Статьи 
Изучение действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях и их координатных алгебрах является важной областью исследований в алгебраической геометрии и теории колец. Эта область связана с теорией полиномиальных отображений, ручных и диких автоморфизмов, проблемой якобиана, теорией бесконечномерных многообразий по Шафаревичу, проблемой сокращения (вместе с другими подобными вопросами), теорией локально нильпотентных дифференцирований. Одной из центральных задач теории действий алгебраических групп является проблема линеаризации, изученная в работе Т. Камбаяши и П. Расселла, утверждающая, что всякое действие тора на аффинном пространстве линейно в некоторой системе координат. Гипотеза о линеаризации была основана на хорошо известной классической теореме А. Бялыницкого — Бирули, которая гласит, что всякое эффективное регулярное действие тора максимальной размерности на аффинном пространстве над алгебраически замкнутым полем допускает линеаризацию.
Несмотря на то что гипотеза о линеаризации оказалась отрицательной в ее общем виде — контрпримеры в положительной характеристике были построены Т. Асанума — теорема Бялыницкого — Бирули остается важным результатом теории благодаря ее связи с теорией полиномиальных автоморфизмов. Недавние продвижения в последней мотивировали поиск различных некоммутативных разновидностей теоремы Бялыницкого — Бирули. В данной статье мы приведем доказательство теоремы о линеаризации эффективного действия максимального тора автоморфизмами свободной ассоциативной алгебры, являющейся таким образом свободным аналогом теоремы Бялыницкого — Бирули.
В работе исследуются многообразия представлений двух классов конечно порожденных групп.
Первый класс состоит из групп с копредставлением
\begin{gather*}
G = \langle a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_k,x_1,\ldots,x_g\mid\\
a_1^{m_1}=\ldots=a_s^{m_s}= x_1^2\ldots x_g^2 W(a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_k)=1\rangle,
\end{gather*}
где $g\ge 3$, $m_i\ge 2$ для $i=1,\ldots,s$ и
$W(a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_k)$ --- элемент в нормальной форме
в свободном произведении циклических групп $H=\langle a_1\mid a_1^{m_1}\rangle\ast\ldots\ast\langle a_s\mid a_s^{m_s}\rangle\ast\langle b_1\rangle\ast\ldots\ast\langle b_k\rangle$.
Второй класс состоит из групп с копредставлением
$$
G(p,q) = \langle a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_k,x_1,\ldots,x_g,t\mid a_1^{m_1}=\ldots=a_s^{m_s}=1,\ tU^pt^{-1}=U^q \rangle,
$$
где $p$ и $q$ --- целые числа, такие, что $p>|q|\geq1$, $(p,q)=1$, $m_i\ge 2$ для $i=1,\ldots,s$, \linebreak $g\ge 3$,
$U=x_1^2\ldots x_g^2W(a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_k)$ и $W(a_1,\ldots,a_s,b_1,\ldots,b_k)$ --- элемент, определенный выше.
Найдены неприводимые компоненты многообразий представлений $R_n(G)$ и $R_n(G(p,q))$, вычислены их размерности и доказано, что каждая неприводимая
компонента является рациональным многообразием.
В работе исследуются конечные циклические полукольца с~полурешеточным сложением, определенные как конечные циклические мультипликативные моноиды~$\langle S,\cdot \rangle$ с~введенной на них операцией сложения~$(+)$, так, что алгебраическая структура~$\langle S,+ \rangle$ является верхней полурешеткой и~выполняются законы дистрибутивности умножения относительно сложения.
Описано строение конечных циклических полуколец с~полурешеточной аддитивной операцией, заданной двухпорожденным идеалом полукольца целых неотрицательных чисел.
Результатом работы является теорема о строении циклических полуколец с~полурешеточной аддитивной операцией, заданной двухпорожденным идеалом полукольца целых неотрицательных чисел. Полученный результат, в частности, позволяет установить количество циклических полуколец, соответствующих каждому двухпорожденному идеалу полукольца целых неотрицательных чисел.
В работе используется аппарат идеалов полукольца целых неотрицательных чисел.
Получены некоторые свойства идеалов полукольца целых неотрицательных чисел, определяющих структуру конечных циклических полуколец.
