О РЕШЕНИИ ОБОБЩЕННОГО МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ CИЛЬВЕСТРА

Аннотация

Матричные уравнения Ляпунова, а также их обобщения — матричные уравнения Сильвестра широко используются в теории устойчивости движения, теории управления, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений Риккати и Бернулли, при решении уравнений в частных производных, а также в задачах восстановления изображений. Если структура общего решения однородной части уравнения Ляпунова хорошо изучена, то решение неоднородного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова достаточно громоздко. Наиболее распространенным требованием при решении матричных уравнений Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, является условие единственности решения. Ранее, в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи с использованием теории обобщенных обратных операторов, установлен критерий разрешимости матричных уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова и исследована структура семейства их реше- ний. В статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи использовано псевдообра- щение линейного матричного оператора L, соответствующего однородной части уравнений AX - XB = D и X - AXB = D типа Ляпунова. Используя технику псевдообратных (по Муру-Пенроузу) матриц и проекторов, в статье предложены оригинальные условия разрешимости, а также схема нахождения семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова, в общем случае, когда линейный матричный оператор L, соответствующий однородной части обобщенного матричного уравнения Сильвестра не имеет обратного. Найдено выражение для семейства линейно независимых решений неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра и, в частности, уравнения Ляпунова с использованием проекторов и псевдообратных по Муру-Пенроузу) матриц. Этот результат является обобщением соответствующих результатов, полученных в статье А. А. Бойчука и С. А. Кривошеи, на случай линейного обобщенного матричного уравнения Сильвестра. Предложенные условия разрешимости, а также схема построения частного решения неоднородного обобщенного матричного уравнения Сильвестра подробно проиллюстрированы на примерах.