Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Рецензируемый научно-теоретический журнал «Чебышевский сборник» «Chebyshevskii Sbornik» издается с 2001 года, зарегистрирован Федеральной службой по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций 16.12.2011 года (Свидетельство о регистрации: ПИ № ФС77-47855 ISSN - 2226-8383, онлайн ISSN 2587-7119), с 2015 года включен в список ВАК «Рецензируемые научные издания, включенные в Перечень, рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук». С 2017 года журнал индексируется в международной библиографической и реферативной базе данных Scopus. Подписной индекс – 10642 (Почта России).

Журнал отобран в 100 научных журналов в рамках проекта поддержки программ развития научных журналов МИНОБРНАУКИ РФ и АНРИ.

Периодичность издания - 4 раза в год, тираж - 150 экземпляров.

Распространяется по подписке и предварительному заказу на территории Российской Федерации и за рубежом. 

Электронная версия журнала размещена в открытом доступе на Общероссийском портале (http://www.mathnet.ru) и в Научной электронной библиотеке (http://elibrary.ru).

Журнал является общематематическим. Публикуются оригинальные статьи, допускаются статьи большого объема. Журнал охватывает широкий спектр направлений современной математики: теория чисел, алгебра и математическая логика, теория функций вещественного и комплексного переменного, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, математическая физика, геометрия и топология, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы, теория оптимизации и др. Все статьи проходят рецензирование у ведущих специалистов по данным направлениям.

Журнал индексируется в электронных базах данных Scopus, MathSciNet Американского математического общества и Zentralblatt MATH издательства Springer, Russian Science Citation Index (RSCI) (русская коллекция Web of Science), реферируется РЖ «Математика» (Россия, ВИНИТИ), «Mathematical Reviews» (США, American Mathematical Society).

Плата за публикацию и редакционную подготовку статей с авторов не взимается.

Адрес редакции: г. Тула, пр. Ленина, 125, учебный корпус №4 ТГПУ им. Л. Н. Толстого кафедра алгебры, математического анализа и геометрии (кабинет 310) и редакция «Чебышевского сборника» (кабинет 302а)

 

 

Текущий выпуск

Том 22, № 3 (2021)
Скачать выпуск PDF

Статьи 

6-19 26
Аннотация

Статья посвящена научной и педагогической деятельности Пафнутия Львовича Чебышева (1821 – 1894) – одного из крупнейших математиков XIX века, основоположника
теории синтеза механизмов, автора фундаментальных результатов в области теории вероятностей, преобразовавшего эту науку в один из наиболее динамически развивающихся разделов математики и математического естествознания, автора замечательных достижений в теории чисел, теории функций и математическом анализе и в других разделах математики, создателя блистательной Петербургской математической школы, вместе с Ш. Эрмитом, К. Вейерштрассом, Дж. Сильвестром, Г. Миттаг-Леффлером выступившего одним
из лидеров только зарождавшегося мирового математического сообщества.

20-31 34
Аннотация

Целю работы является найти оптимальные оценки ядер Бергмана для классических областей ℜ𝐼 (𝑚, 𝑘), ℜ𝐼𝐼 (𝑚), ℜ𝐼𝐼𝐼 (𝑚) и ℜ𝐼𝑉 (𝑛), соответственно, через ядра Бергмана в шарах из пространств C𝑚𝑘, C𝑚(𝑚+1)2 , C𝑚(𝑚−1) 2 и C𝑛. Для этого используются утверждения теоремы Зоммера-Меринга о продолжении ядро Бергмана и некоторые свойства ядра Бергмана.

32-56 22
Аннотация

В теории бигамильтоновых систем известна обобщенная гипотеза Мищенко–Фоменко. В гипотезе говорится о существовании полных наборов полиномиальных функций в инволюции относительно пары естественно возникающих пуассоновых структур на двойственных пространствах к алгебрам Ли. Данная гипотеза тесно связана с методом сдвига аргумента, предложенным А. С. Мищенко и А.Т. Фоменко в [10]. В исследованиях, посвященных данной гипотезе, была обнаружена связь существования полного набора в биинволюции с алгебраическим типом пучка согласованных скобок Пуассона, заданного линейной и постоянной скобкой. Числа, описывающие алгебраический тип пучка скобок общего положения на двойственном пространстве к алгебре Ли, называются инвариантами Жордана–Кронекера алгебры Ли. Понятие инвариантов Жордана–Кронекера было введено А. В. Болсиновым
и P. Zhang в [2]. Для некоторых классов алгебр Ли (например, полупростых алгебр Ли и алгебр Ли малой размерности) инварианты Жордана–Кронекера удалось вычислить, но
в общем случае вопрос вычисления инвариантов Жордана–Кронекера для произвольной алгебры Ли является открытым. Задача вычисления инвариантов Жордана–Кронекера
часто упоминается среди наиболее интересных нерешенных задач теории интегрируемых систем [4, 5, 6, 11].
В статье вычислены инварианты Жордана–Кронекера для серии 𝐵𝑠𝑝(2𝑛) и на каждой алгебре серии построены полные наборы полиномов в биинволюции. Также вычислены
инварианты Жордана–Кронекера для борелевских подалгебр 𝐵𝑠𝑜(𝑛) для любых 𝑛. Таким образом, вместе с результатами, полученными в [2] для 𝐵𝑠𝑙(𝑛), данная статья составляет решение задачи вычисления инвариантов Жордана–Кронекера борелевских подалгебр классических алгебр Ли.

