Статья посвящена юбилею Александра Васильевича Михалёва, признанного специалиста в области математики и информатики. Он внес значительный вклад в развитие советской и российской науки, создал одну из крупнейших научных математических школ.
Более ста его учеников стали кандидатами и докторами физико-математических наук, активно работают в системе высшего образования, проводят научные исследования, занимают высокие административные должности.
Александр Васильевич опубликовал около 500 работ, среди которых научные и обзорные статьи, монографии, учебники и учебные пособия, перевел на русский язык несколько
фундаментальных научных монографий. В статье дана краткая характеристика его крупных научных достижений, представлен список избранных публикаций.

Статья посвящена 70-летнему юбилею Алексея Львовича Семенова, видного российского математика и деятеля российского образования. В статье приведены биографические сведения и дан обзор профессиональной деятельности академика РАН и РАО А. Л. Семенова – как в области математики и теоретической информатики, так и в других важных областях деятельности А. Л. Семенова: поддержки и развития школьного математического образования, исследования проблем цифровой трансформации образования, обновления содержания образования в начальной и средней школе, а также профессионального педагогического образования.

Рассмотрена задача реконструкции слов из конечного алфавита по частичной информации при дополнительных ограничениях на допустимые слова.
А именно, ставится задача о восстановлении периодического слова по мультимножеству его подслов одной длины.
Для некоторых видов частичной информации и ограничений получены условия однозначной реконструкции.
Показано, что периодическое слово с периодом $$p$$ однозначно определяется мультимножеством его подпоследовательностей длины $$k \geq \left\lfloor\frac{16}{7} \sqrt{p}\right\rfloor + 5$$.
Для слова, состоящего из непериодического префикса длины $$q$$ и периодического суффикса с периодом $$p$$, повторяющегося $$l$$ раз, получена аналогичная оценка $$k \geq \left\lfloor\frac{16}{7} \sqrt{P}\right\rfloor + 5$$ при условии $$l \geq q^{\left\lfloor\tfrac{16}{7} \sqrt{P}\right\rfloor + 5}$$, где $$P = \max(p, q)$$.

В статье продолжены исследования по обобщению и уточнению результата Р. Т. Турганалиева по выводу асимптотической формулы для среднего значения дзета-функции Римана в критической полосе с остаточным членом, имеющим степенное понижение. Нами найдена асимптотика среднего значения L-функции Дирихле в критической полосе, которая уточняет теорему Р. Т. Турганалиева о дзета-функции при всех значениях действительной части $$(1/2 < Re 𝑠 ≤ 1)$$. Этот результат получен за счет другого использования оценок тригонометрических сумм на основе второй производной в экспоненте

В работе рассматривается задача построения распадающихся кривых степени 8 с сомножителями степеней 3 и 5. Для этого применяется модификация метода кусочного конструирования Виро, предложенная Штурмфельсом. Построены 29 попарно различных кривых

Надежность увеличивает свою ценность в развитии механического и промышленного мира за счет включения механизма ремонта, доступности и возможности изготовления машин с различной рабочей мощностью в любых условиях. Настоящая статья представляет собой инициативу, предпринятую с механической системой, работающей с единым сервером ремонта для различного характера отказов и услуг. Стратегия пассивной резервной машины используется для поддержания надежности системы на удовлетворительном уровне. Процесс проверки включен для фильтрации машин в зависимости от их неисправности или уровня ремонтных услуг. Вычисленные числовые и графические данные оказались полезными для выяснения поведения прибыли и надежности при увеличении / уменьшении скорости механизма ремонта и интенсивности отказов. Политика предпочтений была инициирована для регулярных сбоев или сбоев, требующих обычных затрат наобслуживание и периода времени, чем основные, чтобы избежать времени ожидания для обычного клиента

Мультистабильные системы и их динамические свойства являются интересными темами в нелинейной динамике. Небольшие различия в начальных условиях (например, из-за ошибок округления при численных вычислениях) приводят к принципиально разным результатам для таких динамических систем, что делает долгосрочное предсказание их поведения практически невозможным. Это происходит, даже если такие системы являются детерминированными, то есть их будущее поведение полностью определяется выбором начальных условий без участия случайных элементов. Другими словами, детерминированная природа этих систем не делает их предсказуемыми. Поведение решений динамической системы зависит как от выбора их начальных условий, так и от значений входящих в систему параметров.  Сосуществование нескольких аттракторов, или мультистабильность, соответствует одновременному существованию более одного нетривиального аттрактора
для одного и того же набора параметров системы. Это явление было обнаружено почти во всех естественных науках, включая электронику, оптику, биологию. В последние годы усилия многих исследователей были направлены на создание так называемых мегастабильных систем, то есть систем, которые при постоянных значениях входящих в них параметров имеют счетное число сосуществующих аттракторов. Интерес к подобным системам обусловлен широким спектром их прикладного использования, например, для скрытия информации в системах коммуникаций и аудиосхемах шифрования, биомедицинской
инженерии, нечетком управлении. В статье предлагаются методы синтезирования мегастабильных систем с использованием систем в форме Лурье. Мегастабильные системы, содержащие 1-D решетку хаотических аттракторов, удается получить, заменяя нелинейность в исходной системе на периодическую функцию. Путем замены на периодические функции некоторых переменных в исходной системе порядка n удается построить мегастабильную систему, содержащую n-D решетку хаотических аттракторов. В качестве одного из примеров в работе впервые построена система четвертого порядка с 4-D решеткой хаотических аттракторов. Вычисляются показатели Ляпунова и размерность Каплана-Йорке аттракторов, принадлежащих решеткам

