Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О некоторых фибономиальных тождествах

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-

Полный текст:

Аннотация

Фибиномиальное тождество --- это тождество, сочетающее числа Фибоначчи с биномиальными или мультиномиальными коэффициентами.
В этой статье для получение новых фибиномиальных тождеств мы используем семейства определителей и перманентов нижних матриц Хессенберга специального вида
(так называемых матриц Теплица-Хессенберга, т.е. матриц порядка $n\times n$ вида $H_n=(h_{ij})$, где $h_{ij}=0$ для всех $j>i+1$, $h_{ij}=a_{i-j+1}$ и $a_{i,i+1}=2$),
элементами которых являются числа Фибоначчи $F_n$ с последовательными, четными и нечетными индексами.

Полученные формулы для детерминантов и перманентов могут быть записаны как тождества, включающие суммы произведений чисел Фибоначчи и мультиномиальные коэффициенты.
Например, для всех $n\geq1$ имеет место тождество
$$
\sum_{s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n}(-1)^{s_1+\cdots+s_n}{s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}\left(\frac{F_2}{2}\right)^{s_1}\left(\frac{F_4}{2}\right)^{s_2}\cdots\left(\frac{F_{2n}}{2}\right)^{s_n}=
\frac{1-4^n}{3\cdot 2^n},
$$
где ${s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}=\frac{(s_1+\cdots+s_n)!}{s_1!\cdots s_n!}$ -- мультиномиальный коэффмцмент, а суммирование производится по всем целым $s_i\geq0$,
удовлетворяющих уравнению $s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n$.

Использование определителей матриц Теплица-Гессенберга позволило нам, в частности, получить формулы, устанавливающие связь между числами Фибоначчи и числами Якобсталя, Пелля, Пелля-Люка.

Об авторе

Тарас Петрович Гой
Прикарпатский национальный университет имени Василия Стефаныка
Украина
доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики


Список литературы

1. Benjamin A. T., Quinn J. J., Rouse J. A.Fibinomial identities // Applications of Fibonacci numbers. Vol. 9. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers. P. 19--24. doi: 10.1007/978-0-306-48517-6_3

2. Koshy T. Fibonacci and Lucas Numbers and Applications. New York, John Wiley & Sons, 2001.

3. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix Analysis. New York, Cambridge University Press, 2012.

4. Sloane N. J. A., editor. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Available at: https://ocis.org.

5. Civciv H.A note on the determinant of five-diagonal matrices with Fibonacci numbers // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. Vol. 3, No 9. P. 419--424.

6. Ipek A.On the determinants of pentadiagonal matrices with the classical Fibo-nacci, generalized Fibonacci and Lucas numbers //Eurasian Math. J. 2011. Vol. 2, No 2. P. 60--74.

7. Ipek A., Ar{i} K.On Hessenberg and pentadiagonal determinants related with Fibo-nacci and Fibonacci-like numbers // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 229. P. 433--439.doi: 10.1016/j.amc.2013.12.071

8. Janji’c M.Hessenberg matrices and integer sequences // J. Integer Seq. 2010. Vol. 13. Article 10.7.8.

9. Kaygi si z K., c Sahin A.Determinant and permanent of Hessenberg matrix and Fibonacci type numbers // Gen. Math. Notes 2012. Vol. 9, No 2. P. 32--41.

10. "Ocal A. A., Tuglu N., Altinic sik E. On the representation of $k$-generalized Fibonacci and Lucas numbers // Appl. Math. Comput. 2005. Vol. 170, No 1. P. 584--596.

11. Tangboonduangjit A., Thanatipanonda T. Determinants containing powers of generalized Fibonacci numbers // J. Integer Seq. 2016. Vol. 19, Article 16.7.1.

12. Гой Т. П. Про нові формули для чисел Фібоначчі // Информатика и системные науки (ИСН-2017):Материалы VIII Всеукр. наук.-техн. конф., 16-18 марта 2017 г. -- Полтава: ПУЭТ, 2017. -- С. 51--54.

13. Goy T. Some combinatorial identities for two-periodic Fibonacci sequence // Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики: Материалы XII Междунар. конф.,19-22 сент. 2017 г. -- Махачкала: ДГУ, 2017. -- C. 107--109.

14. Гой Т. П. О новых фибиномиальных тождествах // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения:Материалы XV Междунар. конф., посвящ. столетию со дня рожд. проф. Н. М. Коробова, 28-31 мая 2018 г. -- Тула: ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2018. -- С. 214--217.%

15. %Koshy T. Pell and Pell-Lucas Numbers with Applications, New York, Springer, 2014.

16. Muir T. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. Vol. 3, New York, Dover Publications, 1960.


Для цитирования:


Гой Т.П. О некоторых фибономиальных тождествах. Чебышевский сборник. 2018;19(2):56-66. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-

For citation:


Goy T.P. On some fibinomial identities. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):56-66. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-

Просмотров: 65


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)