57-76 21
Аннотация

Метод контурного интегирования, применяемый для изучения асимптотики сумм коэффициентов рядов Дирихле, основан на формуле обращения. Она позволяет выразить
сумму коэффициентов через сумму ряда. Такой подход дает эффективные оценки при условии, что абсцисса абсолютной сходимости ряда 𝜎𝑎 > 1. В некоторых случаях при изучении арифметических функций у производящих рядов Дирихле эта величина меньше 1.
Например, такая ситуация возникает при изучении распределения значений функции 𝑑(𝑛), числа делителей 𝑛, в классах вычетов по некоторому модулю. Как правило, в этом случае применяется тауберова теорема Деланжа, которая дает только главный член асимптотики для частоты попаданий значений 𝑑(𝑛) в классы вычетов. Но производящие ряды обладают лучшими свойствами, чем необходимо для применения этой теоремы. Используя метод
контурного интегрирования можно получить более точные результаты. Но для этого необходима формула обращения, которая была бы эффективна для рядов с 𝜎𝑎 < 1.
В настоящей работе доказывается такая формула обращения, которая применяется для изучения распределения значений функции 𝑑(𝑛) в классах вычетов, взаимно простых с модулем. В. Наркевич с помощью теоремы Деланжа получил главный член асимптотики для частоты попаданий значений 𝑑(𝑛) в классы вычетов. Применение формулы обращения, доказанной в этой работе, позволило получить более точный результат.

77-99 22
Аннотация

В статье рассмотрены вопросы перечисления некоторых графов специального вида.
Именно, доказан ряд новых результатов о числе остовных деревьев и остовных лесов графов, играющих важную роль в прикладных задачах теории информации. Во-первых, рассмотрены свойства остовных сходящихся лесов ориентированных графов, участвующих в построении квазиметрики среднего времени первого прохода – обобщенной метрической структуры, тесно связанной с эргодическими однородными цепями Маркова. Во-вторых,
изучены характеристики остовных корневых лесов и остовных сходящихся лесов неориентированных и ориентированных графов, необходимых для построения матрицы относительной лесной доступности – одной из мер близости вершин графовых структур, играющей важную роль при решении прикладных задач. Рассуждения проведены на основе нескольких простейших графовых моделей, в том числе на базе простого цикла, простого пути и их ориентированных аналогов.
В первом разделе (введении) представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы. Рассмотрена роль графовых моделей в представлении и исследовании эргодических однородных цепей Маркова – последовательностей случайных событий с конечным или счетным числом исходов, характеризующихся тем, что распределение вероятностей параметров процесса в следующий момент времени зависит только от параметров
процесса в предыдущий момент. Марковская цепь может быть изображена в виде ориентированного взвешенного графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги – переходам между ними. С другой стороны, любой связный граф (ориентированный граф) может служить базой для построения модели простейшей цепи Маркова: если вершина 𝑖 имеет степень (полустепень исхода) 𝑘, то все выходящие из нее ребра превращаются в дуги с весами 1/𝑘 . Дано определение и раскрыта роль матрицы относительной лесной доступности неориентированных и ориентированных графов для решения
прикладных задач теории информации.
Во втором разделе собраны базовые определения теории графов, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов работы. Дано определение графа и
ориентированного графа, остовного подграфа, остовного корневого леса (для неориентированных графов) и остовного сходящегося леса (для ориентированных графов). Приведены
примеры.
В третьем разделе дано определение чисел Фибоначчи, сформулирован и доказан ряд свойств чисел Фибоначчи, необходимых для получения основных результатов статьи в
случае неориентированных пути и цикла.
В четвертом разделе доказаны две теоремы о перечислении графов, связанных с построением матрицы среднего времени первого прохода для однородной эргодической цепи Маркова. Именно, найдено количество остовных сходящихся деревьев для ориентированного пути и цикла и остовных корневых деревьев для неориентированного пути и цикла;
произведен подсчет остовных лесов, состоящих из двух деревьев, для тех же графовых структур. Результаты, связанные с ориентированным случаем, сформулированы в терминах величин 2/𝑘, 𝑘 ≥ 0; результаты для неориентированного случая сформулированы в
терминах чисел Фибоначчи 𝑢𝑘, 𝑘 ≥ 1. Доказательства проведены на базе элементарных методов перечислительной комбинаторики.
В пятом разделе представлены результаты, связанные с перечислением остовных лесов, необходимых для построения матрицы относительной лесной доступности неориентированного пути и цикла и их ориентированных аналогов. Найдено общее количество остовных сходящихся лесов для ориентированного пути и цикла и остовных корневых лесов для неориентированного пути и цикла; произведен подсчет остовных сходящихся лесов, в которых вершина 𝑖 принадлежит дереву, сходящемуся к 𝑗 в ориентированном пути и цикле, и остовных корневых лесов, в которых вершина 𝑖 принадлежит дереву с корнем 𝑗 в неориентированном пути и цикле. Как и ранее, результаты, связанные с ориентированным случаем, сформулированы в терминах величин 2𝑘, 𝑘 ≥ 0; результаты для неориентированного случая сформулированы в терминах чисел Фибоначчи 𝑢𝑘, 𝑘 ≥ 1.
В шестом разделе (заключении) приведены основные выводы работы, намечены результаты дальнейших исследований.

