О некоторых фибономиальных тождествах

Аннотация

Фибиномиальное тождество --- это тождество, сочетающее числа Фибоначчи с биномиальными или мультиномиальными коэффициентами.
В этой статье для получение новых фибиномиальных тождеств мы используем семейства определителей и перманентов нижних матриц Хессенберга специального вида
(так называемых матриц Теплица-Хессенберга, т.е. матриц порядка $n\times n$ вида $H_n=(h_{ij})$, где $h_{ij}=0$ для всех $j>i+1$, $h_{ij}=a_{i-j+1}$ и $a_{i,i+1}=2$),
элементами которых являются числа Фибоначчи $F_n$ с последовательными, четными и нечетными индексами.

Полученные формулы для детерминантов и перманентов могут быть записаны как тождества, включающие суммы произведений чисел Фибоначчи и мультиномиальные коэффициенты.
Например, для всех $n\geq1$ имеет место тождество
$$
\sum_{s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n}(-1)^{s_1+\cdots+s_n}{s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}\left(\frac{F_2}{2}\right)^{s_1}\left(\frac{F_4}{2}\right)^{s_2}\cdots\left(\frac{F_{2n}}{2}\right)^{s_n}=
\frac{1-4^n}{3\cdot 2^n},
$$
где ${s_1+\cdots+s_n\choose s_1,\ldots, s_n}=\frac{(s_1+\cdots+s_n)!}{s_1!\cdots s_n!}$ -- мультиномиальный коэффмцмент, а суммирование производится по всем целым $s_i\geq0$,
удовлетворяющих уравнению $s_1+2s_2+\cdots+ns_n=n$.

Использование определителей матриц Теплица-Гессенберга позволило нам, в частности, получить формулы, устанавливающие связь между числами Фибоначчи и числами Якобсталя, Пелля, Пелля-Люка.