.

Настоящая статья продолжает цикл работ авторов по разработке математических аспектов методов искусственного интеллекта для обработки наблюдений, проведенных под руководством академика А.Д.Гвишиани, начиная с 2000-го года. Она посвящена новому универсальному методу сглаживания, первоначально предназначенному для анализа геофизических временных рядов. Гравитационные сглаживания легли в основу изучения ускорения векового хода главного магнитного поля Земли на основе данных обсерваторий сети ИНТЕРМАГНЕТ. Но свойства оператора сглаживание до сих пор не были изучены. Данная статья – первый шаг в этом направлении.

Предлагаются к рассмотрению методы локальных и сплайновых аппроксимаций для цифровой обработки геомагнитных наблюдений. Разработаны алгоритмы вычислений кусочно- линейных, синусоидальных и полиномиальных локальных аппроксимационных моделей. Разработан алгоритм вычисления сплайновой аппроксимационной модели. Сформированный математический аппарат ориентирован на решения задач оценивания параметров, фильтрации и спектрального анализа для геомагнитных наблюдений.

В работе рассмотрен подход к решению задач пластического формоизменения с использование вариационного подхода, который позволяет определить напряженнодеформированное состояние и связанные с ним технологические параметры с учетом совокупности реологических свойств обрабатываемых материалов. На основе первого энергетического принципа механики, строящегося на теоремах об экстремальных свойствах, когда действительному полю скоростей соответствует абсолютный минимум полной мощности процесса формоизменения, составлен энергетический функционал. Энергетический функционал представляет собой баланс мощности внутренних и внешних сил. Под мощностью внутренних сил понимаются затраты мощности пластической деформации; мощности, связанной с наличием поверхностей разрыва скоростей в объеме деформируемой среды; мощности сил трения, на контактной границе с инструментом; инерционная компонента мощности, затрачиваемая на изменение кинетической энергии. Такая постановка дает возможность исследовать так же и процессы высокоскоростного деформирования, Данный функционал характеризует состояние материала при данных условиях обработки. Для решения данного функционала применен метод локальных вариаций, который относится к прямым численным методам вариационного исчисления. Приведен, в качестве примера, алгоритм расчета мощности пластической деформации для процесса обратного выдавливания стакана из изотропного, жесткопластического материала.

Статья посвящена некоторым аспектам применения алгоритмов распознавания образов при решении задач определения мест возможного возникновения сильных землетрясений, что может быть использовано для оценки сейсмической опасности. Приведены основные принципы имеющего многолетнюю историю подхода к распознаванию мест сильных землетрясений (РМСЗ) рассматриваемого региона на базе схемы его морфоструктурного районирования с применением алгоритмов «Кора-3» и «Хемминг». Дан обзор полученных в этом направлении результатов и работ по разработке новых алгоритмов, основанных, в частности, на дискретном математическом анализе. Отмечено использование подходов распознавания образов для создания алгоритмов среднесрочного прогноза землетрясений, с помощью которых может быть получена оперативная оценка сейсмической опасности. Рассмотрено применение Общего закона подобия для землетрясений для оценки сейсмической опасности и рисков с учетом результатов РМСЗ. Приведен обзор результатов РМСЗ и оценки сейсмической опасности и рисков для региона Кавказа.

В статье дается обзор разработанных трех численных моделей для расчета электродинамических параметров высокоширотной ионосферы Земли. Модель глобального распределения ионосферного электрического потенциала, построенная на основе решения краевой задачи о растекании ионосферных токов, позволяет рассчитать траектории конвекции ионосферной плазмы в северном и южном полушариях. Модель высокоширотной ионосферы позволяет оперативно рассчитывать трехмерную структуру электронной плотности в диапазоне высот 120-500 км при различных гелио-геофизических условиях. Учитывается определяющая роль электрических полей магнитосферного происхождения. Концентрация основных ионосферных ионов определяется решением уравнения фотохимического баланса и конвективно-диффузионного уравнения вдоль траектории конвекции плазменных трубок с учётом параметров термосферы. Разработана методика и алгоритмы численного расчета распределения магнитного поля над ионосферой, которое создается электрическими токами магнитосферного происхождения. Модель базируется на решении уравнения для векторного магнитного потенциала и позволяет рассчитать двумерную картину магнитных вариаций.