100-121 19
Аннотация

Это вторая статья из серии, посвящённой сеткам Смоляка. Работа относится к аналитической теории чисел и в ней рассматриваются вопросы приложения теории чисел к
задачам приближенного анализа.
В настоящей работе было показано, что для произвольной сетки Смоляка тригонометрическая сумма сетки Смоляка 𝑆𝑞(⃗0) = 1. Отсюда следует, что норма линейного
функционала приближенного интегрирования на классе 𝐸𝛼
𝑠 равна значению гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка. Показано, что гиперболическая дзета-
функция 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка является рядом Дирихле. Отсюда возникает вопрос об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смо-
ляка как функции произвольного комплексного 𝛼 = 𝜎 + 𝑖𝑡. Так как сетка Смоляка относится к числу рациональных сеток, то у неё, оказывается, существует аналитическое
продолжение гиперболической дзета-функции 𝜁(𝛼|𝑆𝑚(𝑞, 𝑠)) сетки Смоляка на всю комплексную плоскость, кроме точки 𝛼 = 1, в которой у неё полюс порядка 𝑠.
Из работы следует, что остаются открытыми следующие вопросы:
1. является ли нормальным линейный оператор 𝐴𝑞 взвешенных сеточных средних по сетке Смоляка при размерности 𝑠 > 3?
2. каковы истинные значения тригонометрических сумм 𝑆𝑞(𝑚1, . . . ,𝑚𝑠) сетки Смоляка при размерности 𝑠 > 3?

122-132 19
Аннотация

В евклидовом пространстве R𝑑 с весом Данкля построен красивый и содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на R𝑑 соответствует безвесовому случаю. В гармоническом анализе Данкля важную роль играют потенциал Данкля–Рисса и преобразования Данкля–Рисса. В частности, весовые неравенства для них позволяют доказывать весовые неравенства типа Соболева для градиента Данкля. Ранее нами для потенциала Данкля–Рисса были доказаны (𝐿𝑞,𝐿𝑝)-неравенства с двумя радиальными кусочно-степенными весами. Для преобразований Данкля–Рисса было доказано 𝐿𝑝-неравенство с одним радиальным степенным весом и как следствие для градиента Данкля были получены (𝐿𝑞,𝐿𝑝)-неравенства с двумя радиальными степенными весами. В настоящей работе эти результаты для преобразований Данкля–Рисса и градиента Данкля с радиальными степенными весами обобщаются на случай радиальных кусочно-степенных весов.

133-142 22
Аннотация

Значительная часть теории операторов Хаусдорфа в последние 20 лет сосредоточена на оценках их ограниченности на пространстве Харди 𝐻1(R𝑑). Естественными расширениями этого пространства во многих отношениях являются пространства, введённые Суизи.
Они заполняют всю шкалу между 𝐻1(R𝑑) и 𝐿10
(R𝑑). В отличие от 𝐻1(R𝑑), для них известна только атомная характеризация. Для оценок операторов Хаусдорфа на 𝐻1(R𝑑) всегда применялись и другие характеризации. Поскольку эта возможность исключена для пространств Суизи, в настоящей статье разработан подход к оценкам операторов Хаусдорфа,
использующий только атомные разложения. Если на 𝐻1(R𝑑) этот подход применим для однотипных атомов, то на пространствах Суизи он не менее эффективно работает на бесконечных суммах разнородных атомов. Для одного и того же оператора Хаусдорфа условие ограниченности не зависит от пространства, а только от параметров самого оператора.
Пространство же, на котором оператор действует, характеризуется выбором атомов. Приведён пример (для простоты двумерный) с матрицей растяжения аргумента только по одной переменной.

143-153 38
Аннотация

Для натурального 𝑄 > 1 обозначим 𝐼 — интервал 𝐼 ⊂ R длины 𝜇1𝐼 = 𝑄−𝑣1 , 𝑣1 > 0 (𝜇1 − мера Лебега) и 𝜇2𝐾=𝑄−𝑣2 , 𝑣2 > 0 (𝜇2 − мера Хаара измеримого цилиндра 𝐾⊂Q𝑝).
Введем множество полиномов степени ≤ 𝑛 и высоты 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄 𝒫𝑛 (𝑄) = {𝑃 ∈ Z[𝑥] : deg 𝑃 ≥ 𝑛, 𝐻 (𝑃) ≤ 𝑄} .
Для таких многочленов обозначим 𝒜(𝑛,𝑄) множество действительных корней, и 𝑝-адических корней 𝑃 (𝑥), лежащих в пространстве 𝑉 = 𝐼 × 𝐾. В работе доказано, что
подходящем 𝑐1 = 𝑐1 (𝑛) и 0 ≤ 𝑣1, 𝑣2 6 1 2 справедливо неравенство #𝒜(𝑛,𝑄) > 𝑐1𝑄𝑛+1−𝑣1−𝑣2 .
Доказательство проводится методами метрической теории диофантовых приближений, разработанных В. Г. Спринджуком при доказательстве гипотезы Малера и В. И. Берника при доказательстве гипотезы А. Бейкера.

