Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

ОБ АСИМПТОТИКЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ПРИ ВОЗРАСТАНИИ ИХ ВЫСОТ

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-191-204

Полный текст:

Аннотация

До недавнего времени даже для алгебраических чисел второй степени не было известно, насколько часто они попадают в произвольный проме- жуток в зависимости от его положения и длины. Пусть An — множество алгебраических чисел степени n, а H(α) — обычная высота алгебраического числа α, определяемая как высота его минимального многочлена. Вышеназванная проблема сводится к исследо- ванию следующей функции: Φn(Q, x) := # {α ∈ An ∩ R : H(α) 6 Q, α < x} . Недавно автором была найдена точная асимптотика функции Φn(Q, x) при Q → +∞. При этом, фактически, была корректно определена и явно описана функция плотности алгебраических чисел на вещественной прямой. Статья посвящена результатам о распределении вещественных алгебраических чисел. Для n = 2 усилена оценка остатка в асимптотике для Φ2(Q, x), и получена формула: Φ2(Q, +∞) = λ Q3 − κ Q2 ln Q + O(Q 2 ), где λ и κ — эффективные постоянные.

Об авторе

Д. В. Коледа
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь


Список литературы

1. Baker A., Schmidt W. Diophantine approximation and Hausdorff dimension // Proc. London Math. Soc. 1970. Vol. 21. No. 3. P. 1–11.

2. Берник В. И. О точном порядке приближения нуля значениями целочисленных многочленов // Acta Arith. 1989. Vol. 53. No. 1. P. 17–28.

3. Beresnevich V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arith. 1999. Vol. 90. No. 2. P. 97–112.

4. Берник В. И., Васильев Д. В. Теорема типа Хинчина для целочисленных многочленов комплексной переменной // Труды Института математики НАН Беларуси. Минск. 1999. Т. 3. С. 10–20.

5. Каляда Д. У. Аб размеркаваннi рэчаiсных алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi // Доклады НАН Беларуси. 2012. Т. 56, № 3. С. 28–33.

6. Коледа Д. В. О количестве многочленов с заданным числом корней на конечном промежутке // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз-мат. навук. 2013. № 1. С. 41–49.

7. Коледа Д. В. О распределении действительных алгебраических чисел второй степени // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз-мат. навук. 2013. № 3. С. 54–63.

8. Masser D., Vaaler J. D. Counting Algebraic Numbers with Large Height I // Diophantine Approximation. Developments in Mathematics. 2008. Vol. 16. P. 237–243.

9. van der Waerden B. L. Die Seltenheit der reduziblen Gleichungen und der Gleichungen mit Affekt // Monatshefte f¨ur Mathematik. 1936. Vol. 43, No. 1. P. 133–147.

10. Прасолов В. В. Многочлены. 2-е издание стереотипное. М.: МЦНМО, 2001. 336 с.

11. Davenport H. On a principle of Lipschitz // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 179–183. Davenport H. Corrigendum: “On a principle of Lipschitz” // J. London Math. Soc. 1964. Vol. 39. P. 580.

12. Dubickas A. On the number of reducible polynomials of bounded naive height // Manuscripta Mathematica. 2014. Vol. 144, No. 3–4. P. 439–456.

13. Mikol´as M. Farey series and their connection with the prime number problem. I // Acta Univ. Szeged. Sect. Sci. Math. 1949. Vol. 13. P. 93–117.

14. Niederreiter H. The distribution of Farey points // Math. Ann. 1973. Vol. 201. P. 341–345.

15. Brown H., Mahler K. A generalization of Farey sequences: Some exploration via the computer // J. Number Theory. 1971. Vol. 3, No. 3. P. 364–370.

16. Cobeli C., Zaharescu A. The Haros-Farey sequence at two hundred years // Acta Univ. Apulensis Math. Inform. 2003. No. 5. P. 1–38.


Для цитирования:


Коледа Д.В. ОБ АСИМПТОТИКЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ ПРИ ВОЗРАСТАНИИ ИХ ВЫСОТ. Чебышевский сборник. 2015;16(1):191-204. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-191-204

For citation:


Koleda D.V. ON THE ASYMPTOTIC DISTRIBUTION OF ALGEBRAIC NUMBERS WITH GROWING NAIVE HEIGHT. Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(1):191-204. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-191-204

Просмотров: 80


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)