КАК ЗАВИСЯТ ДИСКРИМИНАНТЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ?
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-153-162
Аннотация
Пусть n ∈ N – фиксированное число, Q > 1 – некоторый натуральный параметр, и Pn(Q) обозначает множество целочисленных многочленов степени n и высоты, не превосходящей Q. Для заданного многочлена P(x) = anx n + · · · + a0 ∈ Z[x] степени n, число D(P) = a 2n−2 n ∏ 16i< |D(P)| 6 Q 2n−2−2v . Первые результаты по оценкам количества многочленов с заданными дискриминантами получил Х. Давенпорт в 1961 году, что имело важное значение при решении проблемы Малера. В данной работе впервые найдена точная верхняя и нижняя оценка для #P3(Q, v) при дополнительном условии на взаимное расположение корней полиномов. Интересно, что величина #Pn(Q, v) принимает наибольшее значение, когда все корни многочленов близки друг к другу. Если же близки только k, 2 6 k < n, корней, то величина #Pn(Q, v) будет меньше.
Об авторах
Н. В. Бударина
Дублинский технологический институт
Россия
Россия
В. И. Берник
Институт математики НАН Беларуси
Беларусь
Беларусь
Х. О’Доннелл
Дублинский технологический институт
Россия
Россия
Список литературы
1. Van Der Waerden B. L. Algebra. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1971.
2. Davenport H. A note on binary cubic forms // Mathematika. 1961. Vol. 8. P. 58–62.
3. Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. – Мн., 1967.
4. Beresnevich V. On approximation of real numbers by real algebraic numbers // Acta Arithmetica. 1999. Vol. 90, N. 2. P. 97–112.
5. Bernik V. I. The exact order of approximating zero by values of integral polynomials // Acta Arithmetica. 1989. Vol. 53, No. 1. P. 17–28.
6. Bernik V. I. Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations // Acta Arithmetica. 1983. Vol. 42, No. 3. P. 219–253.
7. Budarina N., Dickinson D., Bernik V. A divergent Khintchine theorem in the real, complex and p-adic fields // Lith. Math. J. 2008. Vol. 48, N. 2. P. 158–173.
8. Budarina N., Dickinson D., Bernik V. Simultaneous Diophantine approximation in the real, complex and p-adic fields // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2010. Vol. 149, No. 2. P. 193–216.
9. Goetze F., Kaliada D., Korolev M. On the number of quadratic polynomials with bounded discriminants // Mat. Zametki, to appear.
10. Goetze F., Kaliada D., Kukso O. The asymptotic number of integral cubic polynomials with bounded heights and discriminants // Lith. Math. J. 2014. Vol. 54, N. 2. P. 150–165.
11. Bernik V., Goetze F., Kukso O. Lower bounds for the number of integral polynomials with given order of discriminants // Acta Arithmetica. 2008. Vol. 133, N. 4. P. 375–390.
12. Beresnevich V. V., Bernik V. I., Goetze F. Simultaneous approximations of zero by an integral polynomial, its derivative, and small values of discriminants // Dokl. Nats. Nauk Belarusi. 2010. Vol. 54, No. 2. P. 26–28, 125.
13. Beresnevich V. Rational points near manifolds and metric Diophantine approximation // Ann. of Math. 2012. Vol. 175, No. 1. P. 187–235.
14. Bernik V., Budarina N. On arithmetic properties of integral polynomials with small values on the interval // Siauliai Math. Semin. 2013. Vol. 8, No. 16. P. 27–36.
15. Koleda D. V. An upper bound for the number of integral polynomials of third degree with a given bound for discriminants // Vestsi Nats. Akad. Navuk Belarusi Ser. Fiz.-Mat. Navuk. 2010. No. 3. P. 10–16, 124.
Рецензия
При поддержке: Работа частично поддержана фондом РФФИ (грант 14-01-90002 Бел.) и фондом БРФФИ (грант Ф14Р-034).
Для цитирования:
Бударина Н.В., Берник В.И., О’Доннелл Х. КАК ЗАВИСЯТ ДИСКРИМИНАНТЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ КОРНЕЙ? Чебышевский сборник. 2015;16(1):153-162. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-153-162
For citation:
Budarina N.V., Bernik V.I., O’Donnell H. HOW DOES THE DISCRIMINANT OF INTEGER POLYNOMIALS DEPEND ON THE DISTRIBUTION OF ROOTS? Chebyshevskii Sbornik. 2015;16(1):153-162. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2015-16-1-153-162
Просмотров: 329
Послать статью по эл. почте 