Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141

Полный текст:

Аннотация

В работе исследуется вопрос о числе простых элементов в моноиде $M_{q,1}$, состоящем из натуральных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$. При $q>2$ моноид $M_{q,1}$ не является моноидом с однозначным разложением на простые элементы, так как наряду с обычными простыми числами, которые сравнимы с 1 по модулю $q$, в число простых элементов попадают псевдопростые числа, которые являются составными числами. Случай $q=3,4,6$ выделяется из числа других тем, что псевдопростые числа являются произведением двух простых чисел сравнимых с $q-1$ по модулю $q$. Таким образом, для множества простых элементов $P(M_{q,1})$ моноида $M_{q,1}$ в этом случае справедливо равенство $P(M_{q,1})=\mathbb{P}_{q,1}\bigcup(\mathbb{P}_{q,q-1}\cdot\mathbb{P}_{q,q-1})$.

Так как моноид $M_{q,1}$ не имеет однозначности разложения на простые элементы, то дзета-функция
$$
\zeta(M_{q,1}|\alpha)=\sum_{n\in M_{q,1}}\frac{1}{n^\alpha}
$$
моноида $M_{q,1}$ не равна эйлерову произведению
$$
P(M_{q,1}|\alpha)=\prod_{r\in P(M_{q,1})}\left(1-\frac{1}{r^\alpha}\right)^{-1}.
$$
Поэтому, изучение распределения простых элементов в моноиде $M_{q,1}$ с помощью аналитических свойств логарифмической производной дзета-функции моноида не представляется возможным.

Для полноты изложения сначала в работе изучается вопрос о количестве составных чисел, равных произведению двух простых чисел, с помощью неравенств Чебышёва, так как в этом году исполнилось 170 лет со дня выхода первого мемуара П. Л. Чебышёва о простых числах.

Затем с помощью неравенства Бруна-Титчмарша получена верхняя оценка количества составных чисел сравнимых с 1 по модулю $q$ и равных произведению двух простых чисел.

Подход, применённый к общему случаю, затем переносится на случай простых элементов в моноидах $M_{q,1}$ при $q=3,4,6$.

В заключение рассмотрены актуальные задачи с дзета-функциями моноидов натуральных чисел, требующие дальнейшего исследования.

Об авторах

Николай Николаевич Добровольский
Тульский государственного университет; Тульского государственного педагогического университета им. Л. Н. Толстого.
Россия

кандидат физико-математических наук, ассистент
кафедры прикладной математики и информатики, доцент кафедры алгебры, математического анализа и геометрии



Алина Олеговна Калинина
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.
Россия
студентка механико-математического факультета


Михаил Николаевич Добровольский
Геофизический центр РАН
Россия
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник


Николай Михайлович Добровольский
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого.
Россия
профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии


Для цитирования:


Добровольский Н.Н., Калинина А.О., Добровольский М.Н., Добровольский Н.М. О количестве простых элементов в некоторых моноидах натуральных чисел. Чебышевский сборник. 2018;19(2):123-141. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141

For citation:


., ., ., . . Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):123-141. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-123-141

Просмотров: 49


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)