В статье рассматривается нелинейное стационарное уравнение Фоккера – Планка – Колмогорова с параметром. Найдены условия на его коэффициенты, при которых гарантируется существование селекции (сопоставления каждому значению параметра одного из
решений уравнения для этого значения параметра) с суслинской и с борелевской зависимостью от параметра.

Методом монотонных (по Браудеру – Минти) операторов доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решения для различных классов неоднородных нелинейных интегральных уравнений, в которые операторы дробного (по Риману – Лиувиллю) интегрирования входят линейно или нелинейно, либо эти операторы содержат нелинейность под знаком интеграла (уравнения типа Гаммерштейна). В последнем
случае существование и единственность решения установлены без условия коэрцитивности на нелинейность. Во всех случаях важную роль играют найденные в работе условия, при которых операторы дробного интегрирования действуют непрерывно из вещественных пространства Лебега 𝐿𝑝(𝑎, 𝑏) в сопряженные с ними пространства и являются строго положительными. Доказанные теоремы в рамках пространства 𝐿2(𝑎, 𝑏) охватывают соответствующие линейные уравнения с интегралами дробного порядка. Из полученных оценок, в частности, непосредственно вытекает, что при условиях доказанных теорем соответствующие однородные линейные и нелинейные интегральные уравнения имеют лишь тривиальное (нулевое) решение.

В работе рассмотрена новая постановка задачи интерполяции, когда интерполирующая функция совпадает с интерполируемой функцией на прямом произведении промежутка и конечной обобщённой параллелепипедальной сетки. Исследуется новый объект исследования — интерполяционный тригонометрический многочлен с переменными коэффициентами.

В работе строится регуляризованное асимптотическое решение сингулярно возмущенной задачи Коши для уравнения Шредингера на промежутках времени, содержащих фокальные точки. Опираясь на идеи асимптотического интегрирования задач с нестабильным
спектром указано, каким образом следует вводить регуляризирующие функции, подробно описан формализм метода регуляризации для указанного вида особенности, проведено обоснование этого алгоритма и построено асимптотической решение любого порядка по малому параметру.

В работе исследуется задача Коши для системы уравнений параболического типа с постоянными коэффициентами и верхнетреугольной матрицей взаимодействия. Доказана теорема о структуре решения и получены явные формулы для компонент через матричное фундаментальное решение. В общем случае произвольной (не верхнетреугольной) матрицы взаимодействий аналитическое решение системы не может быть получено в явном замкнутом виде, аналогичном формуле Пуассона для уравнения теплопроводности.
Стандартный метод разделения переменных и представления решения через собственные функции становится неприменимым из-за несамосопряженности оператора при произвольной матрице взаимодействий. Это связано с тем, что операторы диффузии и взаимодействия не коммутируют в общем случае, что приводит к необходимости использования ряда Дайсона для получения решении. Основной результат состоит в получении необходимых
и достаточных условий обрыва ряда Дайсона, что позволяет получить точное решение в виде конечной суммы.

Получена асимптотическая формула для числа представлений достаточно большого натурального числа 𝑁 в виде

при условиях

где 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3 и 𝑁 — попарно взаимно простые натуральные числа, а 𝐵𝑖 — произвольные фиксированные положительные числа.
Ранее аналогичная асимптотическая формула была доказана при условии

В настоящей работе проводится исследование системы Фабера – Шаудера, которая является базисом в пространстве непрерывных функций на отрезке, а также системой представления в лебеговых пространствах 𝐿𝑝[0; 1]. Изучается вопрос о возможности построения представлений функций рядами по системе Фабера – Шаудера посредством орторекурсивных разложений по данной системе. В работе приводится доказательство теорем о сходимости орторекурсивных разложений в различных функциональных пространствах. В частности, установлено, что для любой непрерывной функции её орторекурсивное разложение по системе Фабера – Шаудера сходится поточечно всюду к разлагаемой функции, за исключением, быть может, счётного множества точек. Для более широкого класса суммируемых функций доказана сходимость орторекурсивных разложений почти всюду. Кроме
того, получены результаты о сходимости по норме в пространствах 𝐿𝑝. В работе также отмечается модификация системы Фабера – Шаудера, построенная на основе половинных сдвигов базисных функций. Такая модификация позволяет достичь равномерной сходимости орторекурсивных разложений непрерывных функций. Сопоставляются теоремы сходимости орторекурсивных разложений по стандартной системе Фабера – Шаудера и по её
модификации.

