О СОВРЕМЕННЫХ ПРОБЛЕМАХ ТЕОРИИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РЕШЁТОК

В статье дается расширенный текст доклада, сделаного автором 30 января 2015 года в г. Москве на международной конференции, посвященной памяти профессора А. А. Карацубы, проходившей в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН и МГУ имени М. В. Ломоносова. В докладе были приведены факты из истории развития теории гипер- болической дзета-функции, даны определения и обозначения. Основное содержание доклада было сосредоточено на обсуждении ак- туальных проблем теории гиперболической дзета-функции решёток. Были выделены следующие перспективные направления современных исследо- ваний: 1. Проблема правильного порядка убывания гиперболической дзета- функции при α → ∞; 2. Проблема существования аналитического продолжения в левую полуплоскость α = σ + it(σ 6 1) гиперболической дзета-функции решётки ζH(Λ|α); 3. Аналитическое продолжение для случая решёток С. М. Воронина Λ(F, q); 4. Аналитическое продолжение для случая решётки совместных приближений; 5. Аналитическое продолжение для случая алгебраической решётки Λ(t, F) = tΛ(F); 6. Аналитическое продолжение для случая произвольной решётки Λ.; 7. Проблема поведения гиперболической дзета-функции решётки ζH(Λ|α) в критической полосе; 8. Проблема значений тригонометрических сумм сеток. В качестве перспективного метода исследования перечисленных проблем был выделен подход, основанный на изучении возможности предельного перехода по сходящейся последовательности декартовых решёток.

1. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та. 1959. № 4. С. 3 — 18.

2. Воронин С. М. О квадратурных формулах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 5. С. 189–194.

3. Воронин С. М. О построении квадратурных формул // Изв. РАН. Сер. матем. 1995. Т. 59, № 4. С. 3–8.

4. Воронин С. М., Темиргалиев Н. О квадратурных формулах, связанных с дивизорами поля гауссовых чисел // Математические заметки. 1989. Т. 46, № 2. С. 34–41.

5. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добро- вольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и ал- горитмы поиска оптимальных коэффициентов. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого. 2012. — 283 с.

6. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико- числового метода в приближенном анализе // Ученые записки Орловского государственного университета. Сер. Естественные, технические и медицинские науки. 2012. № 6, часть 2. Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: труды X международной конференции. С. 90–98.

7. Добровольская Л. П., Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Добро- вольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4–107.

8. Dobrovolskaya L. P., Dobrovolsky M. N., Dobrovol’skii N. M., Dobrovolsky N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices // Continuous and Distributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23–62. doi: 10.1007/978-3-319-03146-0_2.

9. Добровольский М. Н. Функциональное уравнение для гиперболической дзета-функции целочисленных решёток // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. № 3. С. 18 — 23.

10. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090–84.

11. Добровольский Н. М., Ванькова В. С., Козлова С. Л. Гиперболическая дзета–функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90, № 2327– B90.

12. Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н. О некоторых проблемах теоретико-числового метода в приближенном анализе // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: Материалы XII Междунар. конф., посвященной 80-летию В.Н.Латышева — Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2014. С. 23–27

13. Добровольский Н. Н. Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 110–152.

14. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207 — 1210.

15. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных ко- эффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.

16. Темиргалиев Н. Применение теории дивизоров к численному интегрированию периодических функций многих переменных // Математический сбор- ник. 1990. Т. 181, № 4. С. 490–505.

17. Фельдман Н. И. Приближение алгебраических чисел. М.: Изд-во Московского университета, 1981.

18. Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. № 4. С. 818 — 821.

19. Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. / Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.