Работа дополняет исследования Е. М. Вечтомова и И. В. Орловой, где строение конечных циклических полуколец с~идемпотентным некоммутативным сложением описано через конечные циклические полуполя и~конечные циклические полукольца с~полурешеточным сложением.
В работе предпринимается обзор современного состояния теории быстрых алгоритмов умножения чисел и многочленов. Рассматривается процесс эволюции методов умножения от первых блочных алгоритмов Карацубы и Тоома 1960-х гг. к методам 1970-х гг., опирающимся на дискретное преобразование Фурье (ДПФ), и далее к новейшим методам, разработанным в 2007–2019 гг. Современные методы умножения сочетают использование специальных алгебраических структур, переход к приближенным вычислениям, особые формы преобразований Фурье: многомерное ДПФ, аддитивный аналог ДПФ. Эти и другие существенные для быстрых методов умножения концепции подробно рассматриваются в настоящем обзоре. Отдельно предусмотрено введение в теорию ДПФ с извлечением необходимых для изложения материала фактов. В заключительной части обзора приводятся краткие сведения о результатах в области параллельных алгоритмов умножения, аккуратных оценок сложности базовых методов умножения, алгоритмов умножения в реальном времени, мультипликативной сложности умножения многочленов над конечными полями. Отмечены модели вычислений, в которых умножение имеет линейную или квадратичную сложность.
В настоящей работе получены примеры алгебраических тождеств между фундаментальными
матрицами обобщённых гипергеометрических уравнений. В некоторых случаях эти тождества
порождают все алгебраические соотношения между компонентами решений
гипергеометрических уравнений.
Обобщённые гипергеометрические функции (см. [1-5]) - это функции вида
$$
{}_l\varphi_{q}(z)={}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;z)=
{}_{l+1}F_{q}\left(\left.{1,\nu_1,\dots,\nu_l\atop\lambda_1,\dots,\lambda_q}\right|z\right)=
\sum_{n=0}^\infty \frac{(\nu_1)_n\dots (\nu_l)_n}{(\lambda_1)_n
\dots(\lambda_{q})_n} z^n,
$$
где $0\leqslant l\leqslant q$, $\; (\nu)_0=1, \; (\nu)_n=\nu(\nu+1)\dots (\nu+n-1)$,
$\;\vec\nu=(\nu_1,\dots,\nu_l)\in {\mathbb C}^l$, $\;\vec \lambda\in
({\mathbb C}\setminus{\mathbb Z^-})^q$.
Функция ${}_l\varphi_{q}(\vec \nu;\vec\lambda;z)$ удовлетворяет
(обобщённому) гипергеометрическому дифференциальному уравнению
$$
{L}(\vec \nu;\vec\lambda;z)\;y =(\lambda_1-1)\dots(\lambda_q-1),
$$
где
$$
{L}(\vec \nu;\vec\lambda;z)
\equiv \left( \prod_{j=1}^q(\delta+\lambda_j-1)-
z\prod_{k=1}^l(\delta+\nu_k) \right),\label{d1122} \quad \delta=z\frac{d}{dz}.
$$
В теории трансцендентных чисел одним из основных методов является
метод Зигеля-Шидловского (см. [4], [5]), который
позволяет доказывать трансцендентность и алгебраическую независимость
значений целых функций некоторого класса, включающего в себя
функции ${}_l\varphi_{q}(\alpha z^{q-l})$, при условии
алгебраической независимости этих функций над ${\mathbb C}(z)$.
В статье [6] Ф. Бейкерсом, В. Браунвеллом и Г. Хекманом были
введены важные для установления алгебраической зависимости и
независимости функций понятия коградиентности и контрградиентности
дифференциальных уравнений (фактически эти понятия возникли ранее
в статье Е. Колчина [7]).
Настоящая работа посвящена подробному доказательству и дальнейшему
развитию результатов о коградиентности и контрградиентности,
опубликованных в заметках [8] и [9]. В частности, уточняются
некоторые результаты статьи [6].
В статье рассмотрены свойства квазиметрики среднего времени первого прохода - обобщенной метрической структуры, тесно связанной с эргодическими однородными цепями Маркова.
Во введении представлена история вопроса, дан обзор основных идей и результатов работы.
