Об условии удвоения для положительно определенных функций на полуоси со степенным весом

Аннотация

Непрерывные неотрицательные положительно определенные функции удовлетворяют
следующему свойству:
\[
\int_{-R}^{R}f(x)\,dx\le C(R)\int_{-1}^{1}f(x)\,dx,\quad R\ge 1,
\tag{$*$}
\]
где наименьшая положительная константа $C(R)$ не зависит от $f$. При $R=2$ это
свойство хорошо известно как условие удвоения в нуле. Данные неравенства имеют
приложения в теории чисел.

В одномерном случае неравенство~($*$) изучалось Б.Ф.~Логаном (1988), а также
недавно А.~Ефимовым, М.~Гаалом и Сц.~Ревешем (2017). Было доказано, что
$2R-1\le C(R)\le 2R+1$ для $R=2,3,\ldots$, откуда следует, что $C(R)\sim 2R$.
Вопрос о точных константах здесь открыт.

Многомерный вариант неравенства ($*$) для евклидова пространства
$\mathbb{R}^{n}$ исследовался Д.В.~Горбачевым и С.Ю.~Тихоновым (2018). В
частности доказано, что для непрерывных положительно определенных функций
$f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}_{+}$
\[
\int_{|x|\le R}f(x)\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{|x|\le 1}f(x)\,dx,
\]
где $c_{n}\le 2^{n}n\ln n\,(1+o(1))(1+R^{-1})^{n}$ при $n\to \infty$. Отсюда на
радиальных функциях получаем одномерное весовое неравенство
\[
\int_{0}^{R}f(x)x^{n-1}\,dx\le c_{n}R^{n}\int_{0}^{1}f(x)x^{n-1}\,dx,\quad n\in \mathbb{N}.
\]

Мы изучаем следующее естественное весовое обобщение данных неравенств:
\[
\int_{0}^{R}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx\le
C_{\alpha}(R)\int_{0}^{1}f(x)x^{2\alpha+1}\,dx,\quad \alpha\ge -1/2,
\]
где $f\colon \mathbb{R}_{+}\to \mathbb{R}_{+}$~--- произвольная четная
непрерывная положительно определенная функция относительно веса
$x^{2\alpha+1}$. Это понятие было введено Б.М.~Левитаном (1951) и означает, что
для произвольных $x_{1},\ldots,x_{N}\in \mathbb{R}_{+}$ матрица
$(T_{\alpha}^{x_i}f(x_j))_{i,j=1}^{N}$ неотрицательно определенная. Здесь
$T_{\alpha}^{t}$~--- оператор обобщенного сдвига Бесселя--Гегенбауэра. Левитан
доказал аналог классической теоремы Бохнера для таких функций, согласно
которому $f$ имеет неотрицательное преобразование Ганкеля (в смысле меры).

Мы доказываем, что для каждого $\alpha\ge -1/2$
\[
c_{1}(\alpha)R^{2\alpha+2}\le C_{\alpha}(R)\le c_{2}(\alpha)R^{2\alpha+2},\quad
R\ge 1.
\]
Нижняя оценка тривиально достигается на функции $f(x)=1$. Для доказательства
верхней оценки мы применяем нижние оценки сумм вида
$\sum_{k=1}^{m}a_{k}T^{x_{k}}\chi(x)$, где $\chi$~--- характеристическая
функция отрезка $[0,1]$, а также свойства свертки Бесселя.