Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О локально нильпотентном радикале Джекобсона в специальных алгебрах Ли

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-234-272

Полный текст:

Аннотация

В статье проведено исследование возможности гомологического описания радикалов Джекобсона и локально нильпотентного для алгебр Ли, их связь с $$PI$$-неприводимо представленным радикалом, а также изучены некоторые свойства примитивных алгебр Ли. Доказывается аналог теоремы Ф. Кубо для почти локально разрешимых алгебр Ли с нулевым радикалом Джекобсона. Показано, что радикал Джекобсона специальной почти локально разрешимой алгебра Ли $$L$$ над полем $$F$$ характеристики нуль равен нулю тогда и только тогда, когда алгебра Ли $$L$$ имеет разложение Леви $$L=S\oplus Z(L)$$, где $$Z(L)$$ -- центр алгебры $$L$$, $$S$$ -- конечномерная подалгебра $$L$$ такая, что $$J(L)=0$$. Теорема Е. Маршалла обобщена на случай почти локально разрешимых алгебр Ли. Для произвольной специальной алгебры Ли $$L$$ показано включение $$IrrPI(L)\subset J(L)$$, которое в общем случае является строгим. Приведен пример алгебры Ли $$L$$, для которой выполнено строгое включение  $$J(L)\subset IrrPI(L)$$. Показано, что  для произвольной специальной алгебры Ли $$L$$
над полем $$F$$ характеристики нуль справедливо включение $$N(L)\subset IrrPI(L)$$, которое в общем случае является строгим. Показано, что большинство алгебр Ли над полем являются примитивными. Приведен пример абелевой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем не являющейся примитивной. Приведены примеры, показывающие, что бесконечномерные коммутативные алгебры Ли являются примитивными над любыми полями; конечномерная абелева алгебра, размерности больше 1, над алгебраически замкнутым полем не является примитивной; пример неартиновой некоммутативной алгебры Ли являющейся примитивной.  Показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль $$PI$$-неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым. Даются достаточные условия примитивности алгебры Ли, приводятся примеры примитивных алгебр Ли и алгебры Ли не являющейся примитивной.

Об авторах

Ольга Александровна Пихтилькова
Российский технологический университет МИРЭА
Россия

кандидат физико-математических наук, доцент



Елена Владимировна Мещерина
Оренбургский государственный университет
Россия

кандидат физико-математических наук



Анна Николаевна Благовисная
Оренбургский государственный университет
Россия

кандидат физико-математических наук



Елена Владиславовна Пронина
Российский технологический университет МИРЭА
Россия

кандидат физико-математических наук, доцент



Ольга Алексеевна Евсеева
Российский технологический университет МИРЭА
Россия


Список литературы

1. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III).- М.: Мир, 1976.- 496 с.

2. Размыслов, Ю. П. Об энгелевых алгебрах Ли / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика.- 1971.- Т. 10.- № 10. С. 33-44.

3. Кострикин, А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986.- 232 с.

4. Kubo, F. Infinite-dimensional Lie algebras with null Jacobson radical // Bull. Kyushu Inst. Technol. Math. Nat. Sci. 1991. V. 38. P. 23-30.

5. Togo, S. Radicals of infinite-dimensional Lie algebras // Hiroshima Math. J. 1972. V. 2, P. 179-203.

6. Togo, S., Kavamoto N. Ascendantly coalescent classes and radicals of Lie algebras // Hiroshima Math. J. 1972. V. 2. P. 253-261.

7. Marshall, E. I. The Frattini subalgebras of a Lie algebra. J. London Math. Soc. 1967. V. 42. P. 416-422.

8. Латышев, В.Н. Об алгебрах Ли с тождественными соотношениями / В.Н. Латышев// Сиб. мат. журнал.- 1963.- Т 4.- № 4.- С. 821-829.

9. Бейдар К.И., Пихтильков С.А. О первичном радикале специальных алгебр Ли // Успехи матем. наук. 1994. № 1. С. 233.

10. Бейдар, К.И. Первичный радикал специальных алгебр Ли / К.И. Бейдар, С.А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика.- 2000.- Т. 6.- № 3.- С. 643-648.

11. Пихтильков, С. А. О локально нильпотентном радикале специальных алгебр Ли / С. А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика.- 2002.- Т. 8.- Вып. 3.- С. 769- 782.

12. Парфенов, В.А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли / В.А. Парфенов// Сиб. мат. журнал.- 1971.- Т. 12.- № 1.- С. 171-176.

13. Пихтильков, С.А. Артиновые специальные алгебры Ли / С.А. Пихтильков // В мв. сб. Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп.- Тула:ТГПУ, 2001.- С. 189-194.

14. Пихтильков, С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли.- Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2005.- 130 с.

15. Пихтильков, С.А. О локально нильпотентных артиновых алгебрах Ли /С.А. Пихтильков, В.М. Поляков// Чебышевский сборник.- 2005.- Т. 6.- Вып. 1.- С. 163-169.