154-165 23
Аннотация

Важной проблемой дискретной геометрии и вычислительной математики является оценка минимального числа узлов 𝑁(𝑠) квадратурной формулы (взвешенного 𝑠-дизайна)
вида 1 |S2| ∫︀ S2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = Σ︀𝑁 𝜈=1 𝜆𝜈𝑓(𝑥𝜈) с положительными весами, точной для всех сферических полиномов степени не выше 𝑠. P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977) для оценки
снизу 𝑁(𝑠) сформулировали экстремальную задачу 𝐴𝑠 для неотрицательных на [−1, 1] разложений по ортогональным полиномам Гегенбауэра (Лежандра для S2) с ограничениями
на знак коэффициентов Фурье–Гегенбауэра. С помощью варианта данной задачи 𝐴𝑠,𝑛 на полиномах степени 𝑛 = 𝑠, они доказали классическую оценку плотных дизайнов. Эта оцен-
ка точная и дает решение 𝐴𝑠 только в исключительных случаях (𝑠 = 0, 1, 2, 3, 5 для S2).
Для общих размерностей известны случаи, когда 𝐴𝑠,𝑛 > 𝐴𝑠,𝑠 при 𝑛 > 𝑠, что приводит к лучшим оценкам 𝑁(𝑠). В частности, Н.Н. Андреев (2000) таким способом доказал минимальность 11-дизайна на сфере S3. Родственные задачи Дельсарта также сформулированы для оценки мощности сферических кодов. В этом направлении В.В. Арестов и А.Г. Бабенко (1997), базируясь на методах бесконечномерного линейного программирования, решили аналог задачи 𝐴𝑠 для случая сферических 0.5-кодов на сфере S3 (проблема контактного
числа). Затем этот метод получил развитие в работах Д.В. Штрома, Н.А. Куклина. А.В. Бондаренко и Д.В. Горбачев (2012) показали, что 𝑁(4) = 10. Данный факт вытекает из оценки 𝐴4,7 > 9, ранее полученной P. Boyvalenkov и S. Nikova (1998), и существования взвешенных 4-дизайнов из 10 узлов. Тем не менее, представляет интерес решить задачу 𝐴4 точно, нацеливаясь перенести методику вычисления 𝐴𝑠 на общие размерности и порядки дизайнов. В данной работе доказывается, что 𝐴4 = 𝐴4,22 = 9.31033 . . .
Для этого адаптируется метод Арестова–Бабенко–Куклина и проблема сводится к построению специальной квадратурной формулы на [−1, 1], согласованной с видом предполагаемой экстремальной функции (полиномом). Предлагаемый метод базируется на применении нелинейного программирования, в частности, полуопределенного программирования, и ре-
шении полиномиальной системы уравнений, возникающей из квадратурной формулы. Для доказательства существования аналитического решения такой системы в окрестности численного решения применяется интервальный метод Кравчука из HomotopyContinuation.jl.

166-178 18
Аннотация

В работе продолжены исследования авторов по оценке тригонометрических сумм алгебраической сетки с весами. Рассмотрен случай произвольной весовой функции бесконечного порядка.
Для параметра m-> тригонометрической суммы 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚) выделены три случая.
Если m-> принадлежит алгебраической решётке Λ(𝑡 · 𝑇(⃗𝑎)), то для любого натурального 𝑟 справедлива асимптотическая формула 𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(𝑡(𝑚, . . . ,𝑚)) = 1 + 𝑂 (︂ ln𝑠−1 det Λ(𝑡) (det Λ(𝑡))𝑟+1 )︂.
Если ⃗𝑚 не принадлежит алгебраической решётке Λ(𝑡 ·𝑇(⃗𝑎)), то определены два вектора ⃗𝑛Λ(⃗𝑚) = (𝑛1, . . . , 𝑛𝑠) и ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) из условий ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) ∈ Λ, ⃗𝑚 = ⃗𝑛Λ(⃗𝑚) + ⃗𝑘Λ(⃗𝑚) и произведение 𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚)) = 𝑛1 · . . . ·𝑛𝑠 минимально. Для любого натурального 𝑟 доказана асимптотическая оценка
|𝑆𝑀(𝑡),⃗𝜌∞(⃗𝑚)| 6 𝐵(𝑟,∞) (︃ 1 − 𝛿(⃗𝑘Λ(⃗𝑚)) (𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚)))𝑟+1 + 𝑂
(︂ 𝑞(⃗𝑛Λ(⃗𝑚))𝑟+1 ln𝑠−1 det Λ(𝑡) (det Λ(𝑡))𝑟+1 )︂)︃
.

