Условие сходимости несобственных кратных интегралов в терминах многогранников Ньютона

Аннотация

В статье рассматриваются многомерные несобственные интегралы от функций, являющихся произведением обобщенных многочленов в некоторых степенях. Такие интегралы встречаются во многих разделах математики и теоретической физики. В частности, к ним относятся интегралы Фейнмана, возникающие при изучении различных объектов квантовой теории поля. Точное вычисление этих интегралов является сложной и не всегда возможной задачей, поэтому определение условий их сходимости и получение их асимптотического разложения по одному из параметров представляет значительный практический
интерес. Условия сходимости рассмотренных в работе интегралов ещё могут быть использованы, например, при исследовании кратных рядов, представляющих сумму значений рациональной функции в узлах целочисленной решетки.
В статье рассмотрена задача, когда областью интегрирования является Rn+, а обобщенные многочлены, входящие в подынтегральную функцию, либо положительны всюду,
кроме нуля, либо имеют положительные коэффициенты. Описано множество сходимости этих интегралов и доказана равносильность условия сходимости условию на многогранники Ньютона многочленов в подынтегральных функциях.
Доказанный в работе критерий сходимости совпадает по формулировке с соответствующим результатом работ А. К. Циха и Т. О. Ермолаевой, но он получен другими методами
и для немного более широкого множества подынтегральных функций.
Доказательства утверждений в работе основаны на простейших свойствах выпуклых многогранников и базовых фактах из теории несобственных кратных интегралов