В работе получены оценки: для количества натуральных чисел 1 ⩽ 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏𝑠 ⩽ 𝑋, удовлетворяющих условиям конгруэнц-разрешимости и положительной разрешимости;
для исключительного множества в задаче об одновременном представлении 𝑠 чисел 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏𝑠 в виде суммы 𝑚 (𝑠 < 𝑚 ⩽ 2𝑠) простых чисел, а также новая оценка снизу для чисел представлений 𝑏1, 𝑏2, ..., 𝑏𝑠 в указанном виде.

Расстояние Громова – Хаусдорфа (в дальнейшем ГХ-расстояние) является мерой неизометричности метрических пространств. В настоящей работе изучается модификация этого расстояния, при которой также учитываются и топологические различия. Полученная функция пар метрических пространств была названа непрерывным ГХ-расстоянием.
Мы показываем, что многие базовые свойства классического ГХ-расстояния также имеют место и в непрерывном случае. Тем не менее непрерывное ГХ-расстояние, различая топологии, может существенно отличаться от классического. Мы приведем многочисленные примеры отличия, покажем, какую роль здесь играет топологическая размерность.
В частности, мы докажем, что непрерывное ГХ-расстояние, как и классическое, является внутренним, но, в отличие от классического, неполным. Так как мы имеем дело со всеми
метрическими пространствами, мы в рамках теории фон Неймана – Бернайса – Гёделя, покажем, как можно перенести топологические понятия и на собственные классы.

Современные математические модели, компьютерные технологии, финансовые инструменты и механизмы сформировали новое направление «финансовый инжиниринг». В рамках финансового инжиниринга представляет интерес формулировка новых математических задач управления финансовыми ресурсами, в том числе модификация целевых функционалов. В данной работе предлагается один из вариантов такой модификации, а именно
для двухсекторной модели эконмической динамики рассматривается двухкритериальная задача, формализуемая в виде максиминной задачи управления. Проведено полное исследование зависимости вида оптимальной траектории от величины интервала управления.

В работе изучаются свойства унимодулярных решёток совместных приближений Дирихле и взаимных решёток совместных приближений Дирихле. Доказывается теорема о
равенстве расстояний между двумя решётками и между двумя соответствующими взаимными решётками. Доказывается полнота пространств решёток совместных приближений Дирихле и взаимных решёток совместных приближений Дирихле.

Работа посвящена изучению фазовой топологии интегрируемого случая Ковалевской – Чаплыгина в динамике твёрдого тела. Этот случай, с одной стороны, является обобщением классических случаев Ковалевской и Чаплыгина, а с другой стороны, вписывается в 6-параметрическое семейство гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, интегрируемых при нулевом значении интеграла площадей. Для рассматриваемой задачи детально изучены критические подсистемы — системы с одной степенью свободы, являющиеся ограничением исходной гамильтоновой системы на критическое множество отображения момента. Получена явная параметризация критического множества, что как следствие даёт бифуркационную диаграмму и образ отображения момента. Для всех пяти критических подсистем при каждом значении интеграла энергии и параметра задачи получено их явное
решение в эллиптических квадратурах. Кроме того, для каждой критической подсистемы описаны бифуркации интегральных траекторий при изменении уровня энергии. Оказалось, что все нетривиальные бифуркации седлового типа исчерпываются 2-атомами 𝐵 и 𝐶2 (стандартные перестройки двух критических окружностей в одну и двух окружностей в две соответственно).

В статье выведены формулы для свободных углов различного порядка 𝑅𝑅-многогранников и приложения найденных соотношений к доказательству полноты списка несоставных 𝑅𝑅-многогранников второго типа с остроугольными ромбическими вершинами. Свободные углы первого порядка — это плоские углы, вершины которых принадлежат ромбическим звёздам 𝑅𝑅-многогранников. Стороны каждого свободного угла первого порядка являются двумя сторонами смежных ромбов ромбической звезды. Ранее автором была найдена связь острых углов ромбов ромбической вершины со с вободными углами первого порядка. Здесь будут установлены связи плоских углов между двумя сторонами правильных многоугольников, подклеенных в свободные углы первого порядка, с острыми углами ромбов. Углы между сторонами правильных граней названы в работе свободными углами второго порядка. Аналогично стороны соседних правильных многоугольников, подклеенных в свободные углы второго порядка, образуют угол, названный свободным
углом третьего порядка. Рассмотрены все возможные случаи подклеивания одного или двух одинаковых правильных многоугольников в свободные углы, что позволяет установить полноту списка несоставных 𝑅𝑅-многогранников с остроугольными ромбическими вершинами и правильными гранями различного типа.

В данной работе рассматривается модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза с интегральным источником. Показано, что метод обратной спектральной задачи может быть применен для интегрирования модифицированного равнения Кортевега – де Фриза с интегральным источником. Определена эволюция спектральных данных оператора Дирака с периодическим потенциалом, связанным с решением модифицированного уравнения Кортевега – де Фриза с интегральным источником. Доказана разрешимость задачи Коши для бесконечной системы дифференциальных уравнений Дубровина — Трубовица в классе шесть раз непрерывно дифференцируемых периодических функций. Показано, что построенное решение действительно удовлетворяет рассматриваемому уравнению.

