Статья посвящена доктору физико-математических наук, академику Академии наук
Республики Таджикистан, выдающемуся специалисту в области теории чисел Зарулло Хусеновичу Рахмонову в связи с его 60–летием. Приводится краткая биография, основные
этапы его научной карьеры. Дан обзор результатов З. Х. Рахмонова по следующим проблемам теории чисел: о распределении чисел Гольдбаха и чисел Харди-Литтлвуда в коротких арифметических прогрессиях, по проблеме средних значений функции Чебышева и проблеме нулей дзета-функции Римана, лежащих в коротких прямоугольниках критической
полосы, по оценкам коротких тригонометрических сумм с простыми числами и проблеме Гольдбаха с почти равными слагаемыми, по проблеме Сельберга, касающейся нулей
дзета-функции Римана, лежащих на коротких промежутках критической прямой.
В заключение представлен список основных научных публикаций З. Х. Рахмонова

Пусть X достаточно большое вещественное число и $k \geq2$ натуральное число, M множества натуральных чисел не превосходящие X, которые непредставимы в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа, $E_k(X)=\card M$.

В настоящей работе доказана теорема

Теорема. Для достаточно больших X справедлива оценка $$E_k (X)\ll X^{\gamma},$$
где
$$ \gamma<\left\{
\begin{array}{lll}
1-(17612,983k^2 (\ln k+6,5452))^{-1}, & \text{при} & 2\leq k\leq 205,\\[1mm]
1-(68k^3 (2\ln k+\ln\ln k+2,8))^{-1}, & \text{при} & k>205,\\[1mm]
1-(137k^3 \ln k)^{-1}, & \text{при} & k>e^{628}.
\end{array}\right.
$$

В частности из этой теоремы следует, что оценка и $$\gamma<1-(137k^3 \ln k)^{-1},$$ полученная В. А. Плаксиным для достаточно больших k,
остается справедливой при $\ln k>628$.

В статье продолжены исследования по теории кратных тригонометрических сумм, в основе которой лежит метод И. М. Виноградова. Здесь мы находим для $$n=r=2$$ оценки снизу показателей сходимости особого ряда и особого интеграла асимптотической формулы при $P\to\infty$
для числа решений следующей системы диофантовых уравнений
$$
\sum_{j=1}^{2k}(-1)^jx_{1,j}^{t_1}\dots x_{r,j}^{t_r}=0,\quad 0\leq t_1,\dots, t_r\leq n,
$$
где $$n\geq 2,r\geq 1, k$$ - натуральные числа, причём каждая переменная $$x_{i,j}$$ может принимать все целые значения от 1 до $$P\geq 1.$$

Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из направлений теории диофантовых приближений. Начиная с работ Э. Бореля конца 19 века, разрабатывались как общие методы получения оценок для классов значений некоторых функций, так и специализированные подходы для оценки отдельных величин. Различные методы, в частности, применялись для исследования арифметических свойств значений функции $$\arctg x.$$

Для получения оценок показателя иррациональности значений $$\arctg x$$ многими авторами эта функция рассматривалась как частный случай гипергеометрической функции Гаусса. Одной из первых работ, в которой были получены такие оценки, стала работа М. Хуттнера 1987 г., доказавшего общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции вида $$F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|\varepsilon x^k\right), k\in\mathbb N, k\geq 2, \varepsilon=\pm 1.$$ Большую роль в развитии темы сыграли работы А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ваананена в которых также был построен метод, позволявший получать оценки показателя иррациональности для значений $$F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|z\right), k\in \mathbb N, k\geq 2,$$ в том числе для $$F_2^1\left(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}|-z^2\right)=\frac {1}{z}\arctg z.$$ Рассмотренный ими подход использовал приближение гипергеометрической функции полиномами Якоби и дал много конкретных результатов.

В последние десятилетия для построения оценок широкое распространение получили методы, использующие интегралы, симметричные относительно какой-либо замены параметров. Впервые интеграл, принципиально использующий свойство симметричности, был применён в работе В. Х. Салихова и позволил получить новую оценку показателя иррациональности для $$\ln 3.$$ Чуть позже В. Х. Салихов, применив аналогичный симметризованный комплексный интеграл, получил новую оценку меры иррациональности числа $$\pi.$$ В этой работе было использовано классическое равенство $$\frac{\pi}{4}=\arctg \frac{1}{2}+\arctg \frac{1}{3}.$$ Таким же способом, то есть с помощью комплексного симметризованного интеграла, в работе Е. Б. Томашевской были оценены значения вида $$\arctg \frac{1}{n}, n\in\mathbb N, n>2,$$ и улучшены некоторые предыдущие результаты для таких величин. Позднее, Е. Б. Томашевской был разработан аналогичный интеграл для оценки $$\arctg\frac{1}{2},$$ который позволил доказать результат $$\mu(\arctg \frac{1}{2})\leq 11.7116...,$$ остававшийся лучшим до настоящего времени.

