Орторекурсивное разложение по системе Фабера – Шаудера
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-2-97-117
Аннотация
В настоящей работе проводится исследование системы Фабера – Шаудера, которая является базисом в пространстве непрерывных функций на отрезке, а также системой представления в лебеговых пространствах 𝐿𝑝[0; 1]. Изучается вопрос о возможности построения представлений функций рядами по системе Фабера – Шаудера посредством орторекурсивных разложений по данной системе. В работе приводится доказательство теорем о сходимости орторекурсивных разложений в различных функциональных пространствах. В частности, установлено, что для любой непрерывной функции её орторекурсивное разложение по системе Фабера – Шаудера сходится поточечно всюду к разлагаемой функции, за исключением, быть может, счётного множества точек. Для более широкого класса суммируемых функций доказана сходимость орторекурсивных разложений почти всюду. Кроме
того, получены результаты о сходимости по норме в пространствах 𝐿𝑝. В работе также отмечается модификация системы Фабера – Шаудера, построенная на основе половинных сдвигов базисных функций. Такая модификация позволяет достичь равномерной сходимости орторекурсивных разложений непрерывных функций. Сопоставляются теоремы сходимости орторекурсивных разложений по стандартной системе Фабера – Шаудера и по её
модификации.
Об авторе
Петр Суренович Степанянц
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Россия
Россия
аспирант
Список литературы
1. Faber G. ¨Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar. Deutsche Mathematiker-Vereinigung. 1910. Vol. 19. S. 104–112.
2. Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalr¨aumen. Mathematische Zeitschrift. 1927. Vol. 26. S. 47–65.
3. Кашин Б. С., Саакян А. А. Ортогональные ряды. Москва: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.
4. Лукашенко Т. П. Об орторекурсивных разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 10-й Саратовской зимней школы. Саратов: Издательство Саратовского университета. 2000. Т. 83.
5. Лукашенко Т. П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 2001. (1). С. 6–10.
6. Галатенко В. В. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Известия РАН. Серия математическая. 2005. Т. 69, № 1. С. 3–16. DOI: https://doi.org/10.4213/im622.
7. Кудрявцев А.Ю. О сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам // Математические заметки. 2012. Т. 92, № 5. С. 707–720. DOI: https://doi.org/10.4213/mzm8933.
8. Кудрявцев А.Ю. О скорости сходимости орторекурсивных разложений по неортогональным всплескам // Известия РАН. Серия математическая. 2012. Т. 76, № 4. С. 49–64. DOI:https://doi.org/10.4213/im7301.
9. Политов А. В. Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 2010. Т. 65, № 3. С. 95–99.
10. Galatenko V. V., Lukashenko T.P., Sadovnichiy V. A. Convergence Almost Everywhere of Orthorecursive Expansions in Systems of Translates and Dilates // Modern Mathematics and Mechanics. 2019. С. 3–11. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-96755-4_1.
11. Кудрявцев А.Ю. Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2001. С. 161–162.
12. Filippov V. I., Oswald P. Representation in 𝐿𝑝 by series of translates and dilates of one function // Journal of Approximation Theory. 1995. Vol. 82, № 1. P. 15–29.
13. Степанянц П. С., Паунов А. К. Орторекурсивное разложение по модификации системы Фабера-Шаудера // Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 2023. Т. 65, № 4. С. 15–22. DOI: https://doi.org/10.55959/MSU0579-9368-1-64-4-3.
14. Stepanyants P. S. Convergence Almost Everywhere of Orthorecursive Expansion with Respect to Modified Faber–Schauder System // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2024. Vol. 45, № 12. P. 6610–6623. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080224607057.
15. Кусис П. Введение в теорию пространств 𝐻𝑝. Москва: Мир, 1984.
16. Дьяченко М. И., Ульянов П. Л. Мера и интеграл. Москва: Факториал, 1998.
Рецензия
Для цитирования:
Степанянц П.С. Орторекурсивное разложение по системе Фабера – Шаудера. Чебышевский сборник. 2026;27(2):97-117. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-2-97-117
For citation:
Stepanyants P.S. Orthorecursive expansion with respect to Faber-Schauder system. Chebyshevskii Sbornik. 2026;27(2):97-117. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2026-27-2-97-117
Просмотров:
59
JATS XML
Послать статью по эл. почте 