Гомоморфизмы из бесконечных полуциклических n-групп в полуабелеву n-группу

Одной из основных проблем для полуабелевых 𝑛-групп является нахождение полуабелевых 𝑛-групп, которые изоморфны 𝑛-группам гомоморфизмов из некоторых 𝑛-групп
в полуабелеву 𝑛-группу. Такие 𝑛-группы найдены для бесконечных полуциклических 𝑛-групп.
Известно, что множество 𝐻𝑜𝑚(𝐺,𝐶) всех гомоморфизмов из 𝑛-группы ⟨𝐺, 𝑓1⟩ в полу-абелеву (абелеву) 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ с 𝑛-арной операцией 𝑔, заданной по правилу
𝑔(𝜙1, . . . , 𝜙𝑛)(𝑥) = 𝑓2(𝜙1(𝑥), . . . , 𝜙𝑛(𝑥)), 𝑥 ∈ 𝐺,
образует полуабелеву (абелеву) 𝑛-группу. Доказано, что изоморфизмы 𝜓1 𝑛-групп ⟨𝐺, 𝑓1⟩ и ⟨𝐺′, 𝑓′1 ⟩ и 𝜓2 полуабелевых 𝑛-групп ⟨𝐶, 𝑓2⟩ и ⟨𝐶′, 𝑓′2⟩ индуцируют изоморфизм 𝜏 𝑛-групп гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝐺,𝐶), 𝑔⟩ и ⟨𝐻𝑜𝑚(𝐺′,𝐶′), 𝑔′⟩, который действует по правилу
𝜏 : 𝛼 → 𝜓2 ∘ 𝛼 ∘ 𝜓−1
1 . На аддитивной группе целых чисел 𝑍 строим абелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓1⟩ с 𝑛-арной операцией 𝑓1(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 𝑙, где 𝑙 — любое целое число. На 𝑍 строим также
полуабелеву (не абелеву) 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓′1⟩ для 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁, с 𝑛-арной операцией 𝑓′ 1 (𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 − 𝑧2 + . . . + 𝑧2𝑘−1 − 𝑧2𝑘 + 𝑧2𝑘+1. Известно, что любая бесконечная полу-
циклическая 𝑛-группа изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓1⟩, где 0 ≤ 𝑙 ≤ [𝑛−1 2 ], либо 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓′ 1⟩
для нечетных 𝑛. В первом случае будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (∞, 1, 𝑙), а во втором случае — имеет тип (∞,−1, 0).
При изучении 𝑛-группы гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝑍,𝐶), 𝑔⟩ из бесконечной абелевой полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓1⟩ (0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛−1 2 ) в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ строим на
𝑛-группе ⟨𝐶, 𝑓2⟩ абелеву группу 𝐶 с операцией сложение 𝑎+𝑏 = 𝑓2(𝑎, (𝑛−3) 𝑐 , ¯𝑐, 𝑏), в которой имеются элемент 𝑑2 = 𝑓2(
(𝑛) 𝑐 ) и автоморфизм 𝜙2(𝑥) = 𝑓2(𝑐, 𝑥, (𝑛−3)
𝑐 , ¯𝑐). Выбираем множество 𝑃1 таких упорядоченных пар (𝑎, 𝑢) элементов из 𝐶, которые удовлетворяют равенству 𝑙𝑎 = 𝑑2+∼𝜙2(𝑢), где ∼𝜙2(𝑥) = 𝑥+𝜙2(𝑥)+. . .+𝜙𝑛−2 2 (𝑥), 𝑥 ∈ 𝐶 — эндоморфизм группы 𝐶, а для первой компоненты этих пар верно равенство 𝜙2(𝑎) = 𝑎. На этом множестве определим
𝑛-арную операцию ℎ1 по правилу ℎ1((𝑎1, 𝑢1), . . . , (𝑎𝑛, 𝑢𝑛)) = (𝑎1 + . . . + 𝑎𝑛, 𝑓2(𝑢1, . . . , 𝑢𝑛)).
Доказано, что ⟨𝑃1, ℎ1⟩ — полуабелева 𝑛-группа, которая изоморфна 𝑛-группе гомоморфизмов из бесконечной абелевой полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓1⟩ (0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛−1
2 ) в 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм 𝑛-группы ⟨𝑃1, ℎ1⟩ и 𝑛-группы
гомоморфизмов из бесконечной абелевой полуциклической 𝑛-группы типа (∞, 1, 𝑙) в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩.
При изучении 𝑛-группы гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝑍,𝐶), 𝑔⟩ из бесконечной полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓′1⟩ в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ в абелевой группе 𝐶 выбираем подгруппу 𝐻 = {𝑎 ∈ 𝐶 | 𝜙2(𝑎) = −𝑎}. На 𝐻 определим полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐻, ℎ⟩, где ℎ действует по правилу ℎ(𝑎1, 𝑎2, . . . , 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛) = 𝑎1 + 𝜙2(𝑎2) + . . . + 𝜙𝑛−2 2 (𝑎𝑛−1) + 𝑎𝑛. Затем в 𝑛-группе ⟨𝐶, 𝑓2⟩ выбираем подгруппу ⟨𝑇, 𝑓2⟩ всех идемпотентов, если 𝑇 ̸= ∅. Доказано, что для нечетного числа 𝑛 > 1 декартово произведение полуабелевых 𝑛-групп ⟨𝐻, ℎ⟩ × ⟨𝑇, 𝑓2⟩ изоморфно 𝑛-группе гомоморфизмов из бесконечной полуциклической 𝑛-группы ⟨𝑍, 𝑓′ 1 ⟩ в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩ с не пустым множеством идемпотентов 𝑇. Следствием этого изоморфизма является изоморфизм 𝑛-группы ⟨𝐻, ℎ⟩ × ⟨𝑇, 𝑓2⟩ и 𝑛-группы гомоморфизмов из бесконечной полуциклической 𝑛-группы типа (∞,−1, 0) в полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩. Аналогичные факты получены при изучении 𝑛-группы гомоморфизмов ⟨𝐻𝑜𝑚(𝑍,𝐶), 𝑔⟩ из 𝑛-групп ⟨𝑍, 𝑓1⟩ и ⟨𝑍, 𝑓′1⟩ в абелеву 𝑛-группу ⟨𝐶, 𝑓2⟩