В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг немного улучшили результат В. Х. Салихова для $$\ln 3,$$ рассмотрев другой тип интегральной конструкции, также использующей симметричность. В данной работе идея К. Ву и Л. Ванга применена для изменения интеграла Е. Б. Томашевской, что позволило улучшить его арифметические свойства и усилить предыдущий результат для меры иррациональности числа $$\arctg\frac{1}{2}.$$

В статье рассматриваются линейные обыкновенные дифференциальное уравнения второго порядка с переменными коэффициентами (исходные уравнения). Наряду с каждым исходным уравнением рассматривается точно такое же уравнение только с постоянными коэффициентами (сопутствующее уравнение). Показано, что общее решение исходного уравнения представляется в интегральной форме через общее решение сопутствующего уравнения и фундаментальное решение исходного уравнения. Фундаментальное решение находится методом возмущений в виде бесконечного ряда. Исследована сходимость ряда. В качестве конкретного примера применения разработанной методики рассматривается уравнение Чебышева.

В работе рассматривается структура данных - множество состояний процессов Linux,
которая используется в задаче восстановления дерева процессов в Unix-подобных операционных системах. Целью исследования является анализ зависимостей в такой структуре,
введение естественного порядка по зависимостям, предложение и обоснование возможности его введения как верхней полной полурешётки. Следующие из технических свойств
прикладной задачи иерархии атрибутов позводяют ввести дополнительные ограничения
на минимальные верхние границы в полурешётке. Ограничения формально описываются в
виде подходящих операторов предзамыкания и замыкания. Из ограничений следует необходимое условие корректности дерева процессов. На основании свойств точек, возвращае-
мых введёнными операторами и схемы выполнения системного вызова, приводится достаточное условие корректности: для каждого атрибута, возникающего в контексте процесса,
должно существовать решёточно упорядоченное относительно наследуемого порядка множество, содержащее промежуточные состояния процессов, через которые и разрешаются
зависимости. Введённые условия формируют критерий корректности дерева процессов,
что может быть полезно в таких задачах как генерация тестов для систем сохранения и
восстановления состояний Unix-подобных ОС, поиск аномалий, повышение портабельности и надёжности программных комплексов. Приводятся также схемы зависимостей между атрибутами, которые вводят частные ограничения на реконструирующее множество.
Рассматриваются открытые вопросы и предлагаются дальнейшие шаги.

Основная трудность, с которой приходится иметь дело при исследовании арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными
параметрами, состоит в том, что общий наименьший знаменатель нескольких первых коэффициентов соответствующих степенных рядов растет слишком быстро с увеличением
числа этих коэффициентов. Последнее обстоятельство делает невозможным использование известного в теории трансцендентных чисел метода Зигеля для проведения упомянутого исследования. Применение названного метода предполагает использование принципа
Дирихле для построения функциональной линейной приближающей формы. Это построение является первым этапом длинного и сложного рассуждения, приводящего в конечном
итоге к получению требуемого арифметического результата. Попытка применить принцип
Дирихле в случае функций с иррациональными параметрами наталкивается на непреодолимые трудности из-за упомянутого выше слишком быстрого роста общего наименьшего
знаменателя коэффициентов соответствующих рядов Тейлора. Вследствие этого в случае
функций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективное построение
линейной приближающей формы (или совокупности таких форм при использовании совместных приближений). Коэффициенты построенной формы являются многочленами с
алгебраическими коэффициентами. Для общего наименьшего знаменателя этих коэффициентов требуется затем получить приемлемую оценку сверху его абсолютной величины.
Известные оценки такого рода нуждаются в некоторых случаях в уточнении. Это уточнение осуществляется с применением теории делимости в квадратичных полях; дополнитель-
но используются сведения о распределении простых чисел в арифметической прогрессии.
В настоящей работе рассматривается один из вариантов эффективного построения совместных приближений для гипергеометрической функции общего вида и ее производных.
Общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов, входящих в эти приближения, оценивается затем с помощью уточненного варианта соответствующей леммы. Все
это позволяет получить новый результат об арифметической природе значений указанной
функции в малой по абсолютной величине ненулевой точке мнимого квадратичного поля.