179-195 20
Аннотация

В данной работе найдена асимптотическая формула для числа решений нелинейной тернарной проблемы с простыми числами, остаток в которой имеет степенное понижение. Вывод ее использует “явную формулу” для числа простых, не превосходящих любой наперед заданной границы, через нули дзета-функции Римана. По существу решается тернарная задача на “каждом нуле”.
Исследование подобных задач стало возможным после решения в 1937 г. И. М. Виноградовым тернарной проблемы Гольдбаха [1], [2]. В 1938 г. он нашел оценку среднего
значения модуля тригонометрической суммы по простым со степенным понижением относительно длины промежутка суммирования ([2], теорема 3, с.82; теоремы 6 и 7, с.86).
Начиная с 1996 г. Г. И. Архипов, К.Буриев и автор [6]-[9], используя еще соображения из теории диофантовых приближений и “явную формулу” для числа простых чисел в теории дзета-функции Римана, получили несколько результатов для исключительного множества в бинарных проблемах гольдбахова типа. В работах Г. Л. Ватсона, Д. Брюдерна, Р. Д. Кука и А. Перелли [10]-[12] дополнительно к этому развивается подход, связанный с теорией меры, для уточнения оценок линейных тригонометрических сумм с простыми числами.

196-231 23
Аннотация

В предыдущей работе авторов заложены основы теории гладких многообразий теоретико-числовых решёток. Рассмотрен простейший случай одномерных решёток.
В данной статье рассмотрен случай одномерных сдвинутых решёток. Прежде всего рассмотрено построение метрического пространства сдвинутых решёток с помощью отображения одномерных сдвинутых решёток в пространство двумерных решёток.
В работе определено гомеоморфное отображение пространства одномерных сдвинутых решёток на бесконечный двумерный цилиндр. Тем самым установлено, что пространство одномерных сдвинутых решёток 𝐶𝑃𝑅2 локально евклидово пространство размерности 2.
Так как метрика на этих пространствах не является евклидовой, а относится к числу "логарифмических" , то получаются в одномерном случае неожиданные результаты о
производных от основных функций, таких как детерминант решётки, гиперболический параметр решётки, норменный минимум, дзета-функция сдвинутой решётки и гиперболическая дзета-функция сдвинутой решётки.
Отметим, что геометрия метрического пространств многомерных решёток и сдвинутых многомерных решёток гораздо сложнее чем геометрия обычного евклидова пространства. Это видно из парадокса неаддитивности длины отрезка в пространстве сдвинутых одномерных решёток. Из наличия этого парадокса следует, что стоит открытой проблема описания геодезических линий в пространствах многомерных решёток и многомерных сдвинутых решёток, а так же в нахождении формулы для длины дуг линий в этих пространствах. Естественно, что было бы интересно не только описание этих объектов, но и получения теоретико-числовой интерпретации этих понятий.
Дальнейшем направлением исследованием может быть изучение аналитического продолжения гиперболической дзета-функции на пространствах решёток и многомерных ре-
шёток. Как известно, аналитическое продолжение гиперболической дзета-функции решёток построено для произвольной декартовой решётки. Не изучен даже вопрос о непрерывности этих аналитических продолжений в левой полуплоскости на пространстве решёток.
Всё это, на наш взгляд, актуальные направления дальнейших исследований.

232-244 17
Аннотация

Рассматриваются только конечные группы. Работа посвящена исследованию формаций, т.е. классов групп, замкнутых относительно гомоморфных образов и подпрямых про-
изведений. Для непустого множества 𝜔 простых чисел В.А. Ведерниковым с помощью двух видов функций были определены 𝜔-веерные формации конечных групп. Развивая
функциональный подход, предложенный В.А. Ведерниковым, в данной работе для произвольного разбиения ¯𝜔 множества 𝜔 построены ¯𝜔-веерные формации. При построении
используется 𝜎-концепция А.Н. Скибы исследования конечных групп и их классов, где 𝜎 — произвольное разбиение множества P всех простых чисел. В работе приведены примеры ¯𝜔-веерных формаций, установлены их свойства (существование ¯𝜔-спутников различных
видов; достаточные условия принадлежности группы 𝐺 ¯𝜔-веерной формации; взаимосвязь с 𝜔-вееерными и P𝜎-веерными формациями).

245-255 60
Аннотация

Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно. Они представляют собой важную составляющую часть работ
автора о бесконечной линейной независимости полиадических чисел
𝑓0(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)𝑛𝜆𝑛, 𝑓1(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)𝑛𝜆𝑛, где 𝜆 представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (𝛾)𝑛 , по определению, (𝛾)0 = 1 , а при 𝑛 ≥ 1 имеем (𝛾)𝑛 =
𝛾(𝛾 + 1)...(𝛾 + 𝑛 − 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Q𝑝. Параметром рассматриваемых рядов типа Эйлера является полиадическое число Лиувилля и значения
рядов рассматриваются в полиадической точке Лиувилля.
Отметим работы Е.С. Крупицына, где установлены оценки многочленов от совокупностей полиадических чисел Лиувилля и работы Е.Ю. Юденковой, в которых значения
𝐹-рядов рассматриваются в полиадических точках Лиувилля.
Напоним, что каноническое разложение полиадического числа 𝜆 имеет вид 𝜆 =∞Σ︁𝑛=0𝑎𝑛𝑛!, 𝑎𝑛 ∈ Z, 0 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑛.
Этот ряд сходится в любом поле 𝑝-адических чисел Q𝑝.
Будем называть полиадическое число 𝜆 полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел 𝑛 и 𝑃 существует натуральное число
𝐴 такое, что для всех простых чисел 𝑝 , удовлетворяющих неравенству 𝑝 ≤ 𝑃 выполнено неравенство |𝜆 − 𝐴|𝑝 < 𝐴−𝑛.
В статье доказывается простое утверждение о том, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля Q𝑝. Иными словами, полиадическое
число Лиувилля — глобально трансцендентное число. Устанавливается теорема о свойствах приближений совокупности 𝑝-адических чисел и ее следствие — достаточное условие алгебраической независимости совокупности 𝑝-адических чисел. Также получена теорема о
глобальной алгебраической независимости совокупности полиадических чисел.