В этой статье мы покажем, что в обычном 𝑝-пространстве для каждой пары непересекающихся идеального множества Ротбергера и замкнутого множества существует пара непересекающихся открытых множеств, таких, что одно содержит замкнутое множество, а дополнение другого по отношению к идеальному множеству Ротбергера находится в соответствующем подидеале. Более того, мы демонстрируем, как семейства замкнутых множеств могут быть использованы для описания идеальных пространств Ротбергера.

Изучаются ретрактные и слабо ретрактные решетки — решетки, все конгруэнции на которых порождаются ретракциями или слабыми ретракциями соответственно. Ретракцией (слабой ретракцией) решетки называется любой ее идемпотентный решеточный (полурешеточный) эндоморфизм.
Получены структурные свойства ретрактных и слабо ретрактных решеток (параграф 2).
Доказано, что класс всех ретрактных решеток замкнут относительно гомоморфных образов (теорема 1), конечных прямых произведений (теорема 2), прямых сумм (теорема 4) и перехода к двойственным решеткам (замечание 13), но не замкнут относительно взятия подрешеток (предложение 1) и ординальных сумм (пример 12). Пример 11 показывает, что конечные произведения цепей суть ретрактные решетки. А более широкий класс слабо ретрактных решеток замкнут относительно гомоморфных образов, конечных прямых произведений, прямых сумм и ординальных сумм (теорема 3).
В параграфе 3 рассмотрены предварительные результаты о ретракциях прямого произведения 𝑚-элементной и 𝑛-элементной цепей (предложение 2, примеры 13 и 14). Поставлена проблема нахождения числа ретракций такого произведения.
Параграф 4 содержит формулировки результатов первого автора о строении ретрактных полурешеток, дополняющих полученные утверждения о ретрактных и слабо ретрактных решетках.
Сделаны поясняющие замечания.

работе логически анализируется стандартная жизненная (или литературная) картина, когда все слушатели (или, соответственно, читатели) вдруг дружно смеются после некоторой фразы рассказчика (или автора текста). Оказывается, с точки зрения мате-
матической логики это происходит, когда в создавшейся несколько проблемной ситуации произносится (или пишется) нечто совершенно неожиданное для слушателя (или читателя), но в определенной степени обоснованное, хотя возможно, логически и не достаточно корректное. Приводится пара примеров подробного разбора смешных ситуаций с целью демонстративного доказательства сформулированного утверждения, а также еще несколько аналогичных примеров таких ситуаций для их самостоятельного восприятия и анализа понятия смешного.

Выполнен анализ сходимости метода спектральных элементов (одной из современных модификаций метода конечных элементов) для динамической задачи теории упругости посредством сравнения численного решения с аналитическим решением задачи Лэмба —
задачи о динамическом воздействии на границу полуплоскости или полупространства сосредоточенной или распределенной нагрузкой, меняющейся по некоторому временному
закону. В статье рассматривается воздействие на границу нагрузкой, меняющейся по временному закону Берлаге. Расчеты выполнены с использованием отечественного прочностного программного пакета «Фидесис». Приводятся графики распределения напряжений для исследуемого материала. Исследована зависимость погрешности численного решения
от порядка элементов при фиксированном количестве точек на длину волны Рэлея.

В течение XVII в. в работах европейских ученых формировались аналитические методы, приходящие на смену геометрическим и синтетическим, где для каждой задачи создавался собственный уникальный конкретный метод, не допускающий обобщения на
широкий класс задач. На базе обобщения аналитических методов создавали свои теории И. Ньютон и Г.В. Лейбниц. Их изложение было затруднительно для освоения. Прямых учеников не было ни у Ньютона, ни у Лейбница. В Англии пропаганду учения Ньютона
взяли на себя К. Маклорен, Э. Галлей, А. де Муавр и Д. Стирлинг. В Европе распространением учения Лейбница занялись братья Бернулли. Рассматриваемый этап представляет собой переходный период от эпохи классических геометрических методов к  универсальным аналитическим. Якоб и Иоганн Бернулли были лучшими учителями математики в Европе, такого объема знаний не давал ни один университет. Как в Базеле, так и в Париже у них
было много учеников и последователей. Благодаря их  педагогической деятельности сформировалась сильнейшая в Европе базельская математическая школа. Выделены группы
ученых, обучавшихся либо консультировавшихся у Якоба Бернулли и Иоганна Бернулли как лично, так и в переписке, как регулярно, так и эпизодически, охарактеризована их научная деятельность. Это поколение в свою очередь создало потенциал для следующего поколения и дальнейшего развития аналитических методов, благодаря обобщению и классификации проблем анализа и аналитической механики уже к середине XVIII в. изменилась архитектура математики и расширились ее области.