Доклад, сделанный на семинаре Б. С. Кашина и С. В. Конягина механико -математического факультета Московского Государственного Университета имени М. В. Ломоносова 9 ноября 2006 г.

Доклад, сделанный на семинаре П. М. Грубера кафедры математического анализа математического факультета Технического Университета Вены 13 июня 1994 г.

В январе 2014 г. в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН состоялась первая однодневная международная “Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям”. Целями этой конференции были представление новых и значимых результатов в различных направлениях теории чисел (особенно в тех, что связаны с творчеством А.А. Карацубы), обмен новыми теоретико-числовыми идеями и ознакомление с новыми методами и тенденциями в теории чисел. Вторая международная Конференция была проведена Математическим институтом им. В. А. Стеклова РАН совместно с Московским Государственным университетом имени М. В. Ломоносова с 30 по 31 января 2015 г. Настоящая статья содержит развёрнутые аннотации докладов, прочитанных на второй Конференции.

 

Пусть n ∈ N – фиксированное число, Q > 1 – некоторый натуральный параметр, и Pn(Q) обозначает множество целочисленных многочленов степени n и высоты, не превосходящей Q. Для заданного многочлена P(x) = anx n + · · · + a0 ∈ Z[x] степени n, число D(P) = a 2n−2 n ∏ 16i< |D(P)| 6 Q 2n−2−2v . Первые результаты по оценкам количества многочленов с заданными дискриминантами получил Х. Давенпорт в 1961 году, что имело важное значение при решении проблемы Малера. В данной работе впервые найдена точная верхняя и нижняя оценка для #P3(Q, v) при дополнительном условии на взаимное расположение корней полиномов. Интересно, что величина #Pn(Q, v) принимает наибольшее значение, когда все корни многочленов близки друг к другу. Если же близки только k, 2 6 k < n, корней, то величина #Pn(Q, v) будет меньше.

До недавнего времени даже для алгебраических чисел второй степени не было известно, насколько часто они попадают в произвольный проме- жуток в зависимости от его положения и длины. Пусть An — множество алгебраических чисел степени n, а H(α) — обычная высота алгебраического числа α, определяемая как высота его минимального многочлена. Вышеназванная проблема сводится к исследо- ванию следующей функции: Φn(Q, x) := # {α ∈ An ∩ R : H(α) 6 Q, α < x} . Недавно автором была найдена точная асимптотика функции Φn(Q, x) при Q → +∞. При этом, фактически, была корректно определена и явно описана функция плотности алгебраических чисел на вещественной прямой. Статья посвящена результатам о распределении вещественных алгебраических чисел. Для n = 2 усилена оценка остатка в асимптотике для Φ2(Q, x), и получена формула: Φ2(Q, +∞) = λ Q3 − κ Q2 ln Q + O(Q 2 ), где λ и κ — эффективные постоянные.

Доказана асимптотическая формула в обобщенной тернарной пробле- ме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о пред- ставлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа.

 

Исследуются арифметические свойства полиадических чисел, то есть рядов вида ∑∞ n=0 an · n!, где числа an ∈ Z. Рассматривается понятие бесконечной алгебраической независимости полиадических чисел. Доказана теорема о бесконечной алгебраической независимости полиа- дических чисел из класса F (Q, C1, C2, C3, d0), если они связаны системой линейных дифференциальных уравнений определенного вида.

Воспоминания Алексея Дмитриевича Надёжина позволяют читателям лучше узнать личность замечательного ученого и человека — Анатолия Алексеевича Карацубы. Они позволяют окунуться в неповторимый мир горных восхождений, которые оказывают неизгладимое влияние на формировании личности человека.

 

Авторы статьи ставили перед собой две главные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни доцента, заведующего кафедрой физико- математического факультета Тульского государственного педагогического института им. Л. Н. Толстого Владимира Дмитривича Подсыпанина и дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, имеющей значительное влияние на становление Тульской научной теоретико числовой школы. Особо отмечаются исследования доцента В. Д. Подсыпанина и его учеников по алгебраической теории чисел и диофантову анализу. В. Д. Подсыпанин, являясь учеником член-корреспондента АН СССР, профессора Д. К. Фаддеева, руководил научной школой и научным семи- наром по теории чисел в ТГПИ им. Л. Н. Толстого. Среди его учеников многие защитили кандидатские диссертации. Владимир Дмитриевич Подсыпанин имеет глубокие, содержательные научные работы. Причем основная его работа была опубликована только через 42 года после его смерти. Он активно работал в Реферативном журнале Математика со дня основания журнала до своей смерти.