Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Тропические последовательности, ассоциированные с последовательностями Сомоса

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-118-132

Полный текст:

Аннотация

Начиная с основополагающей заметки, опубликованной М. Сомосом в 1989 году, большое внимание специалистов по теории чисел и смежных областей привлекают нелинейные
последовательности, удовлетворяющие квадратичному рекуррентному соотношению. При этом особое внимание уделяется вопросам построения целочисленных  последовательностей Сомоса и их лорановости относительно начальных значений и коэффициентов рекур рентного соотношения. В фундаментальных работах Робинсона, Фомина и Зелевинского
была доказана лорановость последовательности Сомос-k при k = 4, 5, 6, 7. В работах Хона были найдены представления для числовых последовательностей Сомос-4, 5 через сигма-
функцию Вейерштрасса на эллиптических кривых, а при k = 6 — через значения сигма функции Клейна на гиперэллиптических кривых рода 2. Следует также отметить, что последовательности Сомоса естественным образом возникают при построении криптосистем на эллиптических и гиперэллиптических кривых над конечным полем. Это объясняется тем, что для вышеупомянутых последовательностей выполняются теоремы сложения, и они естественным образом возникают при вычислении кратных точек на эллиптических и гиперэллиптических кривых. При k = 4, 5, 6, 7 последовательности Сомоса представляют собой полиномы Лорана от k начальных переменных и обычные полиномы от коэффициентов рекуррентного соотношения. Поэтому эти полиномы Лорана можно записать в виде несократимой дроби с обычным полиномом в числителе с начальными значениями и коэффициентами в качестве переменных. При этом знаменатель записывается в виде монома от начальных переменных. С помощью тропических функций мы доказываем, что степени переменных вышеупомянутого монома представляются в виде квадратичных полиномов от порядкового номера элемента последовательности Сомоса, у которых свободные члены
представляют собой периодические последовательности рациональных чисел. При этом в каждом случае в явном виде указываются соответствующие полиномы и периоды их
свободных членов.

Об авторах

Виктор Алексеевич Быковский
Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН
Россия


Марк Анатольевич Романов
Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН
Россия


Алексей Владимирович Устинов
Хабаровское отделение Института прикладной математики ДВО РАН, Тихоокеанский государственный университет
Россия


Список литературы

1. J. Propp. The Somos Sequence Site. http://faculty.uml.edu/jpropp/somos.html.

2. Gale D. The strange and surprising saga of the Somos sequences // Math. Intelligencer. 1991.Vol. 13, № 1. P. 40-42.

3. Gale D. Somos sequence update // Math. Intelligencer. 1991. Vol. 13, № 4. P. 49-50 (reprinted in Tracking the Automatic Ant., Springer-Verlag, New York, 1998).

4. Hone A.N.W. Elliptic curves and quadratic recurrence sequences // Bull. Lond. Math. Soc. 2005. Vol. 37. P. 161–171. Corrigendum, Bull. Lond. Math. Soc. 2006. Vol. 38. P. 741–742.

5. van der Poorten A.J., Swart C.S. Recurrence relations for elliptic sequences: every Somos 4 is a Somos k // Bull. Lond. Math. Soc. 2006. Vol. 38. P. 546–554.

6. Hone A.N.W. Sigma function solution of the initial value problem for Somos 5 sequences // Trans. Amer. Math. Soc. 2007. Vol. 359. P. 5019-5034.

7. Swart C.S., Hone A.N.W. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 sequences // math.NT/0508094. 2008. 23 pp.

8. Yuri N. Fedorov, Anrew N.W. Hone. Sigma-function solution to the general Somos-6 recurrence via hyperelliptic Prym varieties // Journal of Integrable Systems. 2016. Vol. 1. P. 1–34.

9. Robinson R. Periodicity of Somos sequences // Proceedings of the AMS. 1992. Vol. 116, № 3. P. 613-619.

10. Fomin S., Zelevinsky A. The Laurent Phenomenon // Adv. Appl. Math. 2002. Vol. 28. P. 119-144.

11. Anrew N.W. Hone. Laurent Polynomials and Superintegrable Maps // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2007. Vol. 3, 022. 18 pp.

12. Nobe A. Ultradiscrete QRT maps and tropical elliptic curves // J. Phys. A: Math. Theor. 2008. Vol. 41, 125205. 12 pp.

13. Allan P. Fordy and Andrew Hone. Symplectic Maps from Cluster Algebras // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. 2011. Vol. 7, 091. 12 pp.

14. Nakata Y. The solution to the initial value problem for the ultradiscrete Somos-4 and 5 equations // arXiv:math/1701.04262v1. 2017. 13 pp.

15. Speyer D., Sturmfels B. Tropical mathematics // Math. Mag. 2009. Vol. 82, № 3. P. 163-173.


Для цитирования:


Быковский В.А., Романов М.А., Устинов А.В. Тропические последовательности, ассоциированные с последовательностями Сомоса. Чебышевский сборник. 2021;22(1):118-132. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-118-132

For citation:


Bykovskii V.A., Romanov M.A., Ustinov A.V. Tropical sequences associated with Somos sequences. Chebyshevskii Sbornik. 2021;22(1):118-132. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-1-118-132

Просмотров: 8


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)