Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

Полный текст:

Аннотация

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием {\it рядов Дирихле}
$f(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$ и {\it сумматорных функций} $\Phi(x)=\sum\limits_{n\leq x} a_n$ их
коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является {\it дзета-функция Римана} $\zeta(s)$, определенная для любого комплексного
числа $s=\sigma+it$ с действительной частью $\Re s=\sigma> 1$ как
$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$

Квадрат дзета-функции
$
\zeta^{2}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \,\,
\Re s >1,$
связян с {\it функцией делителей}
$\tau(n)=\sum\limits_{d|n}1$, дающей число натуральных делителей
натурального числа $n$. Сумматорной функцией ряда Дирихле $\zeta^2(s)$ является функция $D(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau(n)$, вопросы асимптотической оценки которой известны как {\it проблема делителей Дирихле}.
В общем случае,
$
\zeta^{k}(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \,\,
\Re s>1,
$
где функция $\tau_k(n)=\sum\limits_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$ дает число представлений
натурального числа $n$ в виде произведения $k$
натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $
\zeta^k(s)$ является функция $D_k(x)=\sum\limits_{n\leq x}\tau_k(n)$. Ее изучение - это {\it многомерная проблема делителей Дирихле}.

 

Логарифмическая производная
$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$ дзета-функции представима в
виде $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=$ $=-\sum\limits_{n=1}^{\infty}
\frac{\Lambda(n)}{n^s},$ $\Re s >1.$
Здесь $\Lambda(n)$ - {\em функция Мангольдта}, которая
определяется как $\Lambda(n)=\log p$, если $n=p^{k}$ для простого
$p$ и натурального $k$, и как $\Lambda(n)=0$, иначе.
Таким образом, {\em функция Чебышева}
$\psi(x)=\sum\limits_{n\leq x}\Lambda(n)$
является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$, соответствующего
логарифмической производной $\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$
дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими задачами, прежде всего, с {\it асимптотическим законом распределения простых чисел}.


В частности, хорошо известно представление функции $\psi(x)$ по нулям дзета-функции:
$\psi(x)=x-\sum\limits_{|\Im \rho|\leq
T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right),
$ где $x=n+0,5$, $n \in\mathbb{N}$, $2\leq T \leq x$,
и $\rho=\beta+i\gamma$ - {\it нетривиальные нули} дзета-функции Римана,
то есть нули $\zeta(s)$, лежащие в
{\em критической полосе} $0< \Re s<1$.

Мы получаем аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, для двух арифметических функций, родственных функции Чебышева:
$$\psi_{1}(x)=\sum\limits_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n) \, \mbox{ и } \,
\psi_{2}(x)=\sum\limits_{n \leq x}\Lambda(n)\ln\frac{x}{n}.$$
Аналогичные результаты можно получить и для других функций, родственных
функции Чебышева, если использовать логарифмические производные $L$-функций Дирихле.

Об авторах

Елена Ивановна Деза
Московский педагогический государственный университет
Россия

доктор педагогических наук, доцент,
профессор кафедры теоретической информатики и дискретной математики



Лидия Владимировна Варухина
Московский педагогический государственный университет
Россия


Для цитирования:


Деза Е.И., Варухина Л.В. Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева. Чебышевский сборник. 2018;19(2):319-333. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

For citation:


., . . Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):319-333. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-319-333

Просмотров: 22


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)