В первом разделе собраны основные понятия теории
цепей Маркова - последовательностей случайных событий с конечным или счетным числом исходов, характеризующихся тем, что, говоря нестрого, при фиксированном
настоящем будущее независимо от прошлого. Точнее, математическая модель некоторого случайного процесса представляет собой марковскую цепь, если распределение вероятностей параметров процесса в следующий момент времени зависит
только от параметров процесса в предыдущий момент.
Во втором разделе собраны базовые определения, необходимые для рассмотрения роли графовых моделей
в представлении и исследовании эргодических однородных цепей Маркова.
Марковская цепь может быть изображена в виде ориентированного взвешенного графа переходов, вершины которого
соответствуют состояниям цепи, а дуги - переходам между ними.
Процесс будет эргодическим, если построенный взвешенный орграф является слабо связным, и наибольший общий делитель длин всех его циклов равен единице.
С другой стороны, любой связный граф может служить базой для построения модели простейшей цепи Маркова: если вершина $i$ имеет
степень $k$, то все выходящие из нее ребра превращаются в дуги с весами $\frac{1}{k}$.
%Основное место занимают понятия, связанные с теорией остовного леса сходящихся деревьев ориентированного %графа, соответствующего матрице перехода однородной эргодической цепи Маркова.
В третьем разделе дано определение среднего времени первого прохода для однородной эргодической цепи Маркова. Представлены несколько способов построения соответствующей матрицы $M$. Подробно проанализирован алгоритм нахождения среднего времени первого прохода с помощью использования сходящихся деревьев ориентированного графа, связанного с матрицей перехода эргодической однородной цепи Маркова. Описана родственная рекуррентная процедура.
В четвертом разделе матрица среднего времени первого прохода рассмотрена как {\it квазиметрика } $m$
среднего времени первого прохода на множестве вершин $V=\{1, 2, ..., n\}$ ориентированного графа, соответствующего матрице перехода эргодической однородной цепи Маркова: $m(i,j)$
- ожидаемое количество шагов (дуг) для случайного блуждания на орграфе $\Gamma$, начинающегося с $i$, для достижения $j$ в первый раз. Эта квазиметрика обладает рядом важных теоретических и прикладных свойств.
В частности, квазиметрика среднего времени первого прохода для простого случайного блуждания по связному невзвешенному графу $G$, в котором из любой вершины графа существует равная вероятность перемещения в любую соседнюю вершину,
является взвешиваемой квазиметрикой, т.е. существует весовая функция $w: V\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0}$,
%$w=(w_1, w_2,\ldots, w_n)$,
такая, что для всех $i,j\in V$ имеет место сотношение %& Было бы здорово найти для $m_i$ наглядную интерпретацию.
$
m(i,j)+w_i=
m(j,i)+w_j.
$
Менее изучены, но не менее интересны связи квазиметрики среднего времени первого прохода с другими метрическими структурами на графах, в частности, с $\alpha$-метрикой леса и ее вариациями.
Наконец, в пятом разделе рассмотрены примеры построения и исследования квазиметрики среднего времени первого прохода. Помимо иллюстрации ''графовой`` процедуры построения матрицы $M$, представлены рекуррентные алгоритмы исследования и проанализированы получающиеся при этом обобщенные метрические структуры.
В работе для произвольного моноида ${M(PE)}$ с экспоненциальной последовательностью простых чисел $PE$ типа $q$ решается обратная задача, то есть нахождение асимптотики для функции распределения элементов моноида ${M(PE)}$, исходя из асимптотики распределения простых чисел последовательности простых чисел $PE$ типа $q$.
Для решения этой задачи вводится понятие произвольной экспоненциальной последовательности натуральных чисел типа $q$ и рассматривается моноид, порожденный этой последовательностью. С помощью двух гомоморфизмов таких моноидов задача о распределении плотности сводится к аддитивной задаче Ингама.
Показано, что для этого класса моноидов понятие степенной плотности не работает. Введено новое понятие $C$ логарифмической $\theta$-степенной плотности.
Показано, что любой моноид ${M(PE)}$ для произвольной экспоненциальной последовательности простых $PE$ типа $q$ имеет $C$ логарифмическую $\theta$-степенную плотность с $C=\pi\sqrt{\frac{2}{3\ln q}}$ и $\theta=\frac{1}{2}$.