На примере эволюции случайного графа обсуждается подход к стохастической динамике сложных систем на основе эволюционных уравнений. Для случая графа эти уравнения описывают временные изменения в структуре графа, связанные с процессом случайного добавления в него новых связей. Такой процесс тесно связан с коалесценцией отдельных неприводимых компонент графа и ведет к появлению сингулярностей в спектрах и их моментах в течение конечных промежутков времени. Эти сингулярности возникают вследствие появления гигантской связной компоненты, порядок которой сравним с полным порядком всего графа. В работе демонстрируется метод анализа динамики процесса эволюции случайного графа, основанный на точном решении эволюционного уравнения, которое описывает зависимость от времени производящего функционала для вероятности застать в системе заданное распределение связных компонент графа. Дан вывод нелинейного интегрального уравнения для производящей функции распределения по числу связных компонент и обрисованы методы его анализа. В заключительной части обсуждены возможности применения изложенного подхода для решения ряда эволюционных проблем статистической геодинамики.

В работе рассмотрена гиперболическая дзета-функция сеток с весами и распределение значений погрешности приближенного интегрирования при модификациях сеток. Рассмотрены: параллелепипедальные сетки M(a,p), состоящие из точек

Mk =({a₁k/p },...,{a_sk/p }) (k = 1,2,...,p);

неравномерные сетки M(P), координаты точек которых выражаются через степенные функции по модулю P: M_k =({k/P},{k²/P}...,{k^s/P}) (k = 1,2,...,P),

где P = p или P = p² и p — нечетное простое число; обобщенные равномерные сетки M(⃗n) из N = n₁ ·...·ns точек вида

M _k =({k₁/n₁},{k₂/n₂}...,{k_s/n_s}) (k_j = 1,2,...,_nj (j = 1,...,s));

алгебраические сетки, введённые К. К. Фроловым в 1976 г., и обобщенные параллелепипедальные сетки, изучение которых началось в 1984 г.

Кроме этого, в обзорном порядке рассмотрены p-ичные сетки: сетки Хэммерсли, Холтона, Фора, Соболя и Смоляка. В заключении рассмотрены актуальные проблемы применения теоретико-числового метода в геофизике, требующие дальнейшего исследования.

Рассматривается решение задачи дифракции плоской гармонической звуковой волны на упругом шаре T с полостью вблизи идеальной плоскости Π. Внешний слой шара является неоднородным. Решение проводится путем расширения области задачи до полного пространства и введения дополнительного препятствия, являющегося копией T, расположенной зеркально по отношению к плоскости Π. Добавление второй падающей плоской волны обеспечивает выполнение того условия в точках плоскости Π, которое соответствует типу границы полупространства в начальной постановке задачи. Таким образом, задача сводится к задаче о рассеянии двух плоских звуковых волн на двух неоднородных шарах в неограниченном пространстве. Решение проводится на основе линейной теории упругости и модели распространения малых возмущений в идеальной жидкости. Во внешней части жидкости решение ищется аналитически в форме разложения по сферическим гармоникам и функциям Бесселя. В шаровой области, включающей два шара и прилегающий слой жидкости, используется метод конечных элементов (МКЭ). Представлены результаты расчета диаграмм направленности рассеянного звукового поля в дальней зоне, которые показывают влияние геометрических и материальных параметров неоднородного препятствия на рассеяние звука.

В настоящей работе приведен обзор базовых математических понятий и конструкций, которые легли в основу методов геоинформатики, развиваемых научной школой академика А.Д. Гвишиани. Важно отметить, что в рамках указанной школы геоинформатика понимается более широко, чем изучение и применение географических информационных систем. Геоинформатика включает в себя исследования по созданию методов и алгоритмов, позволяющих автоматизировать решение задач в области наук о Земле на базе данных исходных наблюдений. Под решением понимается адекватное моделирование логики эксперта, осуществляющего анализ данных и принятие решений вручную. Именно системы наблюдений и регистрируемые данные о процессах, происходящих в недрах Земли и в околоземном пространстве, являются основой фундаментальных исследований как в области геоинформатики, так и других науках о Земле. Так, под руководством академика А.Д. Гвишиани была существенна развита система наблюдений магнитного поля Земли. Настоящая статья в большей мере посвящена математическому аппарату, используемому для анализа данных наблюдений с целью последующего выявления новых закономерностей в процессах Земли и околоземного пространства.

