Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

К истории влияния теоремы Милютина на исследования \в геометрии пространств Банаха

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-531-539

Полный текст:

Аннотация

Обозначим через $E(T)$ ($E$ --- банахово пространство; $T$ --- метрический компакт) пространство всех непрерывных отображений компакта $T$ в $E$ с sup-нормой.

Тогда $E(T)$ --- банахово пространство. Если Е есть вещественная ось, то будем $E(T)$ обозначать через $C(T)$. А.~А.~Милютиным доказана следующая теорема.

Если $K1$ и $K2$ --- метрические компакты континуальной мощности, $E$ --- банахово пространство, то $E(K1)$ изоморфно $E(K2)$.

А.~А.~Милютин, не зная об этом, в 1951 году решил знаменитую проблему Банаха: будут ли изоморфны пространства непрерывных функций на отрезке и на квадрате.

Среди работ, по духу близких исследованиям А.~А.~Милютина, можно назвать работы М.~И.~Кадеца, доказавшего топологическую эквивалентность всех бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств. Одно из важных направлений функционального анализа --- геометрия банаховых пространств. «Метод эквивалентных норм» заключается в возможности введения в банаховом пространстве эквивалентной нормы, обладающей тем или иным «хорошим» свойством. Теория эквивалентных норм для банаховых пространств $C(K)$ непрерывных функций на метрических компактах есть следствие теоремы Милютина и теории сепарабельных пространств Банаха. Для случая неметризуемых компактов теория далека от завершения.

Общей теории этих компактов нет и мало что известно о пространствах $C(K)$ для неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности. Теорема Милютина повлияла на исследования в этом направлении. Основной же целью работы является анализ влияния теоремы Милютина на развитие теории пространств Банаха, особенно в одном из важных направлений функционального анализа – теории эквивалентных норм в геометрии банаховых пространств. В статье приводятся результаты, полученные учениками М.~И.~Кадеца для неметризуемых компактов с первой аксиомой счетности, в том числе результаты полученные автором и другими математиками.

Об авторе

Евгений Викторович Манохин

Россия
кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой «Математика и информатика», Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» (Финансовый университет, Тульский филиал).


Для цитирования:


Манохин Е.В. К истории влияния теоремы Милютина на исследования \в геометрии пространств Банаха. Чебышевский сборник. 2018;19(2):531-539. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-531-539

For citation:


. . Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):531-539. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-531-539

Просмотров: 13


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)