16. Херстейн, И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.- 191 с.

17. Кемер, А.Р. Тождества Капелли и нильпотентность радикала конечно порожденной PI- алгебры / А.Р. Кемер // ДАН СССР.- 1980.- Т.- 255.- № 4.- С. 793-797.

18. Braun, A. The nilpotency of the radical in a finitely generated PI-ring// J of Algebra. 1984. V. 89. № 2. P. 375-396.

19. Ширшов, А.И. О кольцах с тождественными соотношениями / А.И. Ширшов// Мат. сборник.- 1957.- Т. 43.- № 2.- С. 277-283.

20. Размыслов, Ю.П. Тождества алгебр и их представления. М.: Наука, 1989.

21. Ламбек, И. Кольца и модули.- М.: Мир, 1971.- 279 с.

22. Beidar K.I., Martindale W.S., Mikhalev A.V. Rings with generalized identities. Pure and Applied Mathematics. New-York: Marcel-Dekker, 1996.

23. Baxter, W.E., Martindale, W.S. Central closure of semiprime non-associative rings// Commun. of Algebra.- 1979.- V. 7. № 11.- P. 1105-1132.

24. Пихтильков, С.А. Примитивность свободной

25. ассоциативной алгебры с конечным числом образующих / С.А. Пихтильков // Успехи матем. наук.- 1974.- № 1.- C. 183-184.

26. Amayo R., Stewart I. Infinite dimensional Lie algebras. Leyden: Noordhoof, 1974.

27. Латышев, В.Н. О сумме локально разрешимых идеалов алгебр Ли / В.Н. Латышев, А.В. Михалев, С.А. Пихтильков// Вестник МГУ.- Сер. 1. матем., мех.- 2003.- № 3.- C. 29-32.

28. Amitsur, S.A. Algebras over infinite fields // Proc. Amer. Math. Soc.- 1956.- V. 7.- P. 35-48.

29. Итоги науки и техники. Серия “Современные проблемы математики. Фундаментальные направления”.- Т. 18. Алгебра-2.- М.: ВИНИТИ, 1988.- 248 с.

30. Размыслов Ю.П. О радикале Джекобсона в PI-алгебрах / Ю.П. Размыслов // Алгебра и логика.- 1974.- Т. 13.- N 3.- С. 337-360.

31. Бахтурин, Ю.А. О строении PI-оболочки конечномерной алгебры Ли / Ю.А. Бахтурин // Изв. вузов. сер. Матем.- 1985.- № 11.- С. 60-62.

32. Балаба И.Н. Первичный радикал градуированных Ω-групп / И.Н. Балаба, А.В. Михалев, С.А. Пихтильков // Фундаментальная и прикладная математика.- 2006.- Т. 12.- № 2.- С. 159-174.

33. Джекобсон, Н. Строение колец.- М.: Изд-во иностр. литературы, 1961.- 392 с.

34. Биллиг, Ю.В. О гомоморфном образе специальной алгебры Ли// Матем. сборник.- 1988.- Т. 136.- № 3.- С. 320-323.

35. Пихтильков, С.А. О специальных алгебрах Ли / С.А. Пихтильков// Успехи матем. наук.- 1981.- Т. 36.- № 6.- С. 225-226.

36. Kamiya, N. On the Jacobson radicals of infinite-dimensional Lie algebras // Hiroshima Math. J.1979, v. 9, pp. 37-40.

37. Джекобсон, Н. Алгебры Ли.- М.:Мир, 1964.- 355 с.

38. Бахтурин, Ю. А. Тождества в алгебрах Ли.- М.: Наука, 1985.- 447 с.

39. Терехова, Ю.А. О теореме Леви для специальных алгебр Ли / Ю.А. Терехова // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Межвузовский сборник научных трудов.-

40. Тула: Изд-во ТГПИ им. Л.Н. Толстого, 1994.- с. 97-103.

41. Математическая энциклопедия / ред. И. М. Виноградов . - М. : Сов. энциклопедия, 1977- 1985. - Т. 1 : А - Г. - , 1977. - 1151 с.

42. Симонян, Л. А. О радикале Джекобсона алгебры Ли / Л. А. Симонян // Латвийский математический ежегодник.- 1993.- Вып. 34.- С. 230-234.

43. Диксмье, Ж. Универсальные обертывающие алгебры.- М.: Мир, 1978.- 407 с.

44. Ленг, С. Алгебра.- М.: Мир, 1968.- 564 с.


Для цитирования:


Пихтилькова О.А., Мещерина Е.В., Благовисная А.Н., Пронина Е.В., Евсеева О.А. О локально нильпотентном радикале Джекобсона в специальных алгебрах Ли. Чебышевский сборник. 2021;22(1):234-272. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-234-272

For citation:


Pikhtilkova O.A., Meshcherina E.V., Blagovisnaya A.N., Pronina E.V., Evseeva O.A. On a locally nilpotent radical Jacobson for special Lie algebras. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(1):234-272. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-234-272

Просмотров: 3


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)