Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89

Полный текст:

Аннотация

Для $0<p<\infty$ мы изучаем взаимосвязь между константой Никольского для
тригонометрических полиномов порядка не больше $n$
\[
\mathcal{C}(n,p)=\sup_{T_{n}\ne 0}\frac{\|T_{n}\|_{\infty}}{\|T_{n}\|_{p}}
\]
и константой Никольского для целых функций экспоненциального типа не
больше~$1$
\[
\mathcal{L}(p)=\sup_{f\ne 0}\frac{\|f\|_{\infty}}{\|f\|_{p}}.
\]

Недавно Е.~Левин и Д.~Любинский доказали, что
\[
\mathcal{C}(n,p)=\mathcal{L}(p)n^{1/p}(1+o(1)),\quad n\to \infty.
\]
М.~Ганзбург и С.~Тихонов обобщили этот результат на случай констант
Никольского--Бернштейна.

Мы доказываем неравенства
\[
n^{1/p}\mathcal{L}(p)\le \mathcal{C}(n,p)\le (n+\lceil
p^{-1}\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p),\quad n\in \mathbb{Z}_{+},\quad 0<p<\infty,
\]
которые уточняют результат Левина и Любинского. Доказательство следует нашему
старому подходу, основанному на свойствах интегрального ядра Фейера. С помощью
этого подхода ранее были доказаны оценки при $p=1$
\[
n\mathcal{L}(1)\le \mathcal{C}(n,1)\le (n+1)\mathcal{L}(1).
\]

Данные неравенства позволяют оценить константу $\mathcal{L}(p)$, приближенно
вычисляя $\mathcal{C}(n,p)$ для больших $n$. Чтобы это сделать мы используем
недавние результаты В.В.~Арестова и М.В.~Дейкаловой, которые выразили константу
Никольского $\mathcal{C}(n,p)$ при помощи алгебраического полинома $\rho_{n}$,
наименее уклоняющегося от нуля в пространстве $L^{p}$ на отрезке $[-1,1]$ с
весом $(1-t)v(t)$, где $v(t)=(1-t^{2})^{-1/2}$~--- вес Чебышева. Как следствие,
мы уточняем оценки для константы Никольского $\mathcal{L}(1)$ и находим, что
\[
1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.082.
\]
Для сравнения предыдущие оценки были $1.081<2\pi \mathcal{L}(1)<1.098$.

Об авторах

Дмитрий Викторович Горбачёв
Тульский государственный университет
Россия

доктор физико-математических наук, профессор
кафедры прикладной математики и информатики



Иван Анатольевич Мартьянов
Тульский государственного университет
Россия

аспирант
кафедры прикладной математики и информатики



Список литературы

1. Arestov V. V. Inequality of different metrics for trigonometric polynomials //Math. Notes. 1980. Vol. 27, no. 4. P. 265--269.

2. Arestov V., Deikalova M. Nikol'skii inequality between the uniform norm and $L_{q}$-norm with ultraspherical weight of algebraic polynomials on an interval// Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 4. P. 689--708.

3. Arestov V., Deikalova M. Nikol'skii inequality between the uniform norm and$L_{q}$-norm with Jacobi weight of algebraic polynomials on an interval //Analysis Math. 2016. Vol. 42, no. 2. P. 91--120.

4. Ash J. M., Ganzburg M. An Extremal Problem for Trigonometric Polynomials //Proc. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 127, no. 1. P. 211--216.

5. Ganzburg M., Tikhonov S. On Sharp Constants in Bernstein--NikolskiiInequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449--466.

6. Gorbachev D. V. An integral problem of Konyagin and the $(C,L)$-constants ofNikol'skii // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Vol. 2. P. S117--S138.

7. Levin E., Lubinsky D. $L_p$ Chritoffel functions, $L_p$ universality, andPaley--Wiener spaces // J. D'Analyse Math. 2015. Vol. 125. P. 243--283.

8. Levin E., Lubinsky D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants forpolynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15,no. 3. P. 459--468.

9. Stein E. M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces.N. J.: Princeton, 1971.


Для цитирования:


Горбачёв Д.В., Мартьянов И.А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа. Чебышевский сборник. 2018;19(2):80-89. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89

For citation:


Gorbachev D.V., Martyanov I.A. On interrelation of Nikolskii Constants for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):80-89. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89

Просмотров: 149


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)