Начиная с основополагающей заметки, опубликованной М. Сомосом в 1989 году, большое внимание специалистов по теории чисел и смежных областей привлекают нелинейные
последовательности, удовлетворяющие квадратичному рекуррентному соотношению. При этом особое внимание уделяется вопросам построения целочисленных  последовательностей Сомоса и их лорановости относительно начальных значений и коэффициентов рекур рентного соотношения. В фундаментальных работах Робинсона, Фомина и Зелевинского
была доказана лорановость последовательности Сомос-k при k = 4, 5, 6, 7. В работах Хона были найдены представления для числовых последовательностей Сомос-4, 5 через сигма-
функцию Вейерштрасса на эллиптических кривых, а при k = 6 — через значения сигма функции Клейна на гиперэллиптических кривых рода 2. Следует также отметить, что последовательности Сомоса естественным образом возникают при построении криптосистем на эллиптических и гиперэллиптических кривых над конечным полем. Это объясняется тем, что для вышеупомянутых последовательностей выполняются теоремы сложения, и они естественным образом возникают при вычислении кратных точек на эллиптических и гиперэллиптических кривых. При k = 4, 5, 6, 7 последовательности Сомоса представляют собой полиномы Лорана от k начальных переменных и обычные полиномы от коэффициентов рекуррентного соотношения. Поэтому эти полиномы Лорана можно записать в виде несократимой дроби с обычным полиномом в числителе с начальными значениями и коэффициентами в качестве переменных. При этом знаменатель записывается в виде монома от начальных переменных. С помощью тропических функций мы доказываем, что степени переменных вышеупомянутого монома представляются в виде квадратичных полиномов от порядкового номера элемента последовательности Сомоса, у которых свободные члены
представляют собой периодические последовательности рациональных чисел. При этом в каждом случае в явном виде указываются соответствующие полиномы и периоды их
свободных членов.

Скрытые каналы позволяют передавать информацию с использованием механизмов, изначально не предназначенных для передачи. В качестве примера можно рассмотреть процесс, в рамках которого передатчик передвигает своего персонажа в многопользовательской игре, кодируя информацию движениями, а приемник считывает сообщение, отслеживая перемещения. При этом в канале могут возникать ошибки, связанные с пропаданием персонажа из области видимости приемника и потерей сетевых пакетов. Естественным образом возникает задача организации надежного канала. В работе рассматривается
формальная модель канала частичного стирания,  описывающая процесс взаимодействия приемника и передатчика, вводится понятие корректности протокола передачи, формулируется и доказывается критериальное условие корректности протокола передатчика, а также строится оптимальное поведение приемника

Активное распространение интернета в начале 21 века привело к объединению большого количества людей на единых интернет-платформах, на которых стало возможным непосредственное взаимодействие пользователей и предпринимателей. Это послужило основой для возникновения нового способа привлечения финансирования в рискованные предпринимательские проекты и стартапы – краудфандинга. Постоянное совершенствование методов анализа данных позволяет более эффективно изучать краудфандинг и его последствия для мировой и национальной экономической системы. Результаты о структуре проектов, которые организуются предпринимателями на краудфандинговой платформе Кикстартер (Kickstarter) для финансирования и реализации своих уникальных идей, позволяют более глубоко понять каким образом необходимо совершенствовать отрасль краудфандинга, чтобы обеспечивать наиболее эффективное развитие инновационной деятельности и малого и среднего бизнеса. В связи с этим возникает вопрос, каким образом можно проводить анализ краудфандинговых проектов. В этой статье на примере прикладного исследования данных о более чем 100 тыс. состоявшихся раудфандинговых проектов будет показано, как можно использовать один из статистических методов анализа взаимосвязей между переменными – факторный анализ

Проблема разделимости дифференциальных операторов впервые рассмотрена в работах В. Н. Эверитта и М. Гирца. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К. Х. Бой-
матову, М.Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Нелинейный случай рассматривался в случае слабого возмущения линейного оператора. Случай, когда исследуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные результаты в данной работе также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного оператора Лапласа- Бельтрами в гильбертовом пространстве L2(R^n)

$$L[u]=-\frac{1}{\sqrt{det g(x)}}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\sqrt{det g(x)}g^{-1}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right]+V(x,u)u(x)$$, и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. Исследуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, т.е. является строго нелинейным. На основе полученных коэрцитивных оценок и разделимости изучалась разрешимость нелинейного уравнения Лапласа-Бельтрами в пространстве L2(R^n).

Пусть $$L_q(\mathfrak{M})$$ означает решетку всех подквазимногообразий квазимногообразия $$\mathfrak{M}$$ относительно включения. Существует глубокая взаимосвязь между свойствами решетки $$L_q(\mathfrak{M})$$ и алгебраических систем из $$\mathfrak{M}$$. Впервые на этот факт обратил внимание А.~И.~Мальцев в докладе на Международном конгрессе математиков в 1966 году в Москве. В данной работе получена характеризация класса всех дистрибутивных решеток, каждая из которых изоморфна решетке $$L_q (\mathfrak{M})$$ всех подквазимногообразий некоторого квазимногообразия унаров $$\mathfrak{M}$$.

