜈 ≤ 𝑚−1,𝑚 ≥ 2 найдено точное неравенство типа Колмогорова
где постоянная 𝐴_(𝑚,𝜈)(𝑛) явно выписывается. Дано некоторые приложения полученного неравенства.
В работе доказывается трансцендентность в поле 2-адических чисел хотя бы одного из двух 2-адических чисел, представляющих собой суммы в поле Q_2 рядов типа Эйлера
где 𝜆 представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число, 𝑧 = 1. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (𝛾)𝑛 , по определению, (𝛾)_0 = 1 , а при 𝑛 ≥ 1 имеем (𝛾)_𝑛 = 𝛾(𝛾 + 1)...(𝛾 + 𝑛 − 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Q_𝑝 . Мы
рассматриваем поле Q_2. Параметром рассматриваемых рядов типа Эйлера является полиадическое чмсло Лиувилля. Напомним, что каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид
Этот ряд сходится в любом поле 𝑝− адических чисел Q_𝑝 . Будем называть полиадическое число 𝜆 полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число 𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 выполнено неравенство
Ранее было доказано простое утверждение о том, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля Q_𝑝. Иными словами, полиадическое
число Лиувилля - глобально трансцедентное число. Это позволяет, используя некоторое тождество для обобщённых гипергеометрических рядов и предыдущие результаты автора
доказать, что существует бесконечное множество полей Q_𝑝 , в которых трансцендентностно хотя бы одно из значений рядов 𝑓_0(𝑧), 𝑓_1(𝑧). В этой работе доказывается трансцендентность
значений в конкретном поле Q_2.