Характеризация чисел Фибоначчи

Аннотация

В согласии с философско-математической мыслью ранних пифагорейцев, для заданных отрезков $s$ и $t$ мог быть найден отрезок $u$, содержащийся ровно $n$ раз в $s$ и $m$ раз в
$t$ при некоторых подходящих числах $n$ и $m$. Справедливость этого положения была подвергнута самими же пифагорейцами при обнаружении ими несоизмеримости стороны и диагонали правильного пятиугольника. Это фундаментальное историческое открытие, прославившие Пифагорейскую школу, оставило <<забытым>> предшествующий ему этап исследований. Именно фаза поиска $u$, начатая многочисленными неудачными попытками и завершившаяся разработкой известной техники доказательства <<чётное-нечётное>>, является объектом нашей <<творческой интерпритации>> исследований Пифагора, которую мы приводим в этой статье. В частности, будет выявлена сильная связь между пифагорейским тождеством $b(b+a)-a^2=0$ относительно стороны $b$ и диагонали
$a$ правильного пятиугольника и тождеством Кассини
$F_{i}F_{i+2}-F_{i+1}^2=(-1)^{i}$ для трех последовательных чисел Фибоначчи. Более того, эти два тождества были обнаружены Пифагорейской школой <<почти одновременно>>, и, следовательно, числа Фибоначчи и тождество Кассини имеют пифагорейское происхождение. Нам не известны архивные документы (уже столь редкие для изучаемого периода!), касающиеся этого утверждения, но в статье приводятся ряд математических заключений в его подтверждение. Приведенный в работе анализ дает новую (и естественную) характеризацию чисел Фибоначчи, до сих пор отсутствующую в литературе.