Унаром называется алгебра с одной унарной операцией.
Очевидно, что любой унар можно рассматривать как автомат с одним входным сигналом без выходных сигналов, либо -- как полигон над циклической полугруппой. В работе построены частично упорядоченные множества $$P_{\infty}$$ и $$P_s (s\in{\bf N_0})$$, где $$ {\bf N_0} $$ означает множество всех неотрицательных целых чисел.  Далее доказано, что дистрибутивная решетка L изоморфна решетке $$L_q (\mathfrak{M})$$ для некоторого квазимногообразия унаров $$\mathfrak{M}$$  тогда и только тогда, когда она изоморфна некоторому главному идеалу одной из решеток $$O(P_s) (s\in{\bf N_0})$$ или $$O_c(P_{\infty})$$, где $$O(P_s) (s\in{\bf N_0})$$ -- решетка идеалов частично упорядоченного множества $$P_s (s\in{\bf N_0})$$ и $$O_c(P_{\infty})$$ -- решетка идеалов с выделенным элементом $$c$$ частично упорядоченного множества $$P_{\infty}$$.

Доказательство основной теоремы существенно опирается на описание Q-критических унаров. Конечно порожденная алгебра называется Q-критической, если она не разлагается в подпрямое произведение своих собственных подалгебр. Ранее было установлено, что каждое квазимногообразие унаров определяется своими Q-критическими унарами. Этот факт часто используется для исследования квазимногообразий унаров.

Подпрямо неразложимые универсальные алгебры, т.е. алгебры, неразложимые в нетривиальное подпрямое произведение алгебр, играют в математике важную роль благодаря хорошо известной теореме Биркгофа, утверждающей, что любая алгебра является подпрямым произведением подпрямо неразлодимых алгебр (в другой терминологии: любая алгебра аппроксимируется подпрямо неразложимыми алгебрами). В связи с этим кажется разумным исследовать классы алгебр с теми или иными ограничениями на подпрямо неразложимые алгебры. Одно из естественных ограничений – конечность всех подпрямо

неразложимых алгебр. Более сильное ограничение: порядки подпрямо неразложимых алгебр ограничены в совокупности.

Полигон над полугруппой (или автомат, или унарная алгебра) – множество, на котором действует данная полугруппа. Полигоны над фиксированной полугруппой образуют

многообразие, сигнатура которой совпадает с самой полугруппой. С другой стороны, это категория, морфизмы которой – гомоморфизмы одного полигона в другой.

Нетрудно видеть, что полугруппы, над которыми все подпрямо неразложимые полигоны конечны, – это в точности полугруппы, над которыми все полигоны финитно аппроксимируемы (в другой терминологии: резидуально конечны). Более узкий класс – полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются полигонами, содержашими не более, чем n элементов, где n – фиксированное натуральное число. В 2000 г. И.Б.Кожуховым было доказано, что все нетривиальные полигоны над полугруппой S аппроксимируются двухэлементными в том и только том случае, если S – полурешётка (коммутативная полугруппа идемпотентов). В работе И.Б.Кожухова и А.Р.Халиуллиной 2014 года было доказано, что всякая полугруппа с ограниченными в совокупности порядками подпрямо неразложимых полигонов является равномерно локально

конечной, т.е. для каждого k порядки k-порождённых подполугрупп ограничены в совокупности. В работе И.Б.Кожухова и А.В.Царёва 2019 года были полностью описаны абелевы группы, над которыми все полигоны финитно аппроксимируемы, а также абелевы группы, над которыми все полигоны аппроксимируются конечными, порядки которых ограничены в совокупности.

В настоящей работе характеризуются коммутативные полугруппы, над которыми все полигоны аппроксимируются полигонами, состоящими из не более, чем n элементов

Кольцом на абелевой группе G называется кольцо, аддитивная группа которого совпадает с G. Абелева группа G называется TI-группой, если любое ассоциативное кольцо на

G является филиальным. Если любое кольцо (ассоциативное кольцо) на абелевой группе G является SI-кольцом (гамильтоновым кольцом), то G называется SI-группой (SI_H-

группой). В работе описаны TI-группы, SI_H-группы, SI-группы в классах почти вполне разложимых групп, сепарабельных групп без кручения и неизмеримых векторных групп.

Кроме того, получено описание нередуцированных TI-групп, SI_H-групп и SI-групп, это сводит проблему исследования TI-групп к случаю редуцированных групп

В статье "Проективная геометрия над частично упорядоченными телами, II" продолжается исследование свойств частично упорядоченных линейных пространств над частично упорядоченными телами, начатое в части I <<Проективная геометрия над частично упорядоченными телами>>. Рассматриваются производные решетки, ассоциированных с частично упорядоченными линейными пространствами над частично упорядоченными телами. Более точно, исследуются свойства выпуклой проективной геометрии $${\cal L}$$ частично упорядоченного линейного пространства $${}_FV$$ над частично упорядоченным телом $$F$$. Под выпуклостью линейного подпространства  в линейном пространстве $${}_FV$$ понимается абелева выпуклость ( $$ab$$-выпуклость), опирающаяся на определение выпуклой подгруппы частично упорядоченной группы. Доказываются вторая и третья теоремы о порядковых изоморфизмах интерполяционных линейных пространств над частично упорядоченными телами. Получены некоторые результаты, касающиеся свойств главных линейных подпространств в интерполяционных линейных пространствах над направленными телами. Главным линейным подпространством $$I_a$$ частично упорядоченного линейного пространства $${}_FV$$ над частично упорядоченным телом $$F$$ является наименьшее $$ab$$-выпуклое направленное линейное подпространство линейного пространства $${}_FV$$, содержащее данный положительный элемент $$a\in V$$. Для главных линейных подпространств в интерполяционных линейных пространствах над направленными телами доказан аналог третьей теоремы о порядковых изоморфизмах пространств.