Доклады молодых ученых 

256-297 43
Аннотация

В данной работе построен новый метод решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью последовательности вложенных обобщенных параллелепипедальных сеток.
Данный метод является обобщением и развитием метода В. С. Рябенького — Н. М. Коробова приближенного решения уравнений с частными производными на случай исполь-
зования произвольных обобщенных параллелепипедальных сеток для целочисленных решеток. Также найдена погрешность данного метода. В случае использования бесконечной последовательности вложенных обобщённых параллелепипедальных сеток будет иметь место достаточно быстрая сходимость.
Кроме того предложен вариант построения оптимальных сеток в двумерном случае. Он основан на приближении алгебраических решёток целочисленными. В двумерном случае построенные таким образом решётки всегда будут давать обобщённые параллелепипедальные сетки. При этом имеются простые способы оценки качества полученных сеток. Один такой способ, основанный на использовании гиперболического параметра, рассмотрен в данной работе.

История математики и приложений 

298-310 27
Аннотация

В работе определены оптимальные параметры процесса получения тяжелого вольфрамового сплава искровым плазменным спеканием частиц сплава ВНЖ 95 по микротвердости спеченных образцов путем проведения полного факторного эксперимента типа. В качестве факторов были выбраны параметры работы установки искрового плазменного спекания: температура, давление и время выдержки, мин. Оптимальные параметры работы установки определяли для электроэрозионного материала ВНЖ 95, ранее полученного в двух рабочих средах: воды дистиллированной и керосина осветительного. Согласно про-
веденной серии опытов определены предельные значения параметра оптимизации Y (микротвердость), которые составили: для образцов, полученных из частиц, диспергированных в воде — 3498,6 МПа при температуре 𝑇 = 1050∘С, давлении 𝑃 = 40 МПа и времени выдержки 𝑡 = 10 мин.; для образцов, полученных из частиц, диспергированных в керосине — 2449,2 МПа при температуре 𝑇 = 1200∘С, давлении 𝑃 = 40 МПа и времени выдержки 𝑡 = 5 мин. Далее представлены результаты экспериментальных исследований состава, структуры и свойств тяжелых вольфрамовых сплавов из диспергированных электроэрозией частиц сплава ВНЖ 95, полученные при оптимальных режимах.

311-344 16
Аннотация

В работе рассмотрены предпосылки и зарождение теории нелинейных интегральных уравнений. Появление этой теории явилось закономерным следствием развития всей ма-
тематики XVIII-XIX вв. Вместе с тем сильное мотивирующее воздействие оказало возрастание интереса к нелинейным задачам в конце XIX – начале XX в. Непосредственное
исследование конкретных нелинейных интегральных уравнений было вызвано актуальной прикладной задачей о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, которая, начиная с Ньютона, привлекала внимание значительного числа крупнейших математиков. В первые десятилетия развития теории нелинейных интегральных уравнений культивировались традиционные подходы, использовавшиеся для исследования дифференциальных и алгебраических уравнений, по схеме уравнение-решение. То есть на первом плане находилось вычисление и оценка его точности. Сложность и своеобразие нелинейных задач сразу выявили актуальность вопросов существования и единственности их решений, что сделало
необходимым привлечение других, только создающихся областей математики. Теория интегральных уравнений вообще явилась одним из истоков функционального анализа. Кроме того, обе теории тесно переплетались и в своей эволюции взаимно стимулировали друг друга. В полной мере это относится и к нелинейным интегральным уравнениям, для которых первостепенное значение приобрели качественные методы. На рассматриваемом в настоящей работе этапе имело место параллельное развитие и cмешение традиционных методов исследования уравнений и новых подходов качественного характера. На следующем этапе
новые подходы вышли на первый план, объединившись с функциональным анализом и топологией.

345-352 14
Аннотация

Рассматривается неоднородный по длине стержень с переменным поперечным сечением. Стержень сжимается распределенной вдоль оси переменной продольной нагрузкой. В работе рассматривается случай потери устойчивости прямолинейной формы равновесия
стержня, при котором наряду с прямолинейной возможна искривленная форма. Критическое сочетание жесткости и продольной силы устанавливается с помощью интегральной
формулы представления решения исходного уравнения устойчивости с переменными коэффициентами через решение такого же уравнения с постоянными коэффициентами. В интегральное представление входит фундаментальное решение исходного уравнения, которое
в общем случае находится методом возмущений. Приведен пример составления уравнения для критической нагрузки.

