Об истории метода неподвижной точки и вкладе советских математиков (1920-е-1950-е гг.)

Цель. Целью работы является изучение вклада отечественных математиков (В.В. Немыцкого, А.Н. Тихонова, А.А. Маркова, М.Г. Крейна, В.Л. Шмульяна и др.) в развитие метода неподвижной точки за период  с начала 1920-х гг. до конца 1950-х гг.

Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ перечисленных учёных в контексте общемирового процесса развития нелинейного функционального анализа на фоне достижений американских (Дж. Биркгофа, О. Келлога), польских (С. Банаха, С. Мазура, Ю. Шаудера, К. Борсука и др.), итальянских (Р. Каччиополи), французских (Ж. Лере) и немецких (Э. Роте) математиков.

Результат. Вклад советских учёных в области метода неподвижной точки оказался сопоставимым с вкладом остальной части мирового математического сообщества в рассматриваемый период. Это подтверждается  как количеством доказанных теорем о неподвижной точке, так и их качеством. Благодаря усилиям советского математика М.А. Красносельского с середины 1950-х гг.  метод неподвижной точки приобрёл своё значение, как общий метод для решения широкого класса задач качественного характера, относящихся к анализу нелинейных операторных уравнений (до указанного времени обсуждаемый метод рассматривался, только как инструмент для доказательства разрешимости  абстрактных аналогов нелинейных интегральных или дифференциальных уравнений и их систем).

Обсуждение. Анализ достижений в области метода неподвижной точки в мировом контексте показал, что развитие нелинейного функционального анализа (как, впрочем, и любого другого раздела математики) есть процесс наднациональный, который осуществляется усилиями математиков из разных стран. Этот процесс выходит за рамки любой научной школы, какой бы крупной она не была.

1. Богатов Е.М. Из истории метода неподвижной точки / В сб. Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения. Материалы XV междунар. конф., посвящ. 100-летию со дня рождения проф. Н.М. Коробова (28-31 мая 2018).-Тула, ТГПУ им. Л.Н. Толстого. 2018. С. 317-320.

2. Dieudonné J. History of functional analysis / North-Holland publishing company. Amsterdam - 1981. - 316 p.

3. Dieudonné, J. A History of Algebraic and Differential Topology, 1900–1960. Modern Birkhäuser, Boston, 1989. xxi+ 648 p.

4. Brown R. F. Fixed point theory // History of topology (Ed. I.M. James) – 1999. – p. 271-299.

5. Park S. Eighty years of the Brouwer fixed point theorem // Antipodal Points and Fixed Points (by J. Jaworowski, W.A. Kirk, and S. Park), Lect. Notes Ser, 1995. Vol. 28. pp. 55-97.

6. Mawhin J. Leray-Schauder Degree: A half century of extension and applications // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1999. Vol. 14. pp. 195-228.

7. Granas A., Dugundji J. Fixed point theory. New York: Springer, Monographs in Mathematics, 2003. - 690 p.

8. Asati A., Singh A., Parihar C. L. 127 Years of fixed point theory - "A Brief Survey of development of fixed point theory" // International Journal Publications of Problems and Applications in Engineering Research. 2013. Vol 4, Iss. 1. pp. 34-39.

9. Kumar S. A short survey of the development of fixed point theory // Surveys in Mathematics and its Applications. 2013. Vol. 8. pp. 91-101.

10. Badshah V. H., Tiwari V. H., Aheere Dheeraj. A short note on some spaces and fixed point theory // Journal of scientific research in physical & mathematical sciences. 2014. Vol. 1, Issue 1. pp. 1-7.

11. Богатов Е.М. Об истории метода неподвижной точки и вкладе отечественных математиков / В сб. Годичная научная конференция, посвящённая 85-летию ИИЕТ РАН (2017).-М.: Янус-К, 2017. с. 121-125.

12. Богатов Е.М. О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.-2018.- Т. 26.- № 6, в печати.

13. Александров П. С. Пуанкаре и топология // УМН – 1972. – Т. 27. – №. 1 (163). – С. 147-158.

14. Brouwer L. E. J. Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl // Mathematische Annalen. 1911. Vol. 70. pp. 161-165.

15. Brouwer L. E. J. Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten // Mathematische Annalen. 1912. Vol. 71. pp. 97-115.

16. Босс В. Лекции по математике Том 13. Топология.- Изд. 3-е, испр.-М.: ЛЕНАНД, 2014.-216 с.

17. Боль, Пирс. Собрание трудов / П. Боль ; Пер. с нем. И.М. Рабиновича; Под ред. Л.Э. Рейзиня; Вступит. статья и коммент. Л.Э. Рейзиня и И.А. Хенинь; ; АН ЛатвССР, Ин-т физики, Латв. отд-ние Всесоюз. астрон.-геодез. о-ва; .— Рига : Зинатне, 1974 .— 517 с.