Пусть 𝑇1, . . . , 𝑇𝑚 – попарно взаимно простые натуральные числа. Рассмотрим последовательности целых чисел {𝑎_n}^(𝑘,𝑗) , 𝑗 = 1, . . . ,𝑚, 𝑘 = 1, . . . , 𝑇𝑗 удовлетворяющие условиям

Будем считать, что выполнены следующие условия.
1) Для каждого 𝑗 = 1, . . . ,𝑚 пусть 𝑎(1,𝑗) 𝑛 = 1 для всех 𝑛.
2) Для каждого 𝑗 = 1, . . . ,𝑚 пусть векторы (︁𝑎(𝑘,𝑗)0 , . . . , 𝑎(𝑘,𝑗)𝑇𝑗−1)︁
, 𝑘 = 2, . . . , 𝑇𝑗 линейнонезависимы с вектором (︁𝑎(1,𝑗)0 , . . . , 𝑎(1,𝑗)𝑇𝑗−1)︁ = (1, . . . , 1).

Обозначим

Проведённые эксперименты показали хорошие статистические свойства последовательностей двоичных цифр значений этих функций. Результаты экспериментов приведены в статье.

А. О. Гельфонд доказал, что при условии взаимной простоты 𝑏 − 1 и 𝑑 суммы цифр разложений натуральных чисел в 𝑏-ичную систему счисления равномерно распределены по арифметическим прогрессиям с разностью 𝑑. Данный результат позднее был обобщен на разложения по линейным рекуррентным последовательностям и на разложения Островского.
Эминян решил задачу о совместном распределении сумм цифр двоичных разложений пары последовательных натуральных чисел по модулю 2. Теорема Эминяна также может быть легко выведена из одного старого результата Малера. Позднее аналогичный
результат был получен для разложений Цеккендорфа по числам Фибоначчи и, далее, для разложений по широкому классу линейных рекуррентных последовательностей.
В настоящей работе рассмотрен аналог задачи Малера – Эминяна для разложений Островского, связанной с произвольным иррациональным 𝛼. Получены асимптотические формулы для количества чисел, не превосходящих 𝑋, с заданным распределением сумм цифр разложений Островского 𝑛 и 𝑛+1 по модулю 2. Константы в главных членах асимптотик выражаются в виде суммы некоторого бесконечного ряда, члены которого выражаются в терминах разложения 𝛼 в цепную дробь. Данные константы явно вычислены для 𝛼 = (√5−1)/2 .
В основе доказательства лежит ранее полученная автором и А. А. Жуковой теорема геометризации, описывающая множества чисел с заданным окончанием разложения Островского, а также теория равномерного распределения для последовательности {𝑛𝛼}.

В работе численно сравниваются два метода решения периодического уравнения Пуассона −Δ𝑢 = 𝑓 на двумерном торе [0, 1)2: классическое двумерное БПФ на равномерной сетке 𝑁 × 𝑁 и алгоритм на параллелепипедальной сетке 𝑀(𝑎, 𝑝), сводящий вычисление коэффициентов Фурье решения к одномерному ДПФ длины 𝑝 от значений правой части в узлах сетки. Сравнение методов производится на двух модельных задачах с гладкой и кусочно-гладкой правыми частями.

В работе исследуется применимость правила Рунге для оценки равномерной погрешности тригонометрической интерполяции ‖𝑓 −𝑆𝑀(Λ),𝑀*(Λ),𝑓 ‖ на параллелепипедальных сетках Коробова. В качестве индикатора погрешности предложено сравнение интерполянта с его значениями на сдвинутой параллелепипедальной сетке 𝑀(Λ)2𝑁: индикатор сводится к одному обратному БПФ длины 2𝑁 и имеет ту же сложность, что и интерполяция.
На тестовых функциях из классов Коробова 𝐸22 и 𝐸∞2 показано, что отношение точной погрешности к Рунге-индикатору устойчиво по 𝑁.

В работе мы рассматриваем ограниченные справа дуальные слева кольца. Доказано, что топологический радикал Бэра таких колец совпадает с множеством всех топологически нильпотентных элементов. Далее определяются топологически ниль-армендарицевы
кольца. Доказано, что ранее рассмотренные кольца таковыми являются.

В работе рассмотрена новая постановка задачи изучения решёток Коробова.

