Тропические последовательности, ассоциированные с последовательностями Сомоса

Аннотация

Начиная с основополагающей заметки, опубликованной М. Сомосом в 1989 году, большое внимание специалистов по теории чисел и смежных областей привлекают нелинейные
последовательности, удовлетворяющие квадратичному рекуррентному соотношению. При этом особое внимание уделяется вопросам построения целочисленных  последовательностей Сомоса и их лорановости относительно начальных значений и коэффициентов рекур рентного соотношения. В фундаментальных работах Робинсона, Фомина и Зелевинского
была доказана лорановость последовательности Сомос-k при k = 4, 5, 6, 7. В работах Хона были найдены представления для числовых последовательностей Сомос-4, 5 через сигма-
функцию Вейерштрасса на эллиптических кривых, а при k = 6 — через значения сигма функции Клейна на гиперэллиптических кривых рода 2. Следует также отметить, что последовательности Сомоса естественным образом возникают при построении криптосистем на эллиптических и гиперэллиптических кривых над конечным полем. Это объясняется тем, что для вышеупомянутых последовательностей выполняются теоремы сложения, и они естественным образом возникают при вычислении кратных точек на эллиптических и гиперэллиптических кривых. При k = 4, 5, 6, 7 последовательности Сомоса представляют собой полиномы Лорана от k начальных переменных и обычные полиномы от коэффициентов рекуррентного соотношения. Поэтому эти полиномы Лорана можно записать в виде несократимой дроби с обычным полиномом в числителе с начальными значениями и коэффициентами в качестве переменных. При этом знаменатель записывается в виде монома от начальных переменных. С помощью тропических функций мы доказываем, что степени переменных вышеупомянутого монома представляются в виде квадратичных полиномов от порядкового номера элемента последовательности Сомоса, у которых свободные члены
представляют собой периодические последовательности рациональных чисел. При этом в каждом случае в явном виде указываются соответствующие полиномы и периоды их
свободных членов.