О ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ В РАЗЛИЧНЫХ КЛАССАХ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБР

При изучении линейных алгебр с точки зрения выполняющихся в них тождеств интерес вызывают тождественные соотношения, следствиями которых является тождество нильпотентности. Хорошо известны теорема Нагаты-Хигмана, в которой утверждается, что над полем нулевой характеристики ассоциативная алгебра с ниль условием ограниченного индекса является нильпотентной, а также результат Е. И. Зельманова о нильпотентности алгебры Ли в которой выполняется тождество энгелевости. Совокупность линейных алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, следуя А.И. Мальцеву, называют многообразием. Многообразие называется почти нильпотентным, если само оно не является нильпотентным, но каждое его собственное подмногообразие нильпотентно. Существует понятие как рост многообразий. Различают многообразия полиномиального, экспоненциального, сверхэкспоненциального роста, а также промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным ростом. Подэкспоненциальный рост подразумевает, что многообразие имеет полиномиальный или промежуточный рост. Статья носит реферативный обзорный характер и касается описания почти нильпотентных многообразий в различных классах линейных алгебр над полем нулевой характеристики. Один из разделов статьи посвящен случаю классических линейных алгебр. В нем представлено единственное ассоциативное почти нильпотентное многообразие, которым является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр. В случае алгебр Ли почти нильпотентным является многообразие всех метабелевых алгебр Ли. При рассмотрении алгебр Лейбница приведено два примера почти нильпотентных многообразий и доказано, что других нет. Следует отметить, что все представленные в этом разделе примеры сами имеют незначительный полиномиальный рост. В общем случае оказалось, что существуют достаточно экзотические примеры почти нильпотентных многообразий. В работе описаны свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два, а также доказано существование дискретной серии почти нильпотентных многообразий различных целых экспонент. Последний раздел статьи посвящен многообразиям подэкспоненциального роста. Здесь представлены описания почти нильпотентных многообразий для многообразий в классах левонильпотентных ступени не выше двух алгебр, коммутативных метабелевых и антикоммутативных метабелевых линейных алгебр. Как оказалось, в каждом из этих классов содержится ровно по два почти нильпотентных многообразия.

тождество, многообразие, коразмерность, экспонента многообразия, почти нильпотентное многообразие

1. Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. М. : Наука, 1985. 448 с.

2. Giambruno, A., Zaicev, M. Polynomial Identities and Asymptotic Methods // Mathematical Surveys and Monographs, AMS, Providence, RI, 2005. Vol. 122. 352 p.

3. Кольца, близкие к ассоциативным / А. И. Ширшов [и др.]. М. : Наука, 1978. 432 с.

4. Mishchenko, S., Valenti, A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Israel Journal of Mathematics, Vol. 199 (2014). Issue 1. P. 241–257.

5. Шулежко, О. В. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2014. Т. 14, вып. 3. С. 316–320.

6. Мищенко, С. П., Шулежко, О. В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вестник Московского университета. Сер. 1, Математика и механика, 2015. №2. С. 53–57.

7. Mishchenko, S., Valenti, A. On almost nilpotent varieties of subexponential growth // Journal of Algebra, 2015. Vol. 423. Р. 902–915.

8. Мищенко, С. П. Многообразия линейных алгебр кодлины один // Вест- ник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 2010. №1. С. 25—30.

9. Зельманов, Е. И. Об энгелевых алгебрах Ли // ДАН СССР, 1987. Т. 292, № 2. С. 265–268.

10. Drensky, V., Piacentini Cattaneo, G.M. Varieties of metabelian Leibniz algebras // J. Algebra and its Applications. 2002. Vol. 1. P. 31–50.

11. Череватенко, О. И. Некоторые эффекты роста тождеств линейных алгебр: дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Ульяновск, 2008. 69 с.

12. Higgins, P. J. Lie rings satisfying the Engel condition // Proc. Cambr. Philos. Soc., 1954. Vol. 50. №1. P. 8–15.

13. Фролова, Ю. Ю. О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница // Вестник Московского государственного университета. Серия 1, Математика. Механика, 2011. №. 3. С. 63–65.

14. Фролова, Ю. Ю., Шулежко, О. В. О почти нильпотентных многообразиях алгебр Лейбница // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. С. 84–85.

15. Мищенко, С. П. Рост многообразий алгебр Ли // Успехи математических наук. 1990. T. 45. № 6(276).C. 25–45.

16. Giambruno, A., Mishchenko, S., Zaicev, M. Codimensions of algebras and growth functions // Adv. Math. 2008. Vol. 217. Issue 3. P. 1027–1052.

17. Giambruno, A., Mishchenko, S., Zaicev, M. Algebras with intermediate growth of the codimensions // Advances in Applied Mathematics, 2006. Vol. 37. № 3. P. 360–377.

18. Giambruno, A., Mishchenko, S. P. Irreducible characters of the symmetric group and exponential growth [Электронныйресурс] // arXiv:1406.1653.2014. Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/1406.1653.pdf

19. Чанг, Н. Т. К, Фролова, Ю. Ю. Почти нильпотентные коммутативные метабелевы многообразия рост которых не выше экспоненциального // международная конференция Мальцевские чтения: тезисы докладов, 2014. С. 113.

20. Мищенко, С. П., Шулежко, О. В. Описание почти нильпотентных антиком- мутативных метабелевых многообразий с подэкспоненциальным ростом // международная конференция Мальцевские чтения: тезисы докладов, 2014. С. 110.