Характеризация дистрибутивных решеток квазимногообразий унаров

Аннотация

Пусть $$L_q(\mathfrak{M})$$ означает решетку всех подквазимногообразий квазимногообразия $$\mathfrak{M}$$ относительно включения. Существует глубокая взаимосвязь между свойствами решетки $$L_q(\mathfrak{M})$$ и алгебраических систем из $$\mathfrak{M}$$. Впервые на этот факт обратил внимание А.~И.~Мальцев в докладе на Международном конгрессе математиков в 1966 году в Москве. В данной работе получена характеризация класса всех дистрибутивных решеток, каждая из которых изоморфна решетке $$L_q (\mathfrak{M})$$ всех подквазимногообразий некоторого квазимногообразия унаров $$\mathfrak{M}$$.

Унаром называется алгебра с одной унарной операцией.
Очевидно, что любой унар можно рассматривать как автомат с одним входным сигналом без выходных сигналов, либо -- как полигон над циклической полугруппой. В работе построены частично упорядоченные множества $$P_{\infty}$$ и $$P_s (s\in{\bf N_0})$$, где $$ {\bf N_0} $$ означает множество всех неотрицательных целых чисел.  Далее доказано, что дистрибутивная решетка L изоморфна решетке $$L_q (\mathfrak{M})$$ для некоторого квазимногообразия унаров $$\mathfrak{M}$$  тогда и только тогда, когда она изоморфна некоторому главному идеалу одной из решеток $$O(P_s) (s\in{\bf N_0})$$ или $$O_c(P_{\infty})$$, где $$O(P_s) (s\in{\bf N_0})$$ -- решетка идеалов частично упорядоченного множества $$P_s (s\in{\bf N_0})$$ и $$O_c(P_{\infty})$$ -- решетка идеалов с выделенным элементом $$c$$ частично упорядоченного множества $$P_{\infty}$$.

Доказательство основной теоремы существенно опирается на описание Q-критических унаров. Конечно порожденная алгебра называется Q-критической, если она не разлагается в подпрямое произведение своих собственных подалгебр. Ранее было установлено, что каждое квазимногообразие унаров определяется своими Q-критическими унарами. Этот факт часто используется для исследования квазимногообразий унаров.