Об аналоге задачи Малера – Эминяна для разложений Островского

Аннотация

А. О. Гельфонд доказал, что при условии взаимной простоты 𝑏 − 1 и 𝑑 суммы цифр разложений натуральных чисел в 𝑏-ичную систему счисления равномерно распределены по арифметическим прогрессиям с разностью 𝑑. Данный результат позднее был обобщен на разложения по линейным рекуррентным последовательностям и на разложения Островского.
Эминян решил задачу о совместном распределении сумм цифр двоичных разложений пары последовательных натуральных чисел по модулю 2. Теорема Эминяна также может быть легко выведена из одного старого результата Малера. Позднее аналогичный
результат был получен для разложений Цеккендорфа по числам Фибоначчи и, далее, для разложений по широкому классу линейных рекуррентных последовательностей.
В настоящей работе рассмотрен аналог задачи Малера – Эминяна для разложений Островского, связанной с произвольным иррациональным 𝛼. Получены асимптотические формулы для количества чисел, не превосходящих 𝑋, с заданным распределением сумм цифр разложений Островского 𝑛 и 𝑛+1 по модулю 2. Константы в главных членах асимптотик выражаются в виде суммы некоторого бесконечного ряда, члены которого выражаются в терминах разложения 𝛼 в цепную дробь. Данные константы явно вычислены для 𝛼 = (√5−1)/2 .
В основе доказательства лежит ранее полученная автором и А. А. Жуковой теорема геометризации, описывающая множества чисел с заданным окончанием разложения Островского, а также теория равномерного распределения для последовательности {𝑛𝛼}.