Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О некоторых фибономиальных тождествах

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-

Полный текст:

Аннотация

Фибиномиальное тождество --- это тождество, сочетающее числа Фибоначчи с биномиальными или мультиномиальными коэффициентами.
В этой статье для получение новых фибиномиальных тождеств мы используем семейства определителей и перманентов нижних матриц Хессенберга специального вида
(так называемых матриц Теплица-Хессенберга, т.е. матриц порядка $n\times n$ вида $H_n=(h_{ij})$, где $h_{ij}=0$ для всех $j>i+1$, $h_{ij}=a_{i-j+1}$ и $a_{i,i+1}=2$),
элементами которых являются числа Фибоначчи $F_n$ с последовательными, четными и нечетными индексами.

Полученные формулы для детерминантов и перманентов могут быть записаны как тождества, включающие суммы произведений чисел Фибоначчи и мультиномиальные коэффициенты.
Например, для всех $n\geq1$ имеет место тождество
$$
\sum_{s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n}(-1)^{s_1+\cdots+s_n}{s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}\left(\frac{F_2}{2}\right)^{s_1}\left(\frac{F_4}{2}\right)^{s_2}\cdots\left(\frac{F_{2n}}{2}\right)^{s_n}=
\frac{1-4^n}{3\cdot 2^n},
$$
где ${s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}=\frac{(s_1+\cdots+s_n)!}{s_1!\cdots s_n!}$ -- мультиномиальный коэффмцмент, а суммирование производится по всем целым $s_i\geq0$,
удовлетворяющих уравнению $s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n$.

Использование определителей матриц Теплица-Гессенберга позволило нам, в частности, получить формулы, устанавливающие связь между числами Фибоначчи и числами Якобсталя, Пелля, Пелля-Люка.

Об авторе

Тарас Петрович Гой
Прикарпатский национальный университет имени Василия Стефаныка
Украина
доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики


Список литературы

1. Benjamin A. T., Quinn J. J., Rouse J. A.Fibinomial identities // Applications of Fibonacci numbers. Vol. 9. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers. P. 19--24. doi: 10.1007/978-0-306-48517-6_3

2. Koshy T. Fibonacci and Lucas Numbers and Applications. New York, John Wiley & Sons, 2001.

3. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix Analysis. New York, Cambridge University Press, 2012.

4. Sloane N. J. A., editor. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Available at: https://ocis.org.

5. Civciv H.A note on the determinant of five-diagonal matrices with Fibonacci numbers // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. Vol. 3, No 9. P. 419--424.

6. Ipek A.On the determinants of pentadiagonal matrices with the classical Fibo-nacci, generalized Fibonacci and Lucas numbers //Eurasian Math. J. 2011. Vol. 2, No 2. P. 60--74.

7. Ipek A., Ar{i} K.On Hessenberg and pentadiagonal determinants related with Fibo-nacci and Fibonacci-like numbers // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 229. P. 433--439.doi: 10.1016/j.amc.2013.12.071

8. Janji’c M.Hessenberg matrices and integer sequences // J. Integer Seq. 2010. Vol. 13. Article 10.7.8.

9. Kaygi si z K., c Sahin A.Determinant and permanent of Hessenberg matrix and Fibonacci type numbers // Gen. Math. Notes 2012. Vol. 9, No 2. P. 32--41.

10. "Ocal A. A., Tuglu N., Altinic sik E. On the representation of $k$-generalized Fibonacci and Lucas numbers // Appl. Math. Comput. 2005. Vol. 170, No 1. P. 584--596.

11. Tangboonduangjit A., Thanatipanonda T. Determinants containing powers of generalized Fibonacci numbers // J. Integer Seq. 2016. Vol. 19, Article 16.7.1.

12. Гой Т. П. Про нові формули для чисел Фібоначчі // Информатика и системные науки (ИСН-2017):Материалы VIII Всеукр. наук.-техн. конф., 16-18 марта 2017 г. -- Полтава: ПУЭТ, 2017. -- С. 51--54.

13. Goy T. Some combinatorial identities for two-periodic Fibonacci sequence // Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики: Материалы XII Междунар. конф.,19-22 сент. 2017 г. -- Махачкала: ДГУ, 2017. -- C. 107--109.

14. Гой Т. П. О новых фибиномиальных тождествах // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения:Материалы XV Междунар. конф., посвящ. столетию со дня рожд. проф. Н. М. Коробова, 28-31 мая 2018 г. -- Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2018. -- С. 214--217.%

15. %Koshy T. Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications, New York, Springer, 2014.

16. Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. Vol. 3, New York, Dover Publications, 1960.


Рецензия

Для цитирования:


Гой Т.П. О некоторых фибономиальных тождествах. Чебышевский сборник. 2018;19(2):56-66. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-

For citation:


Goy T.P. On some fibinomial identities. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):56-66. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-

Просмотров: 298


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)