С помощью интегральных билинейных функционалов, определенных на паре пространств представления трехмерной лоренцовой группы или квадрате такого пространства, получены две формулы для функций Макдональда — частном случае цилиндрических функции, широко используемом в математике и приложениях

В статье проведено исследование возможности гомологического описания радикалов Джекобсона и локально нильпотентного для алгебр Ли, их связь с $$PI$$-неприводимо представленным радикалом, а также изучены некоторые свойства примитивных алгебр Ли. Доказывается аналог теоремы Ф. Кубо для почти локально разрешимых алгебр Ли с нулевым радикалом Джекобсона. Показано, что радикал Джекобсона специальной почти локально разрешимой алгебра Ли $$L$$ над полем $$F$$ характеристики нуль равен нулю тогда и только тогда, когда алгебра Ли $$L$$ имеет разложение Леви $$L=S\oplus Z(L)$$, где $$Z(L)$$ -- центр алгебры $$L$$, $$S$$ -- конечномерная подалгебра $$L$$ такая, что $$J(L)=0$$. Теорема Е. Маршалла обобщена на случай почти локально разрешимых алгебр Ли. Для произвольной специальной алгебры Ли $$L$$ показано включение $$IrrPI(L)\subset J(L)$$, которое в общем случае является строгим. Приведен пример алгебры Ли $$L$$, для которой выполнено строгое включение  $$J(L)\subset IrrPI(L)$$. Показано, что  для произвольной специальной алгебры Ли $$L$$
над полем $$F$$ характеристики нуль справедливо включение $$N(L)\subset IrrPI(L)$$, которое в общем случае является строгим. Показано, что большинство алгебр Ли над полем являются примитивными. Приведен пример абелевой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем не являющейся примитивной. Приведены примеры, показывающие, что бесконечномерные коммутативные алгебры Ли являются примитивными над любыми полями; конечномерная абелева алгебра, размерности больше 1, над алгебраически замкнутым полем не является примитивной; пример неартиновой некоммутативной алгебры Ли являющейся примитивной.  Показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль $$PI$$-неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым. Даются достаточные условия примитивности алгебры Ли, приводятся примеры примитивных алгебр Ли и алгебры Ли не являющейся примитивной.

В этой статье мы начнем с обсуждения исторического общего вида нашего проекта, а затем попытаемся построить новую скобку Пуассона на нашем простейшем примере 𝑠𝑙2, а затем попытаемся дать универсальную конструкцию на основе наших универсальных переменных, а затем постараемся построить решеточные 𝑊2-алгебры, которые будут играть
ключевую роль в других наших конструкциях на решетчатых 𝑊3-алгебрах, и, наконец, мы попытаемся найти единственный нетривиальный зависимый генератор наших решеточных 𝑊4-алгебр и т. д. для решетки 𝑊𝑛-алгебры.

Рассматриваются частичные алгебры, у которых каждое отношение эквивалентности является конгруэнцией. Вопрос о характеризации таких частичных алгебр может быть
сведён к вопросу о характеризации частичных 𝑛-арных группоидов с тем же условием. В работе используется понятие умеренно частичной операции. Приводится характеристика умеренно частичных операций, сохраняющих любое отношение эквивалентности на заданном множестве.
Пусть 𝐴 – непустое множество, 𝑓 – умеренно частичная операция, заданная на 𝐴 (т.е. если зафиксировать все аргументы частичной операции 𝑓, кроме какого-то одного, то
получится частичная операция 𝜙, у которой область определения dom 𝜙 удовлетворяет условию |dom 𝜙| > 3), и любое отношение эквивалентности на множестве 𝐴 стабильно относительно 𝑓 (иначе говоря, решётка конгруэнций частичной алгебры (𝐴, {𝑓}) совпадает
с решёткой отношений эквивалентности на множестве 𝐴). В работе доказано, что в таком случае 𝑓 можно продолжить до некоторой полной операции 𝑔, также заданной на множестве 𝐴, которая тоже сохраняет любое отношение эквивалентности на 𝐴. Более того, если 𝑓 – конечноарная частичная операция, то либо 𝑓 – частичная константа (т.е. 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) для всех 𝑥, 𝑦 ∈ dom 𝑓), либо 𝑓 – частичная проекция (существует индекс 𝑖 такой, что для любого кортежа 𝑥 = (𝑥1, ..., 𝑥𝑛) ∈ dom 𝑓 выполяется условие 𝑓(𝑥1, ..., 𝑥𝑖, ..., 𝑥𝑛) = 𝑥𝑖)

В статье представлены результаты и открытые проблемы, относящиеся к пространствам определимости (редуктам), а также источникам этой области, начиная с XIX века. Исследуются условия конечности и ограничения, в том числе глубина чередования кванторов и число аргументов. Описаны результаты, относящиеся к описанию решеток
пространств определимости для числовых и других естественных структур. Методы исследования включают изучение групп автоморфизмов элементарных расширений рассматриваемых структур, использование теоремы Свенониуса

В статье рассматриваются многомерные несобственные интегралы от функций, являющихся произведением обобщенных многочленов в некоторых степенях. Такие интегралы встречаются во многих разделах математики и теоретической физики. В частности, к ним относятся интегралы Фейнмана, возникающие при изучении различных объектов квантовой теории поля. Точное вычисление этих интегралов является сложной и не всегда возможной задачей, поэтому определение условий их сходимости и получение их асимптотического разложения по одному из параметров представляет значительный практический
интерес. Условия сходимости рассмотренных в работе интегралов ещё могут быть использованы, например, при исследовании кратных рядов, представляющих сумму значений рациональной функции в узлах целочисленной решетки.
В статье рассмотрена задача, когда областью интегрирования является Rn+, а обобщенные многочлены, входящие в подынтегральную функцию, либо положительны всюду,
кроме нуля, либо имеют положительные коэффициенты. Описано множество сходимости этих интегралов и доказана равносильность условия сходимости условию на многогранники Ньютона многочленов в подынтегральных функциях.
Доказанный в работе критерий сходимости совпадает по формулировке с соответствующим результатом работ А. К. Циха и Т. О. Ермолаевой, но он получен другими методами
и для немного более широкого множества подынтегральных функций.
Доказательства утверждений в работе основаны на простейших свойствах выпуклых многогранников и базовых фактах из теории несобственных кратных интегралов