Пифагоровым треугольникам, или пифагоровым тройкам, посвящена столь обширная научно-популярная литература, включая статьи из «Кванта» и «Квантика», что нет смысла перечислять все источники в списке литературы, а достаточно набрать соответствующие слова в какой-нибудь поисковой системе в интернете. Можно найти сайты, где явно приводятся все пифагоровы треугольники, в которых гипотенуза не превышает определённое большое число, например, 1 000 000. В каждой из публикаций наряду с общеизвестными веками фактами обращается внимание на какие-то новые штрихи и любопытные числовые
детали. Ниже предлагается один из возможных алгоритмов перебора всех неприводимых пифагоровых треугольников, сводящийся к разбиению их на серии, в каждой из которых
есть свой инвариант.

Рассматриваются сингулярно возмущенные параболические уравнения в областях с угловыми точками границы. Для построения асимптотики решения применяется метод угловых пограничных функций. Цель данной работы – выявить особенности параболических уравнений, для решения которых возможно применение метода угловых пограничных функций.

В работе изучаются наилучшие совместные приближения второго рода для рационально зависимых иррациональностей. Показано, что начиная с некоторого места они определяются подходящими дробями к общей мере этих иррациональностей, которой кратны эти
иррациональности.

Натуральные числа, представимые в виде суммы простого числа и степени двойки с натуральным показателем, называются числами Романова. Начало изучению таких чисел положено Л. Эйлером, К. Гольдбахом [3] и А. де Полиньяком [1, Th´eor`eme 2, IV]. В своей
работе [10] 1934 года Н. Романов доказал, что множество чисел Романова имеет положительную нижнюю плотность, то есть для некоторой константы 𝛼 > 0 всякий отрезок [1, 𝑥] при 𝑥 ≥ 4 содержит хотя бы 𝛼𝑥 чисел, представимых в виде 𝑝 + 2𝑛. Данный результат
обобщается также и на случай степени произвольного натурального 𝑎 : 𝑝 + 𝑎𝑛, с константой, зависящей от 𝑎. Основной метод доказательства состоит в совмещении неравенства
Коши – Буняковского – Шварца и методов решета. Теорема Романова допускает множество обобщений: так, Г. Ригер [8] доказал её аналог для числовых полей, И. Шпарлинский и А.
Вайнгартнер [11] установили тот же результат для многочленов над конечными полями, а А. Радомский [7] получил ряд результатов о числе представлений натуральных чисел в виде 𝑎 + 𝑏, где 𝑎 — элемент просеянного множества (например, простое число или сумма двух квадратов целых чисел), а 𝑏 берется из какого-нибудь более сложно устроенного множества. В частности, в упомянутой работе получены результаты о суммах 𝑝+#𝐸(Fℓ), где 𝑝 и ℓ — простые, а #𝐸(Fℓ) есть количество точек фиксированной эллиптической кривой 𝐸 над полем Fℓ.
Что касается нечётных чисел, не являющихся числами Романова, П. Эрдёш [2] установил в 1950 году, что верхняя плотность чисел Романова не превосходит 1/2− 1/(2^(241)·3·5·7·13·17·241) .
Доказательство использует покрывающие системы сравнений для того, чтобы построить явную арифметическую прогрессию с разностью 2^241 ·3·5·7·13·17·241, не содержащую чисел Романова. В той же работе сформулирована гипотеза о неограниченности наименьшего модуля в покрывающей системе, получившая отрицательный ответ лишь 63 года спустя в работе [5]. Оценка Эрдёша была позже понижена до 0.490491 Л. Абсигером и К. Ф. Робло [4].
Данная работа также посвящена результатам о дополнении к множеству чисел Романова. А именно, доказаны нижние оценки для длины наибольшего подотрезка в [1,𝑋], не содержащего чисел Романова. Теорема 2 даёт общий способ получения таких нижних оценок, зависящий от произвольного множества 𝒫, состоящего из простых чисел. Основной результат — теорема 1 — доказан двумя разными способами: элементарный безусловный подход использует примитивные простые делители чисел 2𝑚−1, а второй подход основывается на расширенной гипотезе Римана для дзета-функций некоторого семейства числовых полей. Получающиеся в этих подходах оценки совпадают.

Как известно, нечеткие множества – это классические объекты, обобщающие классические множества, где принадлежность элемента характеризуется функцией, принимающей значения в интервале [0, 1]. Нечеткие множества часто используются в различных прикладных исследованиях. Нечеткая топология как направление в математике возникла в результате синтеза идей и понятий теории нечетких множеств и нечеткой логики с предметом общей топологии и позволяет, в частности, по-новому взглянуть на многие факты общей топологии.
В свою очередь, в работах ряда математиков методы нечеткой топологии применяются к различным алгебраическим системам (группам, векторным пространствам и другим).
В настоящей заметке исследуются нечеткие топологии на унарных алгебрах, т.е. универсальных алгебрах, все сигнатурные операции которых имеют арность 1. Такие алгебры могут быть интерпретированы как полигоны над полугруппами или как алгебраические автоматы без выхода.
В работе доказано, что нечеткие топологии на произвольной унарной алгебре образуют полную решетку по включению. При этом эта решетка является подрешеткой решетки всех
нечетких топологий на носителе данной алгебры. Вопросы, связанные с описанием свойств и строения решеток нечетких топологий унарных алгебр, в настоящее время остаются
открытыми.

