Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-142-150

Полный текст:

Аннотация

В работе продолжено рассмотрение нового класса рядово Дирихле --- дзета-функции моноидов натуральных чисел. Основной задачей, решаемой в данной статье, является построение моноида натуральных чисел, для которого дзета-функция этого моноида имеет заданную абсциссу абсолютной сходимости.

Ранее автор решил аналогичную задачу построения множества натуральных чисел, для которого соответствующая дзета-функция имеет заданную абсциссу абсолютной сходимости.

Для решения задачи для дзета-функции моноида натуральных чисел возникают определенные трудности, связанные с необходимостью построения последовательности простых чисел, удовлетворяющих определенным требованиям на рост членов.

Было введено понятие $\sigma$"=последовательности $\mathbb{P}_\sigma$ простых чисел, члены которой удовлетворяют неравенству $n^\sigma\le p_n<(n+1)^\sigma.$

С помощью теоремы Ингама с кубическим ростом простых чисел удалось построить $\sigma$"=последовательность простых чисел для любого $\sigma\ge3$. Для соответствующей дзета-функции моноида, порожденного данной $\sigma$"=последовательностью простых, абсцисса абсолютной сходимости равна $\frac{1}{\sigma}$. Таким образом, с помощью теоремы Ингама удалось решить проблему для значений абсциссы абсолютной сходимости от 0 до $\frac{1}{3}$. Для таких моноидов удается получить асимптотическую формулу для функции распределения простых чисел $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)$: $\pi_{\mathbb{P}_\sigma}(x)=x^{\frac{1}{\sigma}}+\theta(x)$, где $-2<\theta(x)<-1$.

Для доказательства существования моноида натуральных чисел, для дзета-функции которого значение абсциссы абсолютной сходимости от $\frac{1}{3}$ до 1, потребовалось использовать теорему Россера о простых числах. Для этого было введено понятие $\sigma$"=последовательности второго рода.

В заключении рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Об авторе

Николай Николаевич Добровольский
Тульский государственного университет; Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.
Россия

ассистент
кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственного университет; доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.



Список литературы

1. Э. Бомбьери, А. Гош Вокруг функции Дэвенпорта–Хейльбронна // УМН, 2011. Т. 66, вып. 2(398). С. 15--66.

2. С. М. Воронин Избранные труды: Математика / Под ред. А. А. Карацубы. --- М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. 2006. --- 480 с.

3. С. М. Воронин, А. А. Карацуба Дзета-функция Римана. --- М.: Физ-матлит, 1994. --- 376 с.

4. С. С. Демидов, Е. А. Морозова, В. Н. Чубариков, И. Ю. Реброва, И. Н. Балаба, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Л. П. Добровольская, А. В. Родионов, О. А. Пихтилькова Теоретико-числовой метод в приближенном анализе // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 6--85.

5. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. --- 283 с. http://elibrary.ru/item.asp? id=20905960

6. Л. П. Добровольская, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4--107.

7. {Добровольский М. Н.} Функциональное уравнение длягиперболической дзе-та-функции целочисленных решёток // Доклады академии наук 2007. Т. 412, No3. С. 302--304.

8. Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Л. П. Добровольская, О. Е. Бочарова О гиперболической дзета-функции Гурвица //Чебышевский сб. 2016. Т. 17, вып. 3. С. 72--105.

9. Н. Н. Добровольский Дзета-функция моноидов натуральных чисел с однозначным разложением на простые множители //Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 187--207.

10. Н. Н. Добровольский О моноидах натуральных чисел с однозначным разложением на простые элементы // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 1. С. 79--105.

11. Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва Гипотеза о ''заградительном ряде'' для дзета-функций моноидов с экспоненциальной последовательностью простых // Чебышевский сб. 2018. Т. 19, вып. 1. С. 106--123.

12. Э. Трост Простые числа --- М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. --- 136 с.

13. H. Davenport, H. Heilbronn On the zeros of certain Dirichlet series // J. London Math. Soc. 1936. Vol. 11. P. 181--185.

14. L. P. Dobrovolskaya, M. N. Dobrovolsky, N. M. Dobrovol'skii, N. N. Dob-rovolsky. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices. In: Continuous and Dis-tributed Systems. Solid Mechanics and Its Applications. Vol. 211. 2014. P. 23--62. DOI:10.1007/978-3-319-03146-0_2.

15. B. Rosser The $n$-th Prime is greater than $nlog n$ // Proc. London. math. Soc. 1938. Vol. 45. pp. 21--44.


Для цитирования:


Добровольский Н.Н. Дзета-функция моноидов с заданной абсциссой абсолютной сходимости. Чебышевский сборник. 2018;19(2):142-150. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-142-150

For citation:


Dobrovolsky N.N. The zeta function of monoids with a given abscissa of absolute convergence. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):142-150. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-142-150

Просмотров: 48


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)