Одной из основных проблем для полуабелевых 𝑛-групп является нахождение полуабелевых 𝑛-групп, которые изоморфны 𝑛-группам гомоморфизмов из некоторых 𝑛-групп
в полуабелеву 𝑛-группу. Такие 𝑛-группы найдены для бесконечных полуциклических 𝑛-групп.
Известно, что множество 𝐻𝑜𝑚(𝐺,𝐶) всех гомоморфизмов из 𝑛-группы ⟨𝐺, 𝑓1⟩ в полу-абелеву (абелеву) 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ с 𝑛-арной операцией 𝑔, заданной по правилу
𝑔(𝜙1, . . . , 𝜙𝑛)(𝑥) = 𝑓2(𝜙1(𝑥), . . . , 𝜙𝑛(𝑥)), 𝑥 ∈ 𝐺,
образует полуабелеву (абелеву) 𝑛-группу. Доказано, что изоморфизмы 𝜓1 𝑛-групп ⟨𝐺, 𝑓1⟩ и ⟨𝐺′, 𝑓′1 ⟩ и 𝜓2 полуабелевых 𝑛-групп ⟨𝐶, 𝑓2⟩ и ⟨𝐶′, 𝑓′2⟩ индуцируют изоморфизм 𝜏 𝑛-групп гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝐺,𝐶), 𝑔⟩ и ⟨𝐻𝑜𝑚(𝐺′,𝐶′), 𝑔′⟩, который действует по правилу
𝜏 : 𝛼 → 𝜓2 ∘ 𝛼 ∘ 𝜓−1
1 . На аддитивной группе целых чисел 𝑍 строим абелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓1⟩ с 𝑛-арной операцией 𝑓1(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 𝑙, где 𝑙 — любое целое число. На 𝑍 строим также
полуабелеву (не абелеву) 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓′1⟩ для 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁, с 𝑛-арной операцией 𝑓′ 1 (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 − 𝑧2 + . . . + 𝑧2𝑘−1 − 𝑧2𝑘 + 𝑧2𝑘+1. Известно, что любая бесконечная полу-
циклическая 𝑛-группа изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓1⟩, где 0 ≤ 𝑙 ≤ [𝑛−1 2 ], либо 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓′ 1⟩
для нечетных 𝑛. В первом случае будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (∞, 1, 𝑙), а во втором случае — имеет тип (∞,−1, 0).
При изучении 𝑛-группы гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝑍,𝐶), 𝑔⟩ из бесконечной абелевой полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓1⟩ (0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛−1 2 ) в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ строим на
𝑛-группе ⟨𝐶, 𝑓2⟩ абелеву группу 𝐶 с операцией сложение 𝑎+𝑏 = 𝑓2(𝑎, (𝑛−3) 𝑐 , ¯𝑐, 𝑏), в которой имеются элемент 𝑑2 = 𝑓2(
(𝑛) 𝑐 ) и автоморфизм 𝜙2(𝑥) = 𝑓2(𝑐, 𝑥, (𝑛−3)
𝑐 , ¯𝑐). Выбираем множество 𝑃1 таких упорядоченных пар (𝑎, 𝑢) элементов из 𝐶, которые удовлетворяют равенству 𝑙𝑎 = 𝑑2+∼𝜙2(𝑢), где ∼𝜙2(𝑥) = 𝑥+𝜙2(𝑥)+. . .+𝜙𝑛−2 2 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐶 — эндоморфизм группы 𝐶, а для первой компоненты этих пар верно равенство 𝜙2(𝑎) = 𝑎. На этом множестве определим
𝑛-арную операцию ℎ1 по правилу ℎ1((𝑎1, 𝑢1), . . . , (𝑎𝑛, 𝑢𝑛)) = (𝑎1 + . . . + 𝑎𝑛, 𝑓2(𝑢1, . . . , 𝑢𝑛)).
Доказано, что ⟨𝑃1, ℎ1⟩ — полуабелева 𝑛-группа, которая изоморфна 𝑛-группе гомоморфизмов из бесконечной абелевой полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓1⟩ (0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛−1
2 ) в 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм 𝑛-группы ⟨𝑃1, ℎ1⟩ и 𝑛-группы
гомоморфизмов из бесконечной абелевой полуциклической 𝑛-группы типа (∞, 1, 𝑙) в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩.
При изучении 𝑛-группы гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝑍,𝐶), 𝑔⟩ из бесконечной полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓′1⟩ в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ в абелевой группе 𝐶 выбираем подгруппу 𝐻 = {𝑎 ∈ 𝐶 | 𝜙2(𝑎) = −𝑎}. На 𝐻 определим полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐻, ℎ⟩, где ℎ действует по правилу ℎ(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛) = 𝑎1 + 𝜙2(𝑎2) + . . . + 𝜙𝑛−2 2 (𝑎𝑛−1) + 𝑎𝑛. Затем в 𝑛-группе ⟨𝐶, 𝑓2⟩ выбираем подгруппу ⟨𝑇, 𝑓2⟩ всех идемпотентов, если 𝑇 ̸= ∅. Доказано, что для нечетного числа 𝑛 > 1 декартово произведение полуабелевых 𝑛-групп ⟨𝐻, ℎ⟩ × ⟨𝑇, 𝑓2⟩ изоморфно 𝑛-группе гомоморфизмов из бесконечной полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓′ 1 ⟩ в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ с не пустым множеством идемпотентов 𝑇. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм 𝑛-группы ⟨𝐻, ℎ⟩ × ⟨𝑇, 𝑓2⟩ и 𝑛-группы гомоморфизмов из бесконечной полуциклической 𝑛-группы типа (∞,−1, 0) в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩. Аналогичные факты получены при изучении 𝑛-группы гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝑍,𝐶), 𝑔⟩ из 𝑛-групп ⟨𝑍, 𝑓1⟩ и ⟨𝑍, 𝑓′1⟩ в абелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩

