Эндоморфизмы полуциклических 𝑛-групп

Одной из основных проблем для полуабелевых 𝑛-групп является нахождение (𝑛, 2)- почтиколец, которые изоморфны (𝑛, 2)-почтикольцам эндоморфизмов некоторых полуабелевых 𝑛-групп. Такие (𝑛, 2)-почтикольца найдены для полуциклических 𝑛-групп.
На аддитивной группе целых чисел 𝑍 строим абелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓1⟩ с 𝑛-арной операцией 𝑓1(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +. . .+𝑧𝑛 +𝑙, где 𝑙 — любое целое число. Для не тождественного автоморфизма 𝜙(𝑧) = −𝑧 на 𝑍 можно задать полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓2⟩ для 𝑛 = 2𝑘 +1, 𝑘 ∈ 𝑁, с 𝑛-арной операцией 𝑓2(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 − 𝑧2 + . . . + 𝑧2𝑘−1 − 𝑧2𝑘 + 𝑧2𝑘+1. Любая
бесконечная полуциклическая 𝑛-группа изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓1⟩, где 0 ≤ 𝑙 ≤ [𝑛−1/2 ], либо 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓2⟩ для нечетных 𝑛. В первом случае будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (∞, 1, 𝑙), а во втором случае — имеет тип (∞,−1, 0).
В 𝑍 выделим множество 𝑃 = {𝑚|𝑚𝑙 ≡ 𝑙 (mod 𝑛 − 1)} и на нем определим 𝑛-арную операцию ℎ по правилу ℎ(𝑚1, . . . ,𝑚𝑛) = 𝑚1 + . . . + 𝑚𝑛. Тогда алгебра ⟨𝑃, ℎ, ·⟩, где · — умножение целых чисел, будет (𝑛, 2)-кольцом. Доказано, что ⟨𝑃, ℎ, ·⟩ изоморфно (𝑛, 2)- кольцу эндоморфизмов полуциклической 𝑛-группы типа (∞, 1, 𝑙).

В 𝑛-группе ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ⟩ = ⟨𝑍, 𝑓2⟩ × ⟨𝑍, 𝑓2⟩ определим бинарную операцию ◇ по правилу (𝑚1, 𝑢1) ◇ (𝑚2, 𝑢2) = (𝑚1𝑚2,𝑚1𝑢2 + 𝑢1). Тогда ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ, ◇⟩ будет (𝑛, 2)-почтикольцом. Доказано, что ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ, ◇⟩ изоморфно (𝑛, 2)-почтикольцу эндоморфизмов полуциклической
𝑛-группы типа (∞,−1, 0). Доказано, что (𝑛, 2)-кольцо ⟨𝑍, 𝑓, *⟩, где 𝑓(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 1 и 𝑧1 * 𝑧2= 𝑧1𝑧2(𝑛−1)+𝑧1 +𝑧2, изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов бесконечной циклической 𝑛-группы.
На аддитивной группе кольца классов вычетов 𝑍𝑘 определим 𝑛-группу ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, где 𝑛- арная операция 𝑓3 действует по правилу 𝑓3(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +𝑚𝑧2 +. . .+𝑚𝑛−2𝑧𝑛−1 +𝑧𝑛 +𝑙, 1 ≤ 𝑚 < 𝑘 и 𝑚 взаимно прост с 𝑘. Кроме того, 𝑚 удовлетворяет сравнению 𝑙𝑚 ≡ 𝑙(mod 𝑘) и показатель числа 𝑚 по модулю 𝑘 делит 𝑛−1. Любая конечная полуциклическая 𝑛-группа порядка 𝑘 изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, где 𝑙 | НОД (𝑛 − 1, 𝑘) при 𝑚 = 1 и
𝑙 | НОД (𝑚𝑛−1−1/𝑚−1 , 𝑘) при 𝑚 ̸= 1. Будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (𝑘, 𝑚, 𝑙).
В 𝑛-группе ⟨𝑃, ℎ⟩ = ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩×⟨𝑍𝑙, 𝑓4⟩, где 𝑓4(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +𝑟𝑧2 +. . .+𝑟𝑛−2𝑧𝑛−1 +𝑧𝑛, 𝑟 — остаток от деления 𝑚 на 𝑙, определим бинарную операцию ◇ по правилу (𝑢1, 𝑣1) ◇ (𝑢2, 𝑣2) = (𝑢2𝑠1 + 𝑢1, 𝑣2𝑠1 + 𝑣1)
где 𝑠1 ∈ 𝑍𝑘 и 𝑠1−1 = 𝑠0+𝑣1/𝑘/𝑙 , где 𝑠0 — решение сравнения 𝑥 ≡ (𝑛−1)𝑢1
𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) при 𝑚 = 1
и 𝑥 ≡𝑚𝑛−1−1/𝑚−1 𝑢1/𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) при 𝑚 ̸= 1. Доказано, что алгебра ⟨𝑃, ℎ, ◇⟩ будет (𝑛, 2)-кольцом при 𝑚 = 1 и (𝑛, 2)-почтикольцом при 𝑚 ̸= 1, которое изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов абелевой полуциклической 𝑛-группы типа (𝑘, 1, 𝑙) при 𝑚 = 1 и (𝑛, 2)-почтикольцу
эндоморфизмов полуциклической 𝑛-группы типа (𝑘, 𝑚, 𝑙) при 𝑚 ̸= 1.
Доказано, что (𝑛, 2)-кольцо ⟨𝑍𝑘, 𝑓, *⟩, где 𝑓(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 1 и 𝑢1 * 𝑢2== 𝑢1 · 𝑢2 · (𝑛−1)+𝑢1 +𝑢2, изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов конечной циклической 𝑛-группы порядка 𝑘.