В работе с помощью дискретного эргодического метода Ю. В. Линника (см. [1]) исследуется вопрос об асимптотике целых точек на двуполостном гиперболоиде, соответствующих матрицам второго порядка с заданным чётным следом 2𝑡 и с растущим определителем
𝑚 → ∞ (частный случай нулевого следа относится к ранее проведённым исследованиям (см. [1]–[4]).

Кроме стандартного канонического представления полиадического числа

можно рассматривать ряды другого вида, с помощью которых можно представить любое полиадическое число. Пусть 𝑝𝑛 обозначает 𝑛−е простое число. Положим

Тогда любое полиадическое число 𝛼 можно представить в виде

Это представление позволяет достаточно просто получать примеры глобально алгебраически независимых полиадических чисел.

В работе доказана разрешимость многомерной аддитивной системы сравнений по простому модулю для многочленов от нескольких переменных. А.А.Карацуба полностью исследовал одномерный случай, получив правильный порядок числа слагаемых для разрешимости рассматриваемой системы сравнений.

В статье приведены метод и численный алгоритм для оценки эффективных нелинейно-упругих характеристик пористого материала при конечных деформациях. Подход описан для двумерного случая и основан на численном решении краевых задач нелинейной теории упругости на представительной площади пористого материала либо на его ячейке периодичности. Используются основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций. Краевые задачи решаются с использованием нелинейного расчётного ядра российского инженерного программного комплекса «Фидесис». В случае моделирования материала регулярной структуры к его прямоугольной ячейке прикладываются периодические граничные условия в виде наложения связей на перемещения противоположных сторон. Эффективные свойства оцениваются в виде квадратичной зависимости тензора обобщённых напряжений от тензора деформаций. Проведены две серии расчётов эффективных характеристик: для пористой меди и пористой резины. Исследовано влияние порового давления на эффективные модули первого и второго порядка. Показано, что модули упругости второго порядка значительно зависят от приложенного давления.
Сделан вывод о необходимости учёта внутреннего давления в пористом материале при моделировании его нелинейного деформирования.

Вследствие практической ценности результатов исследования рассеяния звука на телах различной структуры и конфигурации важна и актуальна проверка их непротиворечивости. Существующие способы контроля точности решений дифракционных задач не позволяют оценить корректность полученных данных. Для достижения этой цели предложено
использовать энергетический критерий, заключающийся в проверке выполнения закона сохранения акустической энергии. В качестве энергетической характеристики, баланс которой необходимо исследовать согласно данному критерию, должен выступать поток энергии звуковой волны, усредненный по времени. Выражение для интегрального энергетического критерия представляет собой равенство среднего потока энергии в рассеянной волне и среднего потока энергии взаимодействия падающего и рассеянного поля. Задача о дифракции плоской звуковой волны на абсолютно жесткой неподвижной сфере выступала в качестве модельной для демонстрации применения энергетического критерия. Исследование энергетического баланса проведено для различных значений волнового числа, а также
радиусов тела и сферической поверхности, окружающей препятствие. На основе анализа полученных результатов установлено, что высокая степень точности выполнения энергетического критерия свидетельствует о правильности решения поставленной дифракционной задачи. Показано, что использование энергетического критерия позволяет обнаружить
наличие ошибок в значениях искомых коэффициентов. Неточность найденного решения выявлена графически путем анализа зависимости расхождения между энергетическими показателями от числового параметра, характеризующего величину введенной ошибки.
Исследовано угловое распределение среднего за период потока энергии в рассеянной волне и определено, что ошибочный расчет коэффициентов приводит к его видоизменению.

В статье рассматривается задача дифракции цилиндрической звуковой волны на упругом многослойном цилиндре, находящемся в однородной идеальной сжимаемой жидкости.
Первичное поле возмущений представляет собой цилиндрическую гармоническую звуковую волну, излучаемую линейным источником. Полагается, что оси источника и рассеивателя не являются параллельными и не лежат в одной плоскости.
Получено аналитическое решение задачи.