Одной из основных проблем для полуабелевых 𝑛-групп является нахождение (𝑛, 2)- почтиколец, которые изоморфны (𝑛, 2)-почтикольцам эндоморфизмов некоторых полуабелевых 𝑛-групп. Такие (𝑛, 2)-почтикольца найдены для полуциклических 𝑛-групп.
На аддитивной группе целых чисел 𝑍 строим абелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓1⟩ с 𝑛-арной операцией 𝑓1(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +. . .+𝑧𝑛 +𝑙, где 𝑙 — любое целое число. Для не тождественного автоморфизма 𝜙(𝑧) = −𝑧 на 𝑍 можно задать полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓2⟩ для 𝑛 = 2𝑘 +1, 𝑘 ∈ 𝑁, с 𝑛-арной операцией 𝑓2(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 − 𝑧2 + . . . + 𝑧2𝑘−1 − 𝑧2𝑘 + 𝑧2𝑘+1. Любая
бесконечная полуциклическая 𝑛-группа изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓1⟩, где 0 ≤ 𝑙 ≤ [𝑛−1/2 ], либо 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓2⟩ для нечетных 𝑛. В первом случае будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (∞, 1, 𝑙), а во втором случае — имеет тип (∞,−1, 0).
В 𝑍 выделим множество 𝑃 = {𝑚|𝑚𝑙 ≡ 𝑙 (mod 𝑛 − 1)} и на нем определим 𝑛-арную операцию ℎ по правилу ℎ(𝑚1, . . . ,𝑚𝑛) = 𝑚1 + . . . + 𝑚𝑛. Тогда алгебра ⟨𝑃, ℎ, ·⟩, где · — умножение целых чисел, будет (𝑛, 2)-кольцом. Доказано, что ⟨𝑃, ℎ, ·⟩ изоморфно (𝑛, 2)- кольцу эндоморфизмов полуциклической 𝑛-группы типа (∞, 1, 𝑙).

В 𝑛-группе ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ⟩ = ⟨𝑍, 𝑓2⟩ × ⟨𝑍, 𝑓2⟩ определим бинарную операцию ◇ по правилу (𝑚1, 𝑢1) ◇ (𝑚2, 𝑢2) = (𝑚1𝑚2,𝑚1𝑢2 + 𝑢1). Тогда ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ, ◇⟩ будет (𝑛, 2)-почтикольцом. Доказано, что ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ, ◇⟩ изоморфно (𝑛, 2)-почтикольцу эндоморфизмов полуциклической
𝑛-группы типа (∞,−1, 0). Доказано, что (𝑛, 2)-кольцо ⟨𝑍, 𝑓, *⟩, где 𝑓(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 1 и 𝑧1 * 𝑧2= 𝑧1𝑧2(𝑛−1)+𝑧1 +𝑧2, изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов бесконечной циклической 𝑛-группы.
На аддитивной группе кольца классов вычетов 𝑍𝑘 определим 𝑛-группу ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, где 𝑛- арная операция 𝑓3 действует по правилу 𝑓3(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +𝑚𝑧2 +. . .+𝑚𝑛−2𝑧𝑛−1 +𝑧𝑛 +𝑙, 1 ≤ 𝑚 < 𝑘 и 𝑚 взаимно прост с 𝑘. Кроме того, 𝑚 удовлетворяет сравнению 𝑙𝑚 ≡ 𝑙(mod 𝑘) и показатель числа 𝑚 по модулю 𝑘 делит 𝑛−1. Любая конечная полуциклическая 𝑛-группа порядка 𝑘 изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, где 𝑙 | НОД (𝑛 − 1, 𝑘) при 𝑚 = 1 и
𝑙 | НОД (𝑚𝑛−1−1/𝑚−1 , 𝑘) при 𝑚 ̸= 1. Будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (𝑘, 𝑚, 𝑙).
В 𝑛-группе ⟨𝑃, ℎ⟩ = ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩×⟨𝑍𝑙, 𝑓4⟩, где 𝑓4(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +𝑟𝑧2 +. . .+𝑟𝑛−2𝑧𝑛−1 +𝑧𝑛, 𝑟 — остаток от деления 𝑚 на 𝑙, определим бинарную операцию ◇ по правилу (𝑢1, 𝑣1) ◇ (𝑢2, 𝑣2) = (𝑢2𝑠1 + 𝑢1, 𝑣2𝑠1 + 𝑣1)
где 𝑠1 ∈ 𝑍𝑘 и 𝑠1−1 = 𝑠0+𝑣1/𝑘/𝑙 , где 𝑠0 — решение сравнения 𝑥 ≡ (𝑛−1)𝑢1
𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) при 𝑚 = 1
и 𝑥 ≡𝑚𝑛−1−1/𝑚−1 𝑢1/𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) при 𝑚 ̸= 1. Доказано, что алгебра ⟨𝑃, ℎ, ◇⟩ будет (𝑛, 2)-кольцом при 𝑚 = 1 и (𝑛, 2)-почтикольцом при 𝑚 ̸= 1, которое изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов абелевой полуциклической 𝑛-группы типа (𝑘, 1, 𝑙) при 𝑚 = 1 и (𝑛, 2)-почтикольцу
эндоморфизмов полуциклической 𝑛-группы типа (𝑘, 𝑚, 𝑙) при 𝑚 ̸= 1.
Доказано, что (𝑛, 2)-кольцо ⟨𝑍𝑘, 𝑓, *⟩, где 𝑓(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 1 и 𝑢1 * 𝑢2== 𝑢1 · 𝑢2 · (𝑛−1)+𝑢1 +𝑢2, изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов конечной циклической 𝑛-группы порядка 𝑘.

