Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79

Полный текст:

Аннотация

Недавно Арестов, Бабенко, Дейкалова и Horv\'ath установили ряд интересных
результатов относительно точной константы Никольского
$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)$ в весовом неравенстве
\[
\sup_{x\in [0,\infty)}|f(x)|\le
\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}
\biggl(2\int_{0}^{\infty}|f(x)|^{p}x^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}
\]
для подпространства $\mathcal{E}^{\sigma}\cap
L^{p}(\mathbb{R}_{+},x^{2\alpha+1}\,dx)$ четных целых функций $f$
экспоненциального типа не больше $\sigma>0$, где $1\le p<\infty$ и $\alpha\ge
-1/2$.

Мы доказываем, что при тех же $\alpha$ и $p$
\[
\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p),
\]
где $\mathcal{L}(\alpha,p)$~--- точная константа в неравенстве Никольского
\[
\sup_{x\in \mathbb{R}}|f(x)|\le \mathcal{L}(\alpha,p)\sigma^{(2\alpha+2)/p}
\biggl(\int_{\mathbb{R}}|f(x)|^{p}|x|^{2\alpha+1}\,dx\biggr)^{1/p}
\]
для произвольных (не обязательно четных) функций $f\in
\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}:=\mathcal{E}^{\sigma}\cap
L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$.

Также мы даем границы для нормализованной константы Никольского
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p):=
(2^{2\alpha+2}\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\alpha+2))^{1/p}\mathcal{L}(\alpha,p),
\]
которые имеют следующий вид:
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\le \lceil p/2\rceil^{\frac{2\alpha+2}{p}},\quad p\in
(0,\infty),
\]
и для фиксированного $p\in [1,\infty)$
\[
\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)\ge (p/2)^{\frac{2\alpha+2}{p}\,(1+o(1))},\quad
\alpha\to \infty.
\]
Верхняя оценка точная тогда и только тогда, когда $p=2$. В этом случае
$\mathcal{L}^{*}(\alpha,2)=1$ для каждого $\alpha\ge -1/2$.

Наш подход опирается на одномерный гармонический анализ Данкля. В частности,
для доказательства равенства
$\mathcal{L}_\textup{even}(\alpha,p)=\mathcal{L}(\alpha,p)$ применяется четный
положительный оператор обобщенного сдвига Данкля $T^{t}$, который ограничен в
$L^{p}(\mathbb{R},|t|^{2\alpha+1}\,dt)$ с константой~$1$ и инвариантен на
подпространстве $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{\sigma}$.

Доказательство верхней оценки константы $\mathcal{L}^{*}(\alpha,p)$ основано на
оценке норм воспроизводящего ядра подпространства $\mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$
и мультипликативном неравенстве для константы Никольского. Для получения нижней
асимптотической оценки мы рассматриваем нормированную функцию Бесселя
$j_{\nu}\in \mathcal{E}_{p,\alpha}^{1}$ порядка $\nu\sim (2\alpha+2)/p$.

Об авторах

Дмитрий Викторович Горбачёв
Тульский государственный университет
Россия


Николай Николаевич Добровольский
Тульский государственного университет
Россия


Список литературы

1. Achieser~N.,N. Theory of Approximation. New York: Dover, 2004.

2. Andersen~N.,B., de~Jeu~M. Elementary proofs of Paley--Wiener theorems for theDunkl transform on the real line // Int. Math. Res. Notices. 2005. Vol.~2005,no.~30. P.~1817--1831.

3. Arestov~V.,V. Inequality of different metrics for trigonometric polynomials //Math. Notes. 1980. Vol.~27, no.~4. P.~265--269.https://doi.org/10.1007/BF01140526bibitem{ABDH18}Arestov~V., Babenko~A., Deikalova~M., Horv'ath~'A. Nikol'skii inequalitybetween the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entirefunctions of exponential type on the half-Line // Anal. Math. 2018. Vol.~44,no.~1. P.~21--42. https://doi.org/10.1007/s10476-018-0103-6

4. Bateman~G., Erd'elyi~A., et al. Higher Transcendental Functions. Vol.~II.McGraw Hill Book Company, New York, 1953.bibitem{DGT18}Dai~F., Gorbachev~D., Tikhonov~S. Nikolskii constants for polynomials on theunit sphere // J. d'Analyse Math. 2018 (in press); arXiv:1708.09837.

5. Gorbachev~D.,V. Extremum problems for entire functions of exponentialspherical type // Math. Notes. 2000. Vol.~68, no.~2. P.~159--166.

6. Gorbachev~D.,V. An integral problem of Konyagin and the $(C,L)$-constants ofNikol'skii // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Vol.~2. P.~S117--S138.bibitem{GIT18}Gorbachev~D.,V., Ivanov~V.,I., Tikhonov~S.,Y. Positive $L^{p}$-boundedDunkl-type ge-ne-ra-lized translation operator and its applications // Constr.Approx. 2018. P.~1--51. https://doi.org/10.1007/s00365-018-9435-5

7. Ibragimov~I.,I., Dzhafarov~A.,S. Some inequalities for an entire function offinite degree and its derivatives // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1961. Vol.~138,no.~4. P.~755--758.bibitem{LSI11}Li~I.,P., Su~C.,M., Ivanov~V.,I. Some problems of approximation theory inthe spaces $L_{p}$ on the line with power weight // Math. Notes. 2011. Vol.~90,no.~3. P.~344--364. https://doi.org/10.1134/S0001434611090045

8. Nessel~R., Wilmes~G. Nikolskii-type inequalities for trigonometric polynomialsand entire functions of exponential type // J.~Austral. Math. Soc. 1978.Vol.~25, no.~1. P.~7--18.

9. Nikolskii~S.,M. Approximation of functions of several variables and imbeddingtheorems. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1975.

10. Platonov~S.,S. Bessel harmonic analysis and approximation of functions on thehalf-line // Izvestiya: Math. 2007. Vol.~71, no.~5. P.~1001--1048.

11. R"osler~M. Dunkl Operators: Theory and Applications // Lecture Notes in Math.Berlin: Springer. 2003. Vol.~1817. P.~93--135.

12. Stempak~K. A~weighted uniform $L^p$-estimate of Bessel functions: a note on apaper of K.~Guo: ``A~uniform $L^p$ estimate of Bessel functions anddistributions supported on $S^{n-1}$'' // Proc. Amer. Math. Soc. 2000.Vol.~128, no.~10. P.~2943--2945.


Для цитирования:


Горбачёв Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$. Чебышевский сборник. 2018;19(2):67-79. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79

For citation:


Gorbachev D.V., Dobrovolskii N.N. Nikolskii constants in $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$ spaces. Chebyshevskii Sbornik. 2018;19(2):67-79. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79

Просмотров: 116


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)