С помощью непрерывно-неоднородных упругих покрытий можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. В статье рассматривается задача дифракции сферической звуковой волны на однородном изотропном упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием. Полагается, что бесконечный круговой цилиндр с покрытием помещен в идеальную безграничную жидкость, законы неоднородности материала покрытия описываются дифференцируемыми функциями, на тело падает гармоническая сферическая звуковая волна, излучаемая точечным источником. В случае установившихся колебаний распространение малых возмущений в идеальной жидкости описывается скалярным уравнением Гельмгольца, а в упругом однородном изотропном цилиндре — скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца. Колебания неоднородного изотропного упругого цилиндрического слоя описываются общими уравнениями движения сплошной среды. Аналитическое решение рассматриваемой задачи получено на основе известного решения аналогичной задачи дифракции плоской волны. Потенциал скорости сферической волны представляется в интегральной форме в виде разложения по цилиндрическим волновым функциям. При этом подынтегральное выражение оказывается аналогичным по форме выражению потенциала скорости плоской волны. Поэтому потенциал скорости рассеянной волны в случае падения сферической волны на цилиндр с покрытием записывается в виде интеграла, подынтегральное выражение которого аналогично по форме выражению потенциала скорости рассеянной волны при падении плоской волны на тело. Для вычисления подынтегральной функции необходимо определить поле смещения в неоднородном покрытии, решая построенную краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Рассматриваются вычислительные аспекты оценки интеграла.

Анализ и прогноз афтершоков сильных землетрясений в мировой практике в настоящее время основан исключительно на стохастических моделях развития афтершокового процесса. Это дает возможность использования статистических методов анализа, а также применять в прогнозе ”сценарный” подход путем многократного генерирования случайных последовательностей афтершоков и подсчета частоты повторения интересующих событий. Исследования по проекту РНФ ”Создание информационной системы автоматической оценки сейсмической опасности после сильных землетрясений по данным геофизического мониторинга” в 2016-2018 гг. показали однако, что эффективность таких подходов имеет существенные ограничения. В статье дается критический обзор статистических методов анализа и прогноза афтершоков, интерпретируются пределы эффективности прогнозов при использовании стандартных подходов, приводится обоснование необходимости смены парадигмы. В качестве одного из направлений поиска предлагается применение методов Дискретного математического анализа (ДМА), разрабатываемых академиком А.Д. Гвишиани и его научной школой. Очевидное преимущество такого подхода продемонстрировано на примере простого алгоритма идентификации афтершоков с использованием аппарата нечетких сравнений.

Известная теорема, доказанная Доффиным и Шеффером, утверждает, что ограниченность степенного ряда с конечнозначными коэффициентами в некотором секторе единичного круга равносильна периодичности его коэффициентов, начиная с некоторого номера. В работе указывается класс рядов Дирихле с конечнозначными коэффициентами, ограниченными в любой полосе правой полуплоскости комплексной плоскости константой, зависящей только от высоты полосы, для которых доказан аналог теоремы ДаффинаШеффера. Ранее аналог теоремы Даффина-Шеффера был получен авторами для рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами. Методика доказательства этого результата позволила, в частности, решить известную проблему обобщенных характеров, поставленную в 1950 году Ю.В. Линником и Н.Г. Чудаковым. В данной работе эта методика использована при доказательстве аналога ДаффинаШеффера для указанного класса рядов Дирихле с мультипликативными коэффициентами.

При 2k > 0.5n(n+1)+1 0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1,w = [lnn/lnp,] доказана асимптотическая формула для числа решений системы сравнений

{x₁ +···+ xk ≡ y₁ +···+ yk (mod p^m)

Xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod p^m)},

где неизвестные x₁,...,x_k,y₁,...,y_k пробегают значения от 1 до pm−l из полной системы вычетов по модулю p^m.

При 2k ≤ 0.5n(n + 1) + 1 найденная формула не имеет места. Пусть 1 ≤ s < r < ··· < n,s + r +···+ n < 0.5n(n + 1),0 ≤ l ≤ 0,5k−w−1. Тогда при2 k > s + r +···+ n для числа решений системы сравнений

{xs/1 +···+ xs/k ≡ ys/1 +···+ ys/k (mod p^m)

xr/1 +···+ xr/k ≡ yr/1 +···+ yr/k (mod p^m)

xn/1 +···+ xn/k ≡ yn/1 +···+ yn/k (mod p^m)},

где неизвестные x₁,...,x_k,y₁,...,y_k принимают значения от 1 до p^m−l из полной системы вычетов по модулю p^m, найдена асимптотическая формула. Эта формула не имеет места при 2k ≤ s + r +···+ n.