В работе предлагается развитие математического вариационного метода Хашина- Штрикмана, который применялся ранее для определения вилки возможных значений эффективных упругих характеристик. В этом случае определяются эффективные характеристики пластичности двухкомпонентных композитов. В частности, определена вилка возможных значений эффективного предела текучести таких композиционных материалов

В работе приведены результаты исследования процесса трения скольжения пористого материала на основе железа, пропитанного смазочным маслом с дисперсными частицами
фторированного графена. Установлено, что закономерности кинетики внешнего трения скольжения имеют сигмоидальный и сигмоидально-линейный характер. Получены экспериментальные результаты, показывающие, что с увеличением концентрации агрегатов из чешуек фторированного графена в смазочном масле средняя сила и коэффициент трения снижаются, при этом наблюдается хороший антифрикционный эффект.

В работе приведены результаты исследования процессов трения скольжения пористого материала на основе меди, пропитанного смазочным маслом с дисперсными частицами
фторированного графена. Установлены математические закономерности изменения характеристик фрикционного взаимодействия. Показано, что закономерности изменения средней силы трения имеют сигмоидально-ступенчатый характер. Получены экспериментальные результаты, показывающие, что с увеличением концентрации агрегатов из чешуек фторированного графена в смазочном масле средняя сила трения и коэффициент трения снижаются, при этом наблюдается хороший антифрикционный эффект. Показано, что средняя работа силы трения, а соответственно и энергетические потери на трение, при добавлении в смазочное масло 0,01% агрегатов из чешуек фторированного графена уменьшается на 3721 Дж, а при добавлении 0,1% — на 4098 Дж. Установлено, что средний коэффициент трения при добавлении в смазочное масло 0,01% агрегатов из чешуек фторированного графена уменьшается на 27%, а при добавлении 0,1% — на 30%.

Жизнь и творчество выдающегося русского математика Николая Николаевича Лузина (1883 – 1950) пришлись на очень сложный период российской истории: две мировые
войны, революции 1917 г. , гражданская война, строительство государства нового типа – Союза Советских Социалистических Республик, сопровождавшееся массовым террором, затронувшим все без исключения слои советского общества. На фоне этих драматических событий происходил процесс становления и расцвета Лузина-учёного, создателя одной из ведущих математических школ ХХ столетия – Московской школы теории функций, ставшей одним из краеугольных камней в фундаменте Советской математической школы. В творчестве Лузина выделяются два периода – первый, посвящённый проблемам метриче-
ской теории функций, завершившийся его знаменитой диссертацией «Интеграл и тригонометрический ряд» (1915), и второй, посвящённый преимущественно разработке проблем
теории аналитических множеств. В подтексте лузинских исследований стояла проблема структуры арифметического континуума, ставшая сверхзадачей его творчества

статье исследуются причины, по которым «математические спецшколы» («матшколы») в одной из своих устойчиво воспроизводимых моделей стали важнейшим и очень про-
дуктивным явлением в российском образовании последних десятилетий. Дается краткое описание современной модели результативного образования, восходящего к сложившейся
традиции преподавания в матшколах. Анализируются условия построения воспроизводимой модели результативного образования не только для специализированного обучения математике, но и для других областей российского общего образования. Описываются
источники традиции матшкол: практическая ориентация традиционной школы, занимательная математика, математические кружки и олимпиады. Указываются также истоки результативного образования в уровневой дифференциации

Описывается история развития топологического образования в Нижнем Новгороде – от первой лекции по топологии для школьников, прочитанной в 1939 г. профессором А.Г.
Майером, до наcтоящего времени. Необходимость знания топологии для дальнейших исследований первыми в Нижнем Новгороде поняли представители школы академика А.А.
Андронова по теории нелинейных колебаний и качественной теории дифференциальных уравнений. Важным моментом была организованная С.И. Альбером в 1964 г. Горьковская
топологическая школа, в которой приняли участие многие выдающиеся математики (Д.В. Аносов, М.Л. Громов, С.П. Новиков, Я.Г. Синай и др.) Однако «мотором» внедрения то-
пологии в учебный процесс стал специалист по вещественной алгебраической геометрии профессор Д.А. Гудков. Эта его деятельность проходила в тесном сотрудничестве с ленинградским профессором В.А. Рохлиным и его учениками О.Я. Виро и В.М. Харламовым

В статье рассматривается задача дифракции цилиндрических монохроматических звуковых волн на однородном упругом цилиндре с радиально-неоднородным упругим покрытием. Полагается, что тело находится в безграничном пространстве, заполненном идеальной жидкостью. Получено аналитическое решение задачи. Волновые поля в содержащей среде и однородном упругом цилиндре находятся в виде разложений по волновым цилиндрическим функциям, а для нахождения поля смещения
в неоднородном покрытии построена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Проведены численные расчеты угловых и частотных характеристик рассеянного поля для упругих цилиндров с однородными и неоднородными покрытиями. Выявлено существенное влияние непрерывно-неоднородных упругих покрытий на звукоотражающие свойства упругих цилиндрических тел.