18. Hopf H. Abbildungklassen n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten // Mathematische Annalen. 1927. Vol. 96, Iss.1 pp. 209-224.

19. Bernkopf M. The development of function spaces with particular reference to their origins in integral equation theory // Archive for History of Exact Sciences. 1966. Vol. 3, pp. 1-96.

20. Pietsch A. History of Banach spaces and linear operators. Boston: Birkhäuser Basel. 2007. 855 p.

21. Birkhoff G. D., Kellogg O. D. Invariant points in function space // Transactions of the American Mathematical Society. 1922. Vol. 23, pp. 95-115.

22. Banach S. Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations integrals // Fundamenta Math. 1922. Vol. 3, pp. 133

23. Duda R. Pearls from a Lost City: The Lvov School of Mathematics. Translated by Daniel Davies. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2014. pp. xi + 231.

24. Schauder J. Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen // Mathematische Zeitschrift. 1927. Vol. 26, Issue 1. pp. 47-65.

25. Математика: Наука в СССР за пятнадцать лет (1917-1932).-М.-Л.: ГТТИ, 1932, 239 c.

26. Schauder J. Bemerkungen zu meiner Arbeit "Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen“ // Mathematische Zeitschrift. 1927. Vol. 26, Issue 1. pp. 417-431.

27. Schauder J. Invarianz des Gebietes in Funktionalraumen // Studia Mathematica. 1929. Vol. 1.1, pp. 123-139.

28. Schauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen // Studia Mathematica. 1930. Vol. 2, pp. 171-180.

29. Caccioppoli R. Sugli elementi uniti delle trasformazioni funzionali: un teorema di esistenza e di unicita ed alcune sue applicazioni // Rendiconti del Seminario Matematico della Universita di Padova. 1932. Vol. 3. p. 1-15.

30. Mawhin J. Boundary value problems for nonlinear ordinary differential equations: from successive approximations to topology / Development of Mathematics 1900-1950. Luxembourg, 1992. pp. 443-477.

31. Sbordone C. Renato Caccioppoli, nel centenario della nascita // Bollettino dell' Unione Matematica Italiana. A. 2004. Vol. 2. pp. 193-214.

32. Ingarden R. S. Juliusz Schauder - personal reminiscences // Topological Methods in Nonlinear Analysis. 1993. Vol. 2, Iss. 1. pp. 1-14.

33. Немыцкий, В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений // Матем. сб., 41:3 (1934), 421–452.

34. Немыцкий, В. В. Метод неподвижных точек в анализе // УМН, 1936, № 1, 141–174.

35. Caccioppoli R. Un teorema generale sull'esistenza di elementi uniti in una trasformazione funzionale // Rendiconti. Accademia Nazionale dei Lincei. 1930. Vol. 11, pp. 794-799.

36. Богатов Е.М. Oб истории развития нелинейных интегральных уравнений в СССР. Сильные нелинейности // Науч. вед. БелГУ. Сер. Матем., Физ. 2017, № 6, Вып. 46, С. 93-106.

37. Красносельский М.А. Два замечания о методе последовательных приближений // УМН, 10:1(63) (1955), 123–127.

38. Tychonoff A. Ein Fixpunktsatz // Mathematische Annalen. 1935. Vol. 111. pp. 767-776.

39. von Neumann J. On complete topological spaces // Transactions of the American Mathematical Society. 1935. Vol. 37, Iss. 1. pp. 1-20.

40. Köthe G. Stanislaw Mazur's contributions to functional analysis // Mathematische Annalen. 1987. Vol. 277. pp. 489-528.

41. Köthe G., Toeplitz O. Lineare Raume mit unendlich vielen Koordinaten und Ringe unendlicher Matrizen // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. 1934. Vol. 171. pp. 193-226.

42. The Scottish Book: Mathematics from the Scottish Cafe. R. Daniel Mauldin Ed. Boston: Birkhauser, 1981. 280 p.

43. Cauty R. Rétractes absolus de voisinage algébriques // Serdica Mathematical Journal. 2005 . Vol. 31, Iss. 4. pp. 309-354.

44. Марков А. А. Некоторые теоремы об абелевых множествах // ДАН СССР, Т.1 (X), № 8, с. 299-302.

45. Kakutani Sh. Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets // Proceedings of the Imperial Academy. 1938. Vol. 14, Iss. 7. pp. 242-245.

46. Богатов, Е.М., Мухин Р.Р. Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н.Н. Боголюбов, Э. Стефенсон, П.Л. Капица и другие // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2017.- Т. 25.- № 5, с. 69-87.

47. Park S. Ninety years of the Brouwer fixed point theorem // Vietnam Journal of Mathematics. 1999. Vol. 27, Iss. 3. pp. 187-222.

