О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ CИЛЬВЕСТРА

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучена, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения. Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их реше- ний. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообра- щение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова. Используя технику псевдообратных (по Муру-Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части обобщенного матричного уравнения Сильвестра не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова с использованием проекторов и псевдообратных по Муру-Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай линейного обобщенного матричного уравнения Сильвестра. Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра подробно проиллюстрированы на примерах.

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука. — 1988. — 552 с.

2. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Наука: 1969. — 367 с.

3. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука. — 1978. — 280 с.

4. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М.: Наука. — 1970. — 534 с.

5. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. Criterion of the solvability of matrix equations of the Lyapunov type // Ukrainian Mathematical Journal. — 1998. — Vol. 50, № 8. — P. 1162 — 1169.

6. Boichuk A. A., Krivosheya S. A. A Critical Periodic Boundary Value Problem for a Matrix Riccati Equations // Differential Equations. — 2001. — Vol. 37, № 4. — P. 464 — 471.

7. Захар-Иткин М. Х. Матричное дифференциальное уравнение Риккати и полугруппа дробно-линейных преобразований // Успехи мат. наук. — 1973. — Т. XXVIII. № 3. — С. 83 — 120.

8. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. — Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV — 317 pp.

9. Деревенский В. П. Матричные уравнения Бернулли. I // Известия вузов. Математика. — 2008. — № 2. — P. 14 — 23.

10. Chuiko S. M. Emergence of solution of linear Noetherian boundary-value problem // Ukrainian Math. Zhurn. 2007. — Vol. 59, № 8. P. 1274 — 1279.

11. Воеводин, В. В., Кузнецов, Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука. 1984.

12. Чуйко С. М. Метод наименьших квадратов в теории некорректно постав- ленных краевых задач // Вестник Киевского национального университета им. Тараса Шевченко. — 2007. № 7, С. 51 — 53.

13. Chuiko S. M. On approximate solution of boundary value problems by the least square method // Nonlinear Oscillations (N.Y.) — 2008.— Vol. 11, № 4, P. 585 — 604.

14. Чуйко С. М., Чуйко Е. В. Регуляризация периодической краевой задачи при помощи импульсного воздействия // Буковинский математический журнал. — 2013. — Т. 1, № 3 — 4, С. 158 — 161.

15. Chuiko S. M. On the regularization of a linear Fredholm boundary-value problem by a degenerate pulsed action // Journal of Mathematical Sciences — 2014. — Vol. 197, № 1. — P. 138 — 150.

16. Чуйко С. М. О решении матричного уравнения Сильвестра // Вестник Одесского национального университета. Сер. математика и механика. — 2014, Т. 19, вып. 1 (21), С. 49 — 57.

17. Чуйко С. М. О решении матричных уравнений Ляпунова // Вестник Харьковского национального университета им. В. Н. Каразина. Серия: Математика, прикладная математика и механика. — № 1120. — 2014. — C. 85 – 94.

18. Коробов В. И., Бебия М. О. Стабилизация одного класса нелинейных систем, неуправляемых по первому приближению // Докл. НАН Украины. — 2014. — № 2. — С. 20 — 25.

19. Чуйко С. М. Оператор Грина линейной нетеровой краевой задачи для матричного дифференциального уравнения // Динамические системы. — 2014. — Т. 4 (32), № 1-2. — С. 101 — 107.