В статье доказана алгоритмическая неразрешимость позитивных $\forall^2 \exists^{24}$-теории и
$\forall^3 \exists^{2}$-теории любой алгебраически замкнутой группы и класса всех алгебраически
замкнутых групп.
Установлена разрешимость в любой алгебраически замкнутой группе $G$ каждого уравнения вида
$$
w(x_1, \ldots , x_n) = g,
$$
где $w(x_1, \ldots , x_n)$ - непустое несократимое групповое слово от неизвестных $x_1$, ...., $x_n$, а $g$ - произвольный элемент группы $G$.
Обобщенная гипергеометрическая функция определяется суммой степенного ряда, коэффициентами которого являются произведения значений некоторой дробной рациональной функции. Взятые со знаком минус корни числителя и знаменателя этой рациональной функции называются параметрами соответствующей гипергеометрической функции. Для исследования арифметической природы значений гипергеометрических функций и их производных (включая производные по параметру) часто используют метод Зигеля. Соответствующее рассуждение, как правило, начинается с построения функциональной линейной приближающей формы. Если параметры гипергеометрической функции рациональны, то для построения этой формы можно применить принцип Дирихле. При этом построение возможно не только для самих гипергеометрических функций, но и для произведений их степеней. Этим объясняется общность результатов, получаемых таким методом. Если, однако, среди параметров имеются иррациональные числа, то применение принципа Дирихле невозможно, и для проведения соответствующего исследования приходится привлекать
дополнительные соображения.
Одним из способов преодоления затруднения, связанного с наличием иррациональных чисел среди параметров гипергеометрической функции является применение эффективного построения линейной приближающей формы, с которой начинается рассуждение. Первоначально эффективные конструкции построения таких приближений появились для функций специального вида (числитель рациональной функции, с помощью которой определяются коэффициенты гипергеометрической функции должен был равняться единице). Изучение свойств этих приближений показало, что они могут оказаться полезными и в случае рациональных параметров: получаемые с помощью эффективных методов количе ственные результаты оказались точнее их аналогов, полученных методом Зигеля. В дальнейшем методы эффективного построения линейной приближающей формы обобщались в различных направлениях.
В данной работе предлагается новая эффективная конструкция линейной приближающей формы для случая, когда для гипергеометрических функций рассматриваются также и производные по параметру. Эта конструкция используется для уточнения оценки снизу меры линейной независимости значений соответствующих функций.
Рациональные числа распределены равномерно, хотя расстояния между соседними рациональными числами в последовательности Фарея могут сильно разниться. Для алгебраических чисел это свойство не выполняется. В 2013 г. Д. Коледа [6, 7] нашел функцию плотности распределения действительных алгебраических чисел любой степени при их естественном упорядочивании.
Можно доказать, что количество действительных алгебраических чисел $ \alpha $ степени $n$ и высоты $H(\alpha ) \le Q$ асимптотически равно $c_{1}(n)Q^{n+1}$. Недавно было доказано, что существуют интервалы длины $Q^{- \gamma }, \gamma >1$, свободные от алгебраических чисел $ \alpha , H( \alpha ) \le Q$, однако уже при $0 \le \gamma <1$ их не менее чем $c_{2}(n)Q^{n+1- \gamma }$.
В работе показано, что специальные интервалы длины $Q^{- \gamma }$ и при больших $ \gamma $ могут содержать алгебраические числа, однако их количество не превосходит $c_{3}Q^{n+1- \gamma }$. Ранее аналогичный результат был получен А. Гусаковой \cite{Gus15} лишь для случая $\gamma = \frac{3}{2}$.
В настоящей статье продолжены исследования, связанные с распределением обратных вычетов по заданному модулю. Ранее автором был получен ряд нетривиальных оценок коротких сумм Клоостермана с простыми числами, отвечающих произвольному модулю $q$. Следствием таких оценок стали результаты о распределении вычетов $\overline{p}$, обратных простым числам "короткого" промежутка: $p\overline{p}\equiv 1\pmod{q}$, $1<p\leqslant N$, $N\leqslant q^{1-\delta}$, $\delta>0$, и, более общо, о распределении по модулю $q$ величин $g(p) = a\overline{p}+bp$, где $a,b$ - целые числа, $(ab,q)=1$.
