Об оценке меры иррациональности чисел вида $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}}$ и $\frac{1}{\sqrt{k}}\arctg{\frac{1}{\sqrt{k}}}^1$

Арифметические свойства значений гипергеометрической функции изучались различными методами, начиная с работы К.~Зигеля 1929 г.. Это направление теории диофантовых приближений исследовалось такими авторами как М.~Хата [1]-[2], Ф.~Аморозо и К.~Виола [3], А.~Хеймонен, В.~Матала-Ахо и К.~Ваананен [4]-[5] и многими другими. В последние десятилетия был получен ряд интересных результатов в этой области, усилено много ранее известных оценок меры иррациональности, как для значений гипергеометрической функции, так и для других величин.

В настоящее время одним из широко применяемых подходов при построении оценок показателя иррациональности является использование интегральных конструкций, симметричных относительно какой-либо замены параметров. Симметризованные интегралы и ранее использовались разными авторами, например, в работе Дж.~Рина [6], но наиболее активное развитие это направление приобрело после работы В.~Х.~Салихова [7], получившего с помощью симметризованного интеграла новую оценку для $\ln{3}$. Впоследствии симметричность различного типа позволила доказать ряд значимых результатов. Были получены новые оценки для некоторых значений логарифмической функции, функции $\arctg{x}$, классических констант (см., например, [8] -- [18]). В 2014~г., используя общие симметризованные многочлены первой степени вида $At-B$, где $t=(x-d)^2$, К.~Ву и Л.~Ванг усилили результат В.~Х.~Салихова о мере иррациональности $\ln{3}$ (см.[19]). В работе [20] идея симметричности была применена к интегралу Р.~Марковеккио, доказавшего ранее новую оценку для $\ln{2}$ в [21], что позволило улучшить результат для $\pi/3$.

Данная статья является продолжением работы [22], обобщающей результаты для двух типов симметричных интегральных конструкций. Первая позволяет более эффективно оценить показатели иррациональности чисел вида $\sqrt{d}\ln{\frac{\sqrt{d}+1}{\sqrt{d}-1}}$ при $d=2^{2k+1}, d=4k+1$ для некоторых $k\in\mathbb N$ (см. [22]). Используя данный интеграл, также можно получить оценки меры иррациональности чисел $\sqrt{4k+3}\ln{\frac{\sqrt{4k+3}+1}{\sqrt{4k+3}-1}},\ k\in\mathbb N$. Вторая рассматриваемая интегральная конструкция дает возможность оценивать меру иррациональности некоторых значений логарифмической функции, используя симметричность другого типа, что было подробно рассмотрено в [22]. Данный интеграл позволяет также оценивать меру иррациональности значений $\frac{1}{\sqrt{k}}\arctg{\frac{1}{\sqrt{k}}}$. Обобщение этого случая предлагается в данной работе.

1. Hata M. Legendre type polynomials and irrationality measures // J. Reine Angew. Math. 1990. Vol. 407, № 1. P. 99-125.

2. Hata M. Rational approximations to ???? and some other numbers // Acta Arith. 1993. Vol. LXIII. № 4. P. 325-349.

3. Amoroso F., Viola C. Approximation measures for logarithms of algebraic numbers // Ann. Scuola normale superiore (Pisa). 2001. Vol. XXX. P. 225-249.

4. Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. On irrationality measures of the values of Gauss hypergeometric function // Manuscripta Math. 1993. Vol. 81. P. 183-202.

5. Heimonen A., Matala-aho T., Väänänen K. An application of Jacobi type polynomials to irrationality measures // Bull. Austral. Math. Soc. 1994. Vol. 50, № 2. P. 225-243.

6. Rhin G. Approximants de Pad´ e et mesures effectives d’irrationalit´ e // Progr. in Math. 1987. Vol. 71. P. 155-164.

7. Салихов В. Х. О мере иррациональности ln3 // Доклады Академии наук. 2007. Том 417, № 6. С. 753-755.

8. Салихов В. Х. О мере иррациональности числа $pi$ // Успехи математических наук. 2008. Том 63. № 3. С. 163-164.

9. Сальникова Е. С. О мерах иррациональности некоторых значений функции Гаусса // Чебышевский сборник. 2007. Том 8, № 2. С. 88-96.

10. Сальникова Е. С. Диофантовы приближения log2 и других логарифмов // Математические заметки. 2008. Том 83. № 3. С. 428-438.

11. Сальникова Е. С. Приближения некоторых логарифмов числами из полей $mathbb{Q}$ и $mathbb{Q}sqrt{d}$ // Фундамент. и прикл. матем. 2010. Том 16. № 6. С. 139-155.

12. Томашевская Е. Б. О мере иррациональности числа $ln5+ pi/2$ и некоторых других чисел// Чебышевский сборник. 2007.Том 8. № 2. С. 97-108.

13. Томашевская Е. Б. О диофантовых приближениях значений некоторых аналитических функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Брянский государственный технический университет. 2009. 99 с.

14. Башмакова М. Г. О приближении значений гипергеометрической функции Гаусса рациональными дробями // Математические заметки. 2010. Т.88, № 6. С. 785-797.

15. Башмакова М. Г. Оценка мер иррациональности логарифма "золотого сечения" // Чебышевский сб. 2010. Т.11, № 1. С. 47-53.

16. Андросенко В. А. Оценка меры иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса // Чебышевский сб. 2010. Т.11, № 1. С. 7-14.

17. Лучин М. Ю. Оценка меры иррациональности числа ln7/4 // Чебышевский сб. 2013. Том 14, № 2. С. 123-131.

18. Лучин М. Ю., Салихов В. Х. Приближение ln2 числами из поля Q √ 2 // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Том 82, № 3. С. 108-135.

19. Wu Q, Wang L. On the irrationality measure of log3 // Journal of Number Theory. 2014. Vol. 142. P. 264-273.

20. Андросенко В. А. Мера иррациональности числа $frac{pi}{sqrt{3}}$ // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т.79, № 1. С. 3-20.

21. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for ln2 // Acta Aritm. 2009. Vol. 139.2. P. 147-184.

22. Башмакова М. Г.,Золотухина Е. С. О показателях иррациональности чисел вида $sqrt{d}lnfrac{sqrt{d}+1}{sqrt{d}-1}$ // Чебышевский сб. 2017. Том 18, № 1. С. 29-43.

23. Polyanskii A. On the irrationality measure of certain numbers // Comb. and Number Theory. 2011. Vol. 1, № 4. P. 80-90.

24. Полянский A. А. О показателях иррациональности некоторых чисел. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. 2013. 138 с.

25. Huttner M. Irrationalit´ e de certaines int´ egrales hyperg´ eom´ etriques // J. Number Theory. 1987. Vol. 26. P. 166-178.