доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
А. О. Гельфонд доказал, что при условии взаимной простоты 𝑏 − 1 и 𝑑 суммы цифр разложений натуральных чисел в 𝑏-ичную систему счисления равномерно распределены по арифметическим прогрессиям с разностью 𝑑. Данный результат позднее был обобщен на разложения по линейным рекуррентным последовательностям и на разложения Островского.Эминян решил задачу о совместном распределении сумм цифр двоичных разложений пары последовательных натуральных чисел по модулю 2. Теорема Эминяна также может быть легко выведена из одного старого результата Малера. Позднее аналогичныйрезультат был получен для разложений Цеккендорфа по числам Фибоначчи и, далее, для разложений по широкому классу линейных рекуррентных последовательностей.В настоящей работе рассмотрен аналог задачи Малера – Эминяна для разложений Островского, связанной с произвольным иррациональным 𝛼. Получены асимптотические формулы для количества чисел, не превосходящих 𝑋, с заданным распределением сумм цифр разложений Островского 𝑛 и 𝑛+1 по модулю 2. Константы в главных членах асимптотик выражаются в виде суммы некоторого бесконечного ряда, члены которого выражаются в терминах разложения 𝛼 в цепную дробь. Данные константы явно вычислены для 𝛼 = (√5−1)/2 .В основе доказательства лежит ранее полученная автором и А. А. Жуковой теорема геометризации, описывающая множества чисел с заданным окончанием разложения Островского, а также теория равномерного распределения для последовательности {𝑛𝛼}.
A. O. Gelfond proved that for coprime 𝑏 − 1 and 𝑑, the sums of digits of 𝑏-ary expansions of natural numbers are uniformly distributed over arithmetic progressions with difference 𝑑. This result was later generalized to expansions over linear recurrent bases and to Ostrowsky expansions.Eminyan solved the problem of the joint distribution modulo 2 of the sums of digits of binary expansions for pairs of consecutive natural numbers. Eminyan’s theorem can also be easily derived from one old result of Mahler. Later, a similar result was obtained for Zeckendorfexpansions over Fibonacci numbers and, further, for expansions over a wide class of linear recurrent bases.In the present paper, we consider an analogue of the Mahler-Eminyan problem for Ostrowsky expansions associated with an arbitrary irrational 𝛼. Asymptotic formulas are obtained for the number of numbers not exceeding 𝑋, with a given distribution of the Ostrowsky expansions sums of digits of 𝑛 and 𝑛 + 1 modulo 2. The constants in the main term of the asymptotics are expressed as the sum of some infinite series, whose summands are expressed in terms of thecontinued fraction expansion of 𝛼. These constants are explicitly calculated for 𝛼 = (√5−1)/2 .The proof is based on the geometrization theorem previously obtained by the author and A. A. Zhukova, which describes sets of numbers with a fixed ending of the Ostrowsky expansion, as well as the theory of uniform distribution for the sequence {𝑛𝛼}.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.