Еще одно приложение найденных оценок связано с задачей о представимости произвольного заданного вычета $m\pmod{q}$ суммою $g(p_{1})+\ldots+g(p_{k})$ при фиксированных $a,b$ и $k\geqslant 3$, и простых $1<p_{1},\ldots,p_{k}\leqslant N$. Для количества таких представлений автором была найдена формула, поведение предполагаемого главного члена которой определяется аналогом "сингулярного ряда" классического кругового метода, т. е. некоторой величиной $\kappa$, зависящей от $q$ и набора $k, a, b, m$. При фиксированных $k, a, b, m$ она является мультипликативной функцией $q$. В случае, когда модуль $q$ не делится на 2 или 3, эта величина строго положительна, так что формула для искомого числа представлений является асимптотической.
В настоящей работе исследуется поведение $\kappa$ в случае, когда $q = 3^{n}$. Оказывается, что при любых $n\geqslant 1$, $k\geqslant 3$ существуют "исключительные" тройки $a, b, m$, для которых $\kappa = 0$. Цель работы состоит в описании всех таких троек и нижней оценки величины $\kappa$ для "неисключительных" троек.
В работе изучается константа Никольского (или константа Джексона-Никольского)
для комплексных тригонометрических полиномов в пространстве
$L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})$ при $p\ge 1$ с периодическим весом Гегенбауэра
$|\!\sin x|^{2\alpha+1}$:
$$
\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)=\sup_{T\in \mathcal{T}_{n}\setminus \{0\}}
\frac{\|T\|_{\infty}}{\|T\|_{p}},
$$
где $\|{\,\cdot\,}\|_{p}=\|{\,\cdot\,}\|_{L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})}$.
Д. Джексон (1933) доказал, что $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)\le c_{p}n^{1/p}$ для
всех $n\ge 1$. Задача нахождения $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)$ имеет
долгую историю. Однако точные значения известны только при $p=2$. При $p=1$
задача имеет интересные приложения, например, в теории чисел. Отметим
результаты Я. Л. Геронимуса, Л. В. Тайкова, Д. В. Горбачева, И. Е. Симонова,
П. Ю. Глазыриной. Для $p>0$ отметим результаты И. И. Ибрагимова, В. И. Иванова,
Е. Левина, Д. С. Любинского, М. И. Ганзбурга, С. Ю. Тихонова, в весовом случае -
В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, М. В. Дейкаловой, А. Хорват.
Доказывается, что супремум здесь достигается на действительном четном
тригонометрическом полиноме с максимумом модуля в нуле. Как следствие,
установлена связь с алгебраической константой Никольского с весом
$(1-x^{2})^{\alpha}$, исследованная В. В. Арестовым и М. В. Дейкаловой (2015).
Доказательство следует их методу и базируется на положительном операторе
обобщенного сдвига в пространстве $L^{p}_{\alpha}(\mathbb{T})$ с периодическим весом
Гегенбауэра. Этот оператор был построен и изучен Д.~В.~Чертовой (2009). Как
приложение, предлагается подход к вычислению $\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)$ на
основе соотношений двойственности Арестова-Дейкаловой.
Ганкелевы матрицы, рассматриваемые в статье, возникли при одной переформулировке гипотезы Римана, предложенной ранее автором. Компьютерные вычисления показали, что в случае дзета-функции Римана собственные числа и собственные вектора таких матриц обладают интересной структурой.
В статье изучается модельная ситуация, когда вместо дзета-фунции взята функция, имеющая единственный нуль. Для этого случая указаны первые члены асимптотических разложений наименьшего и наибольших (по абсолютной величине) собственных чисел и соответствующих им собственных векторов.
Исследование проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей элементов эллиптических и гиперэллиптических полей было начато около 200 лет назад в классических работах Н.~Абеля и П.~Л.~Чебышева. В 2014 году В.~П.~Платоновым был предложен общий концептуальный метод,
базирующийся на глубокой связи трех классических проблем: проблема существования и построения фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях, проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и проблема периодичности непрерывных дробей элементов в гиперэллиптических полях. В 2015-2019 годах в работах В. П. Платонова с соавторами был достигнут большой прогресс в исследовании проблемы периодичности элементов в гиперэллиптических полях, в особенности в эффективной классификации таких периодических элементов. Так, например, в указанных работах В.~П.~Платонова с соавторами были найдены все эллиптические поля $\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ такие, что $\sqrt{f}$ разлагается в периодическую непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((x))$, а также были получены дальнейшие продвижения в обобщении указанного результата, как на другие числовые поля констант, так и на гиперэллиптические кривые рода $2$ и выше.