1. Алиев И.Ш. О наименьшем многообразии симметрических алгебр // Алгебра и логика (семинар). 1966. Т. 5, №6. С. 5-14.

2. Чакани Б. Об абелевых свойствах примитивных классов универсальных алгебр // Acta scient. math. 1964. Vol. 25. P. 202-208.

3. Glazek K., Gleichgewicht B. Abelian n-groups // Proc. Congr. Math. Soc. J. Bolyai Esztergom (Hungaru). 1977. Vol. 29. P. 321-329.

4. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 уч. М.: Наука, 1974. 158 с.

5. Русаков С. А. Алгебраические 𝑛-арные системы. Минск: Навука i технiка, 1992. 263 с.

6. Гальмак А. М. 𝑛-Арные группы. Часть 1. Гомель: Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины, 2003. 195 с.

7. Гальмак А. М. 𝑛-Арные группы. Часть 2. Минск: Издательский центр БГУ, 2007. 323 с.

8. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. Vol. 48. P. 208-350.

9. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Мат. сборник. 1965. Т. 68 (110), № 3, С. 444-472.

10. Hosszu M. On the explicit form of n-group operacions // Publ. Math. 1963. Vol. 10. P. 88-92.

11. Щучкин Н. А. Прямое произведение 𝑛-арных групп // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15, Выпуск 2. C. 101-121.

12. Glazek K., Michalski J., SierockiА I. On evaluation of some polyadic groups // Contributions to General Algebra. 1985. Vol. 3. P. 159-171 .

13. Khodabandeh H., Shahryari M. On the representations and automorphisms of polyadic groups // Commun. Algebra. 2012. Vol. 40. P. 2199-2212.

14. Щучкин Н. А. Полуциклические 𝑛-арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. Т. 3 (54). С. 186-194.

15. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: "Мир 1974. 335 с.

16. Щучкин Н.А. Введение в теорию 𝑛-групп. Волгоград. ООО "Принт 2019. 234 с.

17. Гальмак А. М. 𝑛-Арная подгруппа единиц // Препринты Гомельского гос. ун-та, 1998. 23 с.