Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Характеризация дистрибутивных решеток квазимногообразий унаров

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-177-187

Полный текст:

Аннотация

Пусть $$L_q(\mathfrak{M})$$ означает решетку всех подквазимногообразий квазимногообразия $$\mathfrak{M}$$ относительно включения. Существует глубокая взаимосвязь между свойствами решетки $$L_q(\mathfrak{M})$$ и алгебраических систем из $$\mathfrak{M}$$. Впервые на этот факт обратил внимание А.~И.~Мальцев в докладе на Международном конгрессе математиков в 1966 году в Москве. В данной работе получена характеризация класса всех дистрибутивных решеток, каждая из которых изоморфна решетке $$L_q (\mathfrak{M})$$ всех подквазимногообразий некоторого квазимногообразия унаров $$\mathfrak{M}$$.

Унаром называется алгебра с одной унарной операцией.
Очевидно, что любой унар можно рассматривать как автомат с одним входным сигналом без выходных сигналов, либо -- как полигон над циклической полугруппой. В работе построены частично упорядоченные множества $$P_{\infty}$$ и $$P_s (s\in{\bf N_0})$$, где $$ {\bf N_0} $$ означает множество всех неотрицательных целых чисел.  Далее доказано, что дистрибутивная решетка L изоморфна решетке $$L_q (\mathfrak{M})$$ для некоторого квазимногообразия унаров $$\mathfrak{M}$$  тогда и только тогда, когда она изоморфна некоторому главному идеалу одной из решеток $$O(P_s) (s\in{\bf N_0})$$ или $$O_c(P_{\infty})$$, где $$O(P_s) (s\in{\bf N_0})$$ -- решетка идеалов частично упорядоченного множества $$P_s (s\in{\bf N_0})$$ и $$O_c(P_{\infty})$$ -- решетка идеалов с выделенным элементом $$c$$ частично упорядоченного множества $$P_{\infty}$$.

Доказательство основной теоремы существенно опирается на описание Q-критических унаров. Конечно порожденная алгебра называется Q-критической, если она не разлагается в подпрямое произведение своих собственных подалгебр. Ранее было установлено, что каждое квазимногообразие унаров определяется своими Q-критическими унарами. Этот факт часто используется для исследования квазимногообразий унаров.

Об авторах

Владимир Константинович Карташов
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
Россия

кандидат физико-математических наук



Анна Владимировна Карташова
Волгоградский государственный социально-педагогический университет
Россия

кандидат физико-математических наук



Список литературы

1. Белкин В. П., Горбунов В. А. Фильтры решеток квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, №4. С. 373-392.

2. Будкин А. И., Горбунов В. А. К теории квазимногообразий алгебраических систем // Алгебра и логика. 1975. Т. 14, №2. С. 123-142.

3. Виноградов А.А. Квазимногообразия абелевых групп // Алгебра и логика. 1965. Т. 4, №6. С. 15-19.

4. Горбунов В. А. Покрытия в решетках квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, №5. С. 507-548.

5. Горбунов В. А., Туманов В. И. Об одном классе решеток квазимногообразий // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, №1. С. 59-80.

6. Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. – Новосибирск: Научная книга, 1999. – 368 с.

7. Карташов В. К. Квазимногообразия унаров // Мат. заметки. 1980. Т. 27, №1. С. 7-20.

8. Карташов В. К. Квазимногообразия унаров с конечным числом циклов // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, №2. С. 173-193.

9. Карташов В. К. О решетках квазимногообразий унаров // Сибирский математический журнал. 1985. Т. 26, №3. С. 49-62.

10. Карташов В. К. Характеризация решетки квазимногообразий алгебр L_q A_1,1 // Алгебраические системы. – Волгоград: изд-во Волгоградского государственного пединститута„ 1989. С. 37–45.

11. Кравченко А. В. Сложность решеток квазимногообразий для многообразий унарных алгебр // Математические труды. 2001. Т. 4, №2. С. 113-127.

12. Кравченко А. В., Нуракунов А. М., Швидефски М. В. О строении решеток квазимногообразий. I. Независимая аксиоматизируемость // Алгебра и логика. 2018. Т. 57, №6. С.

13. -710.

14. Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. – 392 с.

15. Мальцев А. И. О некоторых пограничных вопросах алгебры и математической логики // Труды Международного конгресса математиков (Москва, 1966г.) - М.: Мир, 1968. С.217-231.

16. Ольшанский А.Ю. Условные тождества в конечных группах // Сибирский математический журнал. 1974. Т. 15, №6. С. 1409-1413.

17. Crawley P., Dilworth R.P. Algebraic Theory of Lattices. – New-Jersey: Prentice-Hall, Tnc, 1973.– 200 c.

18. Hyndman J., Nation J. B. The Lattice of Subquasivarieties of a Locally Finite Quasivariety, CMS Books in Mathematics. — Springer, 2018. – 162 p.

19. Kartashov V.K., Kartashova A. V. Remarks on NQ-critical commutative unary algebras // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41, №2. P. 204-206.


Для цитирования:


Карташов В.К., Карташова А.В. Характеризация дистрибутивных решеток квазимногообразий унаров. Чебышевский сборник. 2021;22(1):177-187. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-177-187

For citation:


Kartashov V.K., Kartashova A.V. Сharacterization of distributive lattices of quasivarieties of unars. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(1):177-187. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-177-187

Просмотров: 6


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)