353-367 14
Аннотация

ренциальное уравнение второго порядка с переменными интегрируемыми коэффициентами, зависящими от числового параметра (исходное уравнение). Общее решение исходного
уравнения находится с точность до двух произвольных констант с помощью интегральной формулы, ранее предложенной автором статьи. На общее решение накладывается два однородных условия, из которых следует система из двух уравнений для произвольных констант. Требуя, чтобы существовало нетривиальное решение исходного уравнения, получаем сложное нелинейное уравнение относительно числового параметра (спектральное
уравнение).

368-382 19
Аннотация

В статье рассматривается задача дифракции сферической монохроматической звуковой волны на абсолютно жесткой сфере. Для представления рассеянного поля используется представление в виде интеграла Кирхгофа. Это приводит к необходимости решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода для определения потенциала скорости в рассеянной волне на поверхности рассеивателя. Показано, что использование квадратурных формул на основе сеток Смоляка позволяет сократить число вычислений при приближенном вычисление интегралов, при решении интегрального уравнения и при вычислении
рассеянного поля на поверхности сферы и в дальней зоне. Этот метод сравнивался с методом простых ячеек, который учитывает механическую постановку задачи и имеет тот же
порядок точности. Оценка точности вычисления давления на поверхности сферы и форм-функции рассеянного поля на основе решения интегрального уравнения проводится путем
сравнения с аналитическим решением на основе разложения по сферическим волновым функциям.

383-404 18
Аннотация

Если говорить об истории той части диофантова анализа, в которой рассматривается решение диофантовых уравнений в рациональных числах, то прежде всего нужно отметить устойчивость алгебраического подхода к этой проблеме, восходящего к «Арифметике» Диофанта Александрийского. Действительно, после знакомства европейских мате-
матиков во второй половине XVI века с произведением Диофанта основным средством нахождения рациональных решений диофантовых уравнений становится алгебраический
аппарат замен, подстановок и преобразований. Несмотря на ограниченность этих средств, математикам удалось на данном этапе получить важные результаты о решении в рациональных числах неопределенных уравнений с двумя неизвестными 2-й, 3-й и 4-й степеней.
Детальный историко-математический анализ этих результатов дан, в частности, в исследованиях И. Г. Башмаковой и её учеников. В статье рассматривается, как в течение XIX века происходил отход от узко алгебраической трактовки диофантовых уравнений, характерной для большинства работ вплоть до конца XIX века, к более общему взгляду на предмет исследования и принципиальному расширению самих средств исследования
диофантовых уравнений. Рассматриваются шаги в этом направлении, сделанные такими математиками, как О. Л. Коши, К. Г. Я. Якоби, Э. Люка. Особое внимание уделяется творчеству Дж. Дж. Сильвестра в области диофантовых уравнений и статье У. Стори «On the Theory of Rational Derivation on a Cubic Curve», долгое время не попадавшим в поле зрения историков математики.

405-422 18
Аннотация

4 мая (16 н.ст.) 1821 г. родился П.Л. Чебышев (1821–1894) — великий русский ученый, представляющий гордость и славу нашего Отечества. В связи с 200-летним юбилеем
П.Л. Чебышева предлагается ретроспективный взгляд на современную ему эпоху и делается попытка осмысления роли гениальной личности не только в истории науки и техники, но и в истории России, которой он служил всеми своими талантами, в том числе научным и педагогическим. Приводятся сведения о традиции служения Отечеству в семье Чебышевых. Дается краткий обзор работы П.Л. Чебышева в течение 48 лет в Императорской СПб Академии наук. Приводятся воспоминания современников о работе П.Л. Чебышева в течение 35 лет в Императорском Санкт-Петербургском университете. Рассматривается работа
П.Л. Чебышева в течение 40 лет в Артиллерийском отделении Военно-ученого комитета.
Более подробно анализируется работа П.Л. Чебышева в течение 17 лет в Ученом комитете Министерства народного просвещения. Выясняется его роль в реформе образования
(1863-1864), инициированной Императором Александром II, в частности - в разработке общеуниверситетского устава 1863 г., в составлении рекомендательной библиографии, в
постановке преподавания математики в начальных школах России, в систематической подготовке инженеров в России. Кратко освещается роль П.Л. Чебышева в создании русской
математической школы.

423-437 19
Аннотация

В статье рассматривается задача об отражении и преломлении плоской гармонической звуковой волны однородной изотропной упругой пластиной с непрерывно неоднородным анизотропным упругим покрытием.
Полагается, что пластина граничит с идеальными однородными жидкостями. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся
колебаний описывается уравнением Гельмгольца. Распространение упругих волн в однородной изотропной упругой пластине описывается скалярным и векторным уравнениями Гельмгольца для продольных и поперечных волн. Колебания неоднородного анизотропного упругого покрытия описываются общими уравнениями движения сплошной среды.
Для нахождения поля смещений в неоднородном анизотропном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Получено аналитическое описание отраженного и прошедшего через пластину акустических полей.
Рассмотрены частные случаи, когда материал неоднородного покрытия является трансверсально-изотропным и изотропным. Представлены результаты численных расчетов зависимости коэффициента отражения однородной изотропной пластины с трансверсально-изотропным покрытием от угла падения плоской волны.