В настоящей статье мы приводим полное доказательство анонсированного нами в 2019 году результата о конечности числа эллиптических полей $k(x)(\sqrt{f})$ над произвольным числовым полем $k$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$, для которых соответствующая эллиптическая кривая содержит $k$-точку четного порядка не превосходящего $18$ или $k$-точку нечетного порядка не превосходящего $11$. Для произвольного поля $k$ являющегося квадратичным расширением $\mathbb Q$ найдены все такие эллиптические поля, а для поля $k=\mathbb Q$ было получено новое доказательство конечности числа периодических $\sqrt{f}$, не использующее параметризацию эллиптических кривых и точек конечного порядка на них.
В статье дано доказательство полноты перечня одного класса выпуклых симметричных многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Этот класс принадлежит классу так называемых RR-многогранников. RR-многогранники характеризуются следующими условиями симметрии: у каждого многогранника класса RR существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём каждая грань, не входящая в звезду ромбической вершины, является правильной. Ромбичность вершины здесь означает, что звезда вершины составлена из n равных, одинаково расположенных ромбов. Симметричность вершины означает, что через неё проходит ось вращения порядка n её звезды. Ранее автором были найдены все многогранники с ромбическими или дельтоидными вершинами и локально симметричными гранями. При этом локально симметричные грани не принадлежат ни одной из ромбических или дельтоидных звёзд. Класс RR-многогранников получается из рассмотренных ранее заменой условия локальной симметрии неромбических граней условием их правильности.
Таким образом, рассматриваемый класс RR связан с известным результатом Н. Джонсона и В. Залгаллера о перечислении всех выпуклых многогранников с условием правильности граней. Но, как показано в настоящей статье, RR-многогранники не могут быть просто получены из класса правильногранных, а требуют специального метода. Настоящая статья посвящена доказательству полноты класса RR-многогранников с двумя изолированными симметричными ромбическими вершинами V, W. При этом ромбы сходятся в вершинах V, W не обязательно своими острыми углами и V, W не обязательно разделены только одним поясом правильных граней.
В статье рассматривается краевая задача для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, построенная для определения поля смещений в непрерывно-неоднородном упругом покрытии пластины при прохождении через неё плоской звуковой волны.
Полагается, что однородная изотропная упругая пластина с неоднородным по толщине упругим покрытием граничит с идеальными жидкостями.
Методом степенных рядов получено приближенное аналитическое решение краевой задачи. Краевая задача сведена к задачам с начальными условиями. Решение краевой задачи представлено в виде линейной комбинации фундаментальных решений. Найденное аналитическое решение краевой задачи справедливо для широкого класса законов неоднородности материала покрытия.
Проведены численные расчеты зависимостей компонентов вектора смещения на границах покрытия от угла падения плоской волны.
Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и поиска фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и поиска S-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения - функционального уравнения Пелля - с некоторыми дополнительными условиями на вид этого уравнения и его решения. Существует
глубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными S-единицами соответствующего гиперэллиптического поля. Эта связь легла в основу предложенного В. П. Платоновым алгебраического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода g >= 2.
В данной статье нами найден новый метод исследования разрешимости функциональных норменных уравнений, дающий полное описание гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают точками кручения данных порядков. Наш метод основан на аналитическом изучении представителей дивизоров конечного порядка в группе классов дивизоров степени ноль и их представлений Мамфорда. В качестве иллюстрации работы нашего метода в данной статье непосредственно найдены все параметрические семейства гиперэллиптических кривых рода два над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают рациональными точками кручения порядков не превосходящих пяти. Более того, наш метод позволяет определить, какому найденному параметрическому семейству принадлежит данная кривая, якобиан которой обладает точкой кручения порядка, не превосходящего пяти.
