Выпуклые многогранники с дельтоидными вершинами

Аннотация

В статье вводится класс замкнутых выпуклых симметричных многогранников в $E^3$ со специальным строением некоторых вершин: множество $Star (V)$ всех граней, инцидентных таким вершинам, состоит из равных между собой дельтоидов. Такие вершины называются в работе \textit {дельтоидными}. Дельтоиды здесь --- это выпуклые четырёхугольники, обладающие двумя парами равных смежных сторон и отличные от ромбов. Предполагается также, что каждая дельтоидная вершина $V$ многогранника и каждая грань, не входящая в звезду какой-либо дельтоидной вершины, \textit {локально симметричны}. Локальная симметричность вершины означает, что через $V$ проходит ось вращения $L_V$ порядка $n$ фигуры $S$~=~$Star (Star (V))$, где $n$ --- число дельтоидов в $Star (V)$; $S$ представляет собой множество граней, состоящих из множества $Star (V)$ и всех граней, имеющих хотя бы одну общую вершину с множеством $Star (V)$. Локальная симметричность грани $F$ означает, что ось вращения $L_F$, пересекающая относительную внутренность $F$ и перпендикулярная $F$, является осью вращения звезды $Star (F)$.

$DS$ --- это обозначение класса многогранников, у которых существуют локально симметричные дельтоидные вершины и существуют грани, не входящие ни в одну звезду дельтоидных вершин; кроме того, все грани, не входящие ни в одну звезду дельтоидных вершин, являются локально симметричными.

В статье доказана теорема о полном перечислении многогранников класса $DS$, у которых все дельтоидные вершины изолированы. Изолированность, или отделённость, вершины $V$ означает, что что её звезда граней не имеет общих элементов со звездой любой другой вершины многогранника.

В работе рассмотрены также многогранники, через каждую вершину $V$ которых проходит ось вращения звезды $Star(V)$, причём $V$ не предполагается дельтоидной заранее; если у таких многогранников существует хотя бы одна дельтоидная грань, то таких многогранников только три.

Доказательства утверждений в работе основаны на свойствах так называемых \textit{сильно симметричных многогранников}. А именно, многогранников, сильно симметричных относительно вращения граней