Работа посвящена установлению коэрцитивных оценок и доказательств теорем разделимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка. На основе полученных коэрцитивных оценок исследуется коэрцитивная разрешимость нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка в пространстве $$L_{2,\rho}(R^n).$$ Проблемой разделимости дифференциальных операторов впервые занимались математики В. Н. Эверитт и М. Гирц. Они подробно изучали разделимость оператора Штурма-Лиувилля и его степеней. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К. Х. Бойматову, М. Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Существуют лишь отдельные работы, в которых рассматриваются нелинейные дифференциальные операторы, представляющие собой слабые нелинейные возмущения линейных операторов. Случай, когда исследуемый оператор строго нелинейный, т. е. его нельзя представить в виде слабого возмущения линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные здесь результаты также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного дифференциального оператора второго порядка
$$
L[u]=-\sum_{i,j=1}^na_{ij}(x)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}+\sum_{j=1}^n b_{j}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}+V(x,u)u(x),
$$
в весовом гильбертовом пространстве $$L_{2,\rho}(R^n)$$ и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. Рассматриваемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, т. е. является строго нелинейным. На основе полученных коэрцитивных оценок и разделимости исследуется разрешимость нелинейного дифференциального уравнения в пространстве $$L_{2,\rho}(R^n).$$

В статье исследуется полная полезность экономической деятельности на конечном отрезке времени в случае, когда функция полезности допускает с высокой точностью приближение линейной функцией. Приводится оценка наилучшего приближения функции полезности на отрезке с заданным отношением концов линейной функцией.

Исследуется полная полезность экономической деятельности в некоторой модели, когда
вложение в производство экономического ресурса задано в виде экспоненты, а функция
полезности — логарифм. Доказывается существование и единственность оптимального показателя экспоненты и находится интервал в котором содержится оптимальный показатель.

За последние десятилетия значительное развитие получила теория функциональнодифференциалных включений, прежде всего, функционально-дифференциальное включение запаздывающего типа. Ученые разных стран ведут исследования в области теории начально-краевых задач для различных классов дифференциальных, интегро-дифференциальных и функционально-дифференциальных включений в частных производных с целым и дробным порядками производных. Настоящая работа посвящена дробным функционально-диференциальным и интегродифференциальным включениям типа Хейла занимающие промежуточное место между функционально-дифференциальными включениями с запаздыванием и включениями нейтрального типа. Установлены достаточные условия существования слабых решений включений типа Хейла с дробным порядком производной. Методы дробного интегро-дифференциального исчисления и теории
непод-вижных точек многозначных отображений лежат в основе настоящего исследования. Известно, что динамика экономических, социальных и экологических макросистем
представляет собой многозначный динамический процесс и дифференциальные и интегродифференциальные включения дробного порядка являются естественными моделями динамики макросистем. Такие включения используются также для описания некоторых физических и механических систем с гистерезисом. В конце работы приводится пример иллюстрирующий абстрактные результаты.

Проблема периодичности функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля тесно связана с проблемой поиска и построения фундаментальных S-единиц гиперэллиптического поля и проблемой кручения в якобиане соответствующей гиперэллиптической кривой. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Б. Мазуром в 1978 году. Для гиперэллиптических кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел приведенные три проблемы остаются открытыми.
Теория функциональных непрерывных дробей стала мощным арифметическим инструментом для исследования этих проблем. Кроме этого, возникающие в теория функциональных непрерывных дробей задачи имеют собственный интерес. Иногда эти задачи имеют аналоги в числовом случае, но особенно интересны задачи, которые значительно отличаются от числового случая. Одной из таких задач является задача об оценке сверху длин периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел.
В данной статье мы находим оценки сверху на длины периодов для ключевых элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел. В случае, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом нечетной степени, длина периода рассматриваемых элементов либо бесконечна, либо не превосходит удвоенной степени фундаментальной S-единицы. Более интересный и сложный случай, когда гиперэллиптическое поле задается многочленом четной степени.
В 2019 году В.~П.~Платоновым и Г.~В.~Федоровым для гиперэллиптических полей
$$L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt{f}), \deg f = 2g+2,$$ найден точный промежуток
значений $$s \in \mathbb{Z}$$ таких, что непрерывные дроби элементов вида
$$\sqrt{f}/h^s \in L \setminus \mathbb{Q}(x)$$ периодические.
Используя этот результат в данной статье найдены точные оценки сверху на длины периодов функциональных непрерывных дробей элементов гиперэллиптического поля над полем рациональных чисел, зависящие только от рода гиперэллиптического поля и порядка группы кручения якобиана соответствующей гиперэллиптической кривой.

Статья состоит из двух частей. В первой части излагается обзор
результатов о наилучшего приближения периодических дифференцируемый
функций тригонометрическими полиномами в гильбертовом пространстве
$$L_{2}:=L_{2}[0,2\pi].$$ Приведены точные неравенства между величиною
наилучшем приближении функции и усредненными с заданным весом
значениями модулей непрерывности m-го порядка r-той производной
функции, а также их аналоги для некоторых модификаций модуля
непрерывности m-го порядка.