Доказана теорема о среднем для кратных тригонометрических сумм, обобщающая теорему Г. И. Архипова [12, 13]. Первая теорема подобного типа лежит в сердцевине метода И. М. Виноградова [2]. В работе найден вариант теоремы с "равноправными" длинами промежутков изменения переменных. Интересным приложением метода И. М. Виноградова являются оценки дзетовых сумм вида
$$
\sum_{n\leq P}n^{it}.
$$
Подобным приложением теоремы о среднем, доказанной нами, служат оценки сумм вида
$$
\sum_{n\leq P_1}\dots\sum_{n\leq P_r}(n_1\dots n_r+k)^{it}, \sum_{n\leq P}\tau_s(n)(n+k)^{it}, \sum_{p\leq P}(p+k)^{it}.
$$
История математики и приложений
Краткие сообщения
В статье доказана асимптотическая формула для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии с растущей разностью. Пусть $\alpha>1$ - иррациональное число и $\beta$ - вещественное число из промежутка $[0;\alpha)$, $a$ и $d$ - целые числа, $d\geqslant 2$, $0\leqslant a<d$, $x$ - достаточно большое натуральное число. Обозначим через $N_d(x)$ число значений последовательности Битти $[\alpha n+\beta]$, $1\leqslant n\leqslant x$, принадлежащих арифметической прогрессии $(a+kd)$\textup, $k\in\mathbb{N}$. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа $\alpha$ ограничены, то при $x\to\infty$ справедлива асимптотическая формула $N_d(x) = \frac{x}{d} + O(d\ln^3 x),$ где постоянная в знаке $O$ абсолютная. Разность прогрессии может расти вместе с $x$, причём результат нетривиален, если $d\ll \sqrt{x}\ln^{-3/2-\varepsilon}x$, $\varepsilon>0$.
В данной работе мы строим систему образующих Гензеля - Шафаревича для формальных модулей Хонды над многомерным полем. В дальнейшем это даст возможность вычисления символа Гильберта в описанной ситуации.
В статье приводится решение задачи нахождения общего вида среднего в случае отсутствия симметричности по всем переменным. В 1930 году А. Н. Колмогоров дал общий вид среднего значения. Он сформулировал четыре аксиомы среднего: непрерывность и монотонность по каждой переменной, симметричность по каждой переменной, равенство среднего от одинаковых значений этому значению и возможность замены некоторой группы значений их собственным средним без изменения общего среднего. Все переменные в теореме Колмогорова равноправны, это предполагает, что среднее является сиимметрической функцией по всем переменным. В. Н. Чубариковым была поставлена задача обобщения результата А. Н. Колмогорова на случай отсутствия симметричности по всем аргументам. Теперь переменные разбиваются на группы, и среднее будет симметрично отдельно по каждой из групп переменных. Если такая группа единственна, то исследуемое среднего удовлетворяет аксиомам А. Н. Колмогорова, поэтому результат статьи является обощением теоремы Колмогорова. В статье найден общий вид функции среднего в этой задаче, отмечена связь с равномерным распределением по модулю единица.
В статье даётся явный метод построения морсификаций с минимально топологически возможным числом вещественных критических точек для функций двух переменных с гладкими ветвями множества уровня, а также для полуквазиоднородных функций двух переменных.
Памятные даты
11 января 2020 года исполняется сто лет со дня рождения Василия Ильича Нечаева — известного советского математика, доктора физико-математических наук, профессора, ведущего научного сотрудника Математического института имени В. А. Стеклова Академии наук СССР (РАН), заведующего кафедрой теории чисел Московского педагогического государственного университета (МПГУ) с 1978 по 1999 годы.
Василий Ильич Нечаев внес значительный вклад в развитие отечественной научной школы по теории чисел. Наиболее известны исследования профессора В. И. Нечаева и его учеников в области аналитической теории чисел и ее приложений.
Неоценимы заслуги Василия Ильича Нечаева и в развитии высшего образования России. В. И. Нечаев много лет руководил научным семинаром по аналитической теории чисел в МПГУ, создал собственную научную школу. Многие его ученики стали кандидатами и докторами физико-математических или педагогических наук, активно работают в системе отечественного высшего образования, занимают высокие административные посты, проводят научные исследования по дидактике высшей школы в областях, связанных с преподаванием избранных вопросов теории чисел и ее приложений, воспитывают своих учеников.
Василий Ильич опубликовал большое количество научных и методических работ, перевел на русский язык несколько фундаментальных научных монографий. Он долгие годы являлся членом редколлегии журнала ”Математические заметки“, был членом программных комитетов многих международных конференций по алгебре и теории чисел.
