Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$

Аннотация

Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horv\'ath установили ряд интересных
результатов относительно точной константы Никольского
$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)$ в весовом неравенстве
\[
\sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le
\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}
\biggl(2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}
\]
для подпространства $\mathcal{E}^{\sigma}\cap
L^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1}\,dx)$ четных целых функций $f$
экспоненциального типа не больше $\sigma>0$, где $1\le p<\infty$ и $\alpha\ge
-1/2$.

Мы доказываем, что при тех же $\alpha$ и $p$
\[
\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p),
\]
где $\mathcal{L}(\alpha,p)$~--- точная константа в неравенстве Никольского
\[
\sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}
\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}
\]
для произвольных (не обязательно четных) функций $f\in
\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\cap
L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$.

Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p):=
(2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p),
\]
которые имеют следующий вид:
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in
(0,\infty),
\]
и для фиксированного $p\in [1,\infty)$
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p}\,(1+o(1))},\quad
\alpha\to \infty.
\]
Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда $p=2$. В этом случае
$\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ для каждого $\alpha\ge -1/2$.

Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности,
для доказательства равенства
$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ применяется четный
положительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T^{t}$, который ограничен в
$L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой~$1$ и инвариантен на
подпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.

Доказательство верхней оценки константы $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ основано на
оценке норм воспроизводящего ядра подпространства $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$
и мультипликативном неравенстве для константы Никольского. Для получения нижней
асимптотической оценки мы рассматриваем нормированную функцию Бесселя
$j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ порядка $\nu\sim (2\alpha+2)/p$.