Во второй части статьи приведены некоторые новые точные неравенства
типа Джексона-Стечкина для характеристики гладкости, введенной
К. В. Руновским и более подробно изученной
С. Б. Вакарчуком и В. И. Забутной. Получен точный
результат об одновременном приближении функции и ее последовательных
производных для некоторых классов функций, задаваемых указанной
характеристикой гладкости.

Понятие насыщенности, введенное в конце прошлого века, оказалось плодотворным при
изучении бесконечных групп. Было получено описание различных классов бесконечных
групп с различными вариантами насыщающих множеств. В частности, было установлено,
что периодические группы с насыщающим множеством, состоящим из конечных простых
неабелевых групп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, есть в точно-
сти локально конечные группы лиева типа над подходящим локально конечным полем.
Естественным шагом в дальнейших исследованиях был отказ от условия периодичности
на исследуемую группу и отказ от структуры насыщающего множества, как множества,
состоящего из конечных простых неабелевых групп лиева типа, ранги которых ограничены
в совокупности. В настоящей работе рассматриваются смешанные группы (т.е. группы ко-
торые содержат как элементы конечного порядка, так и элементы бесконечного порядка)
Шункова.
Хорошо известно, что группа Шункова не обязана обладать периодической частью
(т.е. множество элементов конечного порядка в группе Шункова не обязательно является
группой). В качестве насыщающего множества рассматривается множество полных линей-
ных групп степени 2 над конечными полями четной характеристики. Отсутствие аналогов
известных результатов В. Д. Мазурова о периодических группах с абелевыми централи-
заторами инволюций долгое время не позволяло установить структуру группы Шункова
с упомянутым выше насыщающим множеством. В данной работе эту трудность удалось
преодолеть. Доказывается, что группа Шункова, насыщенная полными линейными груп-
пами степени 2 над конечными полями характеристики 2, локально конечна и изоморфна
полной линейной группе степени 2 над подходящим локально конечным полем характери-
стики 2.

Развитие современных промышленных производств выдвигает ответственную и слож-
ную задачу охраны населения, обслуживающего персонала и окружающей среды от ава-
рий. Первостепенное значение приобретает анализ возможных отклонений от нормальных
эксплуатационных режимов на данных производствах и тщательное изучение возможного
развития различных аварийных ситуаций, приводящих к динамическим воздействиям на
сооружения и нахождение условий разрушения элементов конструкций. В статье предло-
жена математическая методика нахождения условий разрушения элементов строительных
конструкций динамическим нагружением. Для решения динамических задач, использует-
ся вариационный подход, основанный на построении функционала расчета мощности упру-
гой деформации с учетом мощности сил инерции, в контексте с применением современ-
ных программных комплексов, базирующихся на методе конечных элементов. В качестве
примера рассмотрена задача компьютерного моделирования воздействия динамической
нагрузки, расположенной над центром железобетонной плиты, позволяющая определять
напряженно-деформированное состояние простейших элементов строительных конструк-
ций плит. Все расчеты производились в среде ANSYSLS-DYNA. Получены результаты в
форме графиков скоростей деформаций и полей напряжений. Проведено сравнение полу-
ченных результатов с аналитическим решением аналогичной задачи, приведенной в работе
Г. Т. Володина.

В работе описаны исторические аспекты изучения световых и электрических явлений,
способствующих возникновению лазера и развития лазерной техники. Представлен прин-
цип действия лазера, перечислены основные типы и характеристики лазеров. Показана
зависимость мощности излучения от длины волны лазера. Рассказано о различных обла-
стях применения лазеров. Приведен список современной научной литературы с техноло-
гическими параметрами лазерной обработки различных материалов.

Статья посвящена выдающемуся математику Александру Яковлевичу Хинчину в связи
с его 125-летием со дня рождения и 60–летием со дня кончины.
Дан комментарий по результатам А. Я. Хинчина в теории чисел.

Работа посвящена сто пятнадцатой годовщине со дня рождения Николая Григорьевича
Чудакова.

Авторы статьи ставили перед собой задачи: охарактеризовать основные этапы жиз-
ни ученого и преподавателя Тульского государственного педагогического университета
им. Л. Н. Толстого Владислава Ивановича Рыбакова и дать краткий анализ его научной
деятельности, оказавшей значительное влияние на развитие функционального анализа.
Особо отмечаются исследования В. И. Рыбакова по теории меры и интеграла. Под
его руководством вели научную работу отдельные студенты, которые впоследствии стали
кандидатами физико-математических наук.
Владиславом Ивановичем Рыбаковым получены глубокие, содержательные научные
результаты. Например, о «the classical theorem of Rybakov» можно прочитать в книгах и
статьях, опубликованных в международной математической печати.
Владислав Иванович Рыбакова активно занимался научной деятельностью до своей
смерти. В статье приводятся результаты, полученные В. И. Рыбаковым в разные периоды
его жизни.