Памятные даты 

479-492 15
Аннотация

11 апреля 2021 года исполнилось семьдесят пять лет Александру Ивановичу Нижникову — известному российскому математику, профессору, доктору педагогических наук, заведующему кафедрой технологических и информационных систем Института физики, технологии и информационных систем Московского педагогического государственного университета (МПГУ), проректору МПГУ.
Александр Иванович Нижников внес значительный вклад в развитие отечественной научной школы функционального анализа и продолжает научную работу в данной области
математической науки. Неоценимы заслуги Александра Ивановича и в развитии высшего образования России. Александр Иванович Нижников опубликовал более 150 научных и методических работ. Он долгие годы является членом редколлегии журнала “Чебышевский сборник”, членом ряда диссертационных советов. За достижения в области развития науки и образования А. И. Нижников награжден несколькими медалями и почетными знаками, ему присвоено почетное звание “Заслуженный работник высшей школы Российской Федерации”.

Краткие сообщения 

438-442 17
Аннотация

Рассматривается слоистый композит, изготовленный по 3D-технологии из порошков меди и нержавеющей стали. Каждый слой обладает пористостью, обусловленной технологическим процессом спекания порошковых материалов. Вычисляются эффективные упругие характеристики такого композита, учитывающие слоистость и пористость в компонентах.

443-447 16
Аннотация

Определено максимальное значение декремента колебаний пористого металлического композита, изготовленного по 3D – технологии. Изучено влияние пористости на демпфирующие и жесткостные свойства композита. Получено оптимальное значение пористости,
обеспечивающее максимум декремента колебаний при значимом уровне нагрузки на образец. Приведены результаты численного расчета декремента для композита из хромоникелевой пористой стали.

448-452 22
Аннотация

В статье А.Ф. Филиппова рассматривается возможное определение решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Из приведенной Филипповым леммы об устройстве множества, определяющего дифференциальное включение, можно вывести
эквивалентное определение решения, которое позволяет расширить набор возможных множеств определения и значений функции, стоящей в правой части уравнения.
В этой заметке получено обобщение этой леммы на случай общих топологических пространств и пространств с мерой. Даны полные доказательства соответствующих теорем.

453-456 17
Аннотация

На основе недавно доказанных оценок для 𝐿1-констант Никольского для S𝑑 и R𝑑 даются эффективные оценки константы 𝐾 в следующем неравенстве типа Brown–Lucier для
функций 𝑓 ∈ 𝐿𝑝(S𝑑), 0 < 𝑝 < 1:
‖𝑓 − 𝐸1𝑓‖𝑝 6 (1 + 2𝐾)1/𝑝 inf 𝑢∈Π𝑑𝑛‖𝑓 − 𝑢‖𝑝,где Π𝑑
𝑛 — подпространство сферических полиномов, 𝐸1𝑓 — элемент наилучшего приближения 𝑓 полиномами Π𝑑
𝑛 в метрике 𝐿1(S𝑑). Результаты обобщаются на случай веса Данкля.

457-463 16
Аннотация

Подгруппа 𝐴 группы 𝐺 называется 𝑂𝑆-проперестановочной в 𝐺, если существует подгруппа 𝐵 такая, что 𝐺 = 𝑁𝐺(𝐴)𝐵, 𝐴𝐵 является подгруппой группы 𝐺 и подгруппа 𝐴
перестановочна со всеми подгруппами Шмидта из 𝐵. В этой ситуации подгруппу 𝐵 будем называть 𝑂𝑆-продобавлением к 𝐴 в 𝐺.
В настоящей работе установлена 𝑝-разрешимость конечной группы 𝐺, в которой силовская 𝑝-подгруппа 𝑂𝑆-проперестановочна, где 𝑝 > 5.

464-466 15
Аннотация

Предложено очень короткое доказательство леммы Болла средствами исключительно гармонического анализа.

467-473 16
Аннотация

В статье исследуется глобальная по времени разрешимость решения задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных соболевского типа,
не разрешенного относительно временной производной первого порядка, так называемого уравнения Кана-Хилларда, в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций на всей числовой оси, для которых существуют пределы на минус и плюс бесконечности. Доказано существование классического решения (под которым понимается достаточно гладкая функция, имеющая все непрерывные производные нужного порядка и удовлетворяющая уравнению в каждой точке области задания рассматриваемой задачи Коши) на произвольном временном интервале. Получены априорные оценки, обеспечивающие существование глобального решения задачи Коши для псевдопараболического уравнения
Кана-Хилларда, так как классическое решение 𝑣 (𝑥, 𝑡) с отрезка [0, 𝑡*], принимая 𝑣 (𝑥, 𝑡*) за новую начальную функцию, продолжается до классического решения 𝑣 (𝑥, 𝑡) на отрезке [0, 𝑡* + 𝛿] , где величина 𝛿 зависит только от нормы начальной функции и параметров уравнения Кана-Хилларда. Повторяя этот процесс достаточно большое число раз получим классическое решение рассматриваемой задачи Коши на произвольном временном интервале.

474-478 23
Аннотация

Мы рассматриваем класс функций Φ: R → [0,+∞], которые являются полунепрерывными снизу, четными, выпуклыми и Φ(0) = 0. Преобразование Фенхеля Ψ от Φ тоже принадлежит этому классу функций. Мы определим функции, играющие роль производных для всех функций из нашего класса и докажем, что эти функции взаимно обратные в обобщенном смысле.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.