48. Day M. M. Fixed-point theorems for compact convex sets // Illinois Journal of Mathematics. 1961. Vol. 5, Iss. 4. pp. 585-590.

49. Mazur S. Über konvexe Mengen in linearen normierten Raumen // Studia Mathematica. 1933. Vol. 4. pp. 70-84.

50. Mazur S. Über die kleinste konvexe Menge, die eine gegebene kompakte Menge enthalt // Studia Mathematica. 1930. Vol. 2.1. pp. 7-9.

51. Krein M. G. and Shmulian V. L. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space // Annals of Mathematics. 1940. Vol. 41. pp. 556-583.

52. Banach S. Théorie des operations linéaires. Monografje Matematyczne, Vol. I. Warszawa. 1932. 231 p.

53. Крейн М.Г., Люстерник Л.А. Функциональный анализ. В сб. Математика в СССР за 30 лет (1917-1947). М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. С. 608-673.

54. Morrison T. J. Functional analysis. An introduction to Banach space theory. New York: John Wiley and Sons. 2001. 376 p.

55. Denkowski Z., Migorski S., Papageorgiou N. S. An introduction to nonlinear analysis: theory. Boston: Kluwer Academic/Plenum Publishers. 2003. 683 p.

56. Leray J. , Schauder J. Topologie et équations fonctionnelles, Ann. Sei. École Norm. Sup. 61 (1934), pp.45-73.

57. Лерэй Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения (Применение некоторых топологических методов к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными), УМН, 1:3-4 (13-14) (1946), С. 71–95.

58. Rothe E. Zur Theorie der topologischen Ordnung und der Vektorfelder in Banachschen Raumen // Compositio Mathematica. 1938. Vol. 5. pp. 177-197.

59. Красносельский М.А. Об одном топологическом методе в задаче о собственных функциях нелинейных операторов // ДАН СССР т. 74 (1950) №1, с. 5-8.

60. Красносельский М.А. Топологические методы в теории интегральных уравнений. М.: ГИТЛ, 1956. 392 с.

61. Красносельский М.А. Некоторые задачи нелинейного анализа // УМН, 9:3(61) (1954), с. 57–114.

62. Borsuk, K. Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre // Fund. Math. 20.1 (1933). s. 177-190.

63. Matoušek J. Using the Borsuk-Ulam theorem: lectures on topological methods in combinatorics and geometry. Berlin: Springer Science & Business Media. 2008. 214 p.

64. Красносельский М.А. Об одном принципе неподвижной точки для вполне непрерывных операторов в функциональных пространствах // ДАН СССР, LXXIII, 1 (1950), c. 13-15.

65. Mawhin J. Jean Leray and nonlinear integral equations: à partially forgotten legacy // Journal of Fixed Point Theory and Applications. 2007 Vol.1, Iss. 2. pp. 159-187.

66. Богатов, Е.М., Мухин Р.Р. Из истории нелинейных интегральных уравнений // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2016.- Т. 24.- № 2.- С. 77-114.

67. Памяти М.А. Красносельского URL: http://www.aha.ru/~amkr/obitrus.html (дата обращения 10.06.18).

68. Институт математики АН УССР; Сост. Митропольский Ю. А.,. Строк В. В.; Отв ред. Митропольский Ю. А.— Киев: Наук., думка,1988. 176 с.

69. Красносельский М. А. Рассмотрение спектра нелинейного оператора в окрестности точки бифуркации и применения к задаче о продольном изгибе сжатого стержня // УМН, 12:1(73) (1957), с. 203–208.

70. Красносельский М.А. Собственные функции нелинейных операторов, асимптотически близких к линейным. ДАН СССР т. 74, №2 (1950) С. 177-179.

71. Mawhin J. Mark A. Krasnosel'skii and nonlinear analysis: a fruitful love story. Марк Александрович Красносельский. К 80-летию со дня рождения. Сб. статей. М.: ИППИ РАН, 2000. – С. 80-97.

72. Боголюбов Н. Н. и др. Красносельский Марк Александрович (к семидесятилетию со дня рождения) //Успехи математических наук. – 1990. – Т. 45. – №. 2 (272). – С. 225-227.

73. Bogatov E.M. Key moments of the mutual influence of the Polish and Soviet schools of nonlinear functional analysis in the 1920's-1950's // Antiquitates Mathematicae. 2017. Vol.11, Iss. 1. pp. 131-156.

74. Park S., Tan D. H. Remarks on the Schauder-Tychonoff fixed point theorem // Vietnam Journal of Mathematics. 2000. Vol. 28. Iss. 2. pp. 127-132.

75. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. - Пер. с нем. - М.: Мир, 1969. - 448 с.