1. Алиев И.Ш. О наименьшем многообразии симметрических алгебр // Алгебра и логика (семинар). 1966. Т. 5, №6. С. 5-14.

2. Чакани Б. Об абелевых свойствах примитивных классов универсальных алгебр // Acta scient. math. 1964. Vol. 25. P. 202-208.

3. Glazek K., Gleichgewicht B. Abelian n-groups // Proc. Congr. Math. Soc. J. Bolyai Esztergom (Hungaru). 1977. Vol. 29. P. 321-329.

4. Курош А. Г. Общая алгебра. Лекции 1969-1970 уч. М.: Наука, 1974. 158 с.

5. Русаков С. А. Алгебраические 𝑛-арные системы. Минск: Навука i технiка, 1992. 263 с.

6. Гальмак А. М. 𝑛-Арные группы. Часть 1. Гомель: Гомельский гос. университет им. Ф. Скорины, 2003. 195 с.

7. Гальмак А. М. 𝑛-Арные группы. Часть 2. Минск: Издательский центр БГУ, 2007. 323 с.

8. Crombez G. On (n,m)-rings // Abh. Math. Sem. Univ. 1972. Vol. 37. P. 180-199.

9. Post E. L. Poluadic groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1940. Vol. 48. P. 208-350.

10. Глускин Л. М. Позиционные оперативы // Мат. сборник. 1965. Т. 68 (110), № 3, С. 444-472.

11. Hosszu M. On the explicit form of n-group operacions // Publ. Math. 1963. Vol. 10. P. 88-92.

12. Щучкин Н. А. Прямое произведение 𝑛-арных групп // Чебышевский сборник. 2014. Т. 15,

13. Выпуск 2. C. 101-121.

14. Glazek K., Michalski J., SierockiА I. On evaluation of some polyadic groups // Contributions to General Algebra. 1985. Vol. 3. P. 159-171 .

15. Khodabandeh H., Shahryari M. On the representations and automorphisms of polyadic groups // Commun. Algebra. 2012. Vol. 40. P. 2199-2212.

16. Щучкин Н. А. Полуциклические 𝑛-арные группы // Известия ГГУ им. Ф. Скорины. 2009. Т. 3 (54). С. 186-194.