Приводятся основные уравнения и определяющие соотношения, определяющие напряженно-деформированное пластическое состояние металлических материалов с учетом их физико-структурных параметров. Подход к формулировке определяющих соотношений
основывается на включении в число критериальных, наряду с традиционными макромеханическими, физико-структурных параметров. К ним относится, в первую очередь, па-
раметр повреждаемости материала дефектами деформационного происхождения. На основе экспериментов установлена связь между напряжением, необходимым для движения заблокированной дислокации, и мерой повреждаемости деформационными микродефектами, необходимая для определения предела текучести и, далее, эволюции поверхности нагружения с учетом влияющих на нее факторов. Проведенные опыты по двухэтапному
растяжению образцов из сплава AlMg3 показали существенное влияние деформационной повреждаемости на напряженное состояние.

35 лет назад в школах Советского Союза появился новый предмет информатика. Сегодня считается, что это было знаковым событием, которое впоследствии изменило всю
систему образования. Но путь его в школу был непростым и достаточно длительным.
Проведен анализ, какие науки сформировали методологическую основу информатики, какие концепции определили ее содержание, и кто из ученых стоял у ее истоков. Рассмотрено, какие факторы оказали влияние на содержание первого учебника информатики и
последующих, как зарождалась отечественная информатизация образования, как создавалась новая педагогическая специальность «учитель информатики». Отмечено, труды каких ученых, авторских и научных коллективов легли в основу современной теории и методики обучения информатики и информатизации образования. Показано, как менялось содержание предмета, какие факторы оказывали влияние, а также, какие проблемы стоят
перед школьной информатикой и в каком направлении произойдет ее трансформация в ближайшем будущем.

В основу данной статьи лёг доклад, сделанный В. Н. Чубариковым на Международной научно-практической конференции «Информатизация образования — 2020» в городе Орле, 26–30 октября, 2020 года. Конференция была посвящена 115-летию со дня рождения патриарха российского образования, великого педагога и математика, академика РАН С. М. Никольского (1905-2012 гг.). Мероприятие проведено Академией Информатизации
образования и Орловским государственным университетом им. И. С. Тургенева при финансовой поддержке РФФИ.
В статье рассмотрены разные аспекты информатизации общества прежде всего с точки зрения математиков и ученых, связанных с различными направлениями использования достижений компьютерной техники и компьютерных технологий.
В краткой форме обсуждены следующие вопросы: 1. Программирование — основа информатики; 2. Модели вычислительных систем, компьютеры, языки программирования;
3. Системы искусственного интеллекта; 4. Что такое TeX и LaTeX? 5. Сложность вычислений; 6. Поиск литературы по информатике; 7. Научная школа Альберта Рубеновича
Есаяна и информатика в ТГПУ им. Л. Н. Толстого.
Статья посвящена памяти выдающегося математика и педагога, профессора Альберта Рубеновича Есаяна. 50 лет его работы в Тульском государственном педагогическом
университете им. Л. Н. Толстого были посвящены внедрению в педагогический процесс подготовки учителей математики и информатики передовых подходов в области преподавания математики. Он внёс существенный вклад в разработку практических подходов в преподавании информатики в педагогических вузах.

Пусть 𝑃(𝑛) – многочлен, коэффициент при старшей степени которого иррациональное число. Пусть слово 𝑤 (𝑤 = (𝑤𝑛), 𝑛 ∈ N) состоит из последовательности первых двоичных
цифр {𝑃(𝑛)} т.е. 𝑤𝑛 = [2{𝑃(𝑛)}]. Обозначим через 𝑇(𝑘) число различных подслов длины 𝑘 слова 𝑤. Основной результат данной работы заключается в следующем:

Теорема. Существует многочлен 𝑄(𝑘), зависящий только от степени многочлена 𝑃, такой, что при достаточно больших 𝑘 выполнено равенство 𝑇(𝑘) = 𝑄(𝑘).

В статье излагается подход к построению формальной модели информационной безопасности, основанный на использовании алгебры предикатов. Модель представляется в виде дерева решений. Разработан и исследован алгоритм его построения, основанный на использовании дедуктивного метода поиска ответов.

Подгруппа 𝐴 группы 𝐺 называется tcc-подгруппой в 𝐺, если существует подгруппа 𝑇 группы 𝐺 такая, что 𝐺 = 𝐴𝑇 и для любого 𝑋 6 𝐴 и 𝑌 6 𝑇 существует элемент 𝑢 ∈ ⟨𝑋, 𝑌 ⟩ такой, что 𝑋𝑌 𝑢 ≤ 𝐺. Запись 𝐻 6 𝐺 означает, что 𝐻 является подгруппой
группы 𝐺. В этой статье мы исследуем группу 𝐺 = 𝐴𝐵 при условии, что 𝐴 и 𝐵 являются tcc-подгруппами в 𝐺. Доказано, что такая группа 𝐺 принадлежит F, если подгруппы 𝐴 и
𝐵 принадлежат F, где F — насыщенная формация такая, что U ⊆ F. Здесь U — формация всех сверхразрешимых групп.