Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом

Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяют
следующему свойству:
\[
\int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1,
\tag{$*$}
\]
где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ это
свойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеют
приложения в теории чисел.

В одномерном случае неравенство~($*$) изучалось Б.Ф.~Логаном (1988), а также
недавно А.~Ефимовым, М.~Гаалом и Сц.~Ревешем (2017). Было доказано, что
$2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$.
Вопрос о точных константах здесь открыт.

Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства
$\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В.~Горбачевым и С.Ю.~Тихоновым (2018). В
частности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций
$f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$
\[
\int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx,
\]
где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда на
радиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство
\[
\int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in \mathbb{N}.
\]

Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:
\[
\int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\le
C_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2,
\]
где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$~--- произвольная четная
непрерывная положительно определенная функция относительно веса
$x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М.~Левитаном (1951) и означает, что
для произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица
$(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь
$T_{\alpha}^{t}$~--- оператор обобщенного сдвига Бесселя--Гегенбауэра. Левитан
доказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласно
которому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).

Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$
\[
c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quad
R\ge 1.
\]
Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательства
верхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида
$\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$~--- характеристическая
функция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.

1. Bateman G., Erd'elyi A., et al., Higher Transcendental Functions. Vol. II. NewYork: McGraw Hill Book Company, 1953.

2. Ga'al M., R'ev'esz Sz. Gy. Integral comparisons of nonnegative positivedefinite functions on locally compact abelian groups // arXiv:1803.06409[math.FA].

3. Ghobber S., Jaming P. The Logvinenko--Sereda theorem for theFourier--Bessel transform // Integral Transforms and Special Functions.2013. Vol. 24, no. 6. P. 470--484.

4. Gorbachev D.V. Certain inequalities for discrete, nonnengative, positivedefinite functions // Izv. Tul. Gos. Univ. Est. nauki 2015. No. 2. P. 5--12.[in Russian]

5. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Yu. Doubling condition at the origin fornon-negative positive definite functions // Proc. Amer. Math. Soc. 2018 (inpress); arXiv:1612.08637 [math.CA].

6. Gorbachev D.V., Tikhonov S.Yu. Wiener's problem for positive definite functions// Math. Z. 2018. Vol. 289, no. 3-4. P. 859--874, DOI10.1007/s00209-017-1978-9.

7. Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Y. Positive $L^p$-bounded Dunkl-typegeneralized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2018.P. 1--51. DOI 10.1007/s00365-018-9435-5.

8. Efimov A., Ga'al M., R'ev'esz Sz. Gy. On integral estimates of nonnegativepositive definite functions // Bull. Aust. Math. Soc. 2017. Vol. 96, no. 1.P. 117--125.

9. Levitan B.M. Expansion in Fourier series and integrals with Bessel functions //Uspekhi Mat. Nauk. 1951. Vol. 6, no. 2. P. 102--143. [in Russian]

10. Levitan B.M., Sargsjan I.S. Introduction to spectral theory: Selfadjointordinary differential operators. Transl. Math. Monogr. Vol. 39. Providence,Rhode Island: Amer. Math. Soc., 1975.

11. Logan B.F. An interference problem for exponentials // Michigan Math. J. 1988.Vol. 35. P. 369--393.

12. Rudin W. Fourier analysis on groups. New York: Interscience Publ., 1962.

13. Shapiro H.S. Majorant problems for Fourier coefficients // Quart. J. Math.Oxford Ser. (2). 1975. Vol. 26. P. 9--18.

14. Shteinikov Yu.N. On the set of joint representatives of two congruence Classes// Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2015. Vol. 290, no. 1.P. 189--196.