Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Периодические элементы $\sqrt f$ в эллиптических полях с полем констант нулевой характеристики

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-273-296

Полный текст:

Аннотация

Исследование проблемы периодичности функциональных непрерывных дробей элементов эллиптических и гиперэллиптических полей было начато около 200 лет назад в классических работах Н.~Абеля и П.~Л.~Чебышева. В 2014 году В.~П.~Платоновым был предложен общий концептуальный метод,
базирующийся на глубокой связи трех классических проблем: проблема существования и построения фундаментальных $S$-единиц в гиперэллиптических полях, проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых и проблема периодичности непрерывных дробей элементов в гиперэллиптических полях. В 2015-2019 годах в работах В. П. Платонова с соавторами был достигнут большой прогресс в исследовании проблемы периодичности элементов в гиперэллиптических полях, в особенности в эффективной классификации таких периодических элементов. Так, например, в указанных работах В.~П.~Платонова с соавторами были найдены все эллиптические поля $\mathbb{Q}(x)(\sqrt{f})$ такие, что $\sqrt{f}$ разлагается в периодическую непрерывную дробь в $\mathbb{Q}((x))$, а также были получены дальнейшие продвижения в обобщении указанного результата, как на другие числовые поля констант, так и на гиперэллиптические кривые рода $2$ и выше.
В настоящей статье мы приводим полное доказательство анонсированного нами в 2019 году результата о конечности числа эллиптических полей $k(x)(\sqrt{f})$ над произвольным числовым полем $k$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$, для которых соответствующая эллиптическая кривая содержит $k$-точку четного порядка не превосходящего $18$ или $k$-точку нечетного порядка не превосходящего $11$. Для произвольного поля $k$ являющегося квадратичным расширением $\mathbb Q$ найдены все такие эллиптические поля, а для поля $k=\mathbb Q$ было получено новое доказательство конечности числа периодических $\sqrt{f}$, не использующее параметризацию эллиптических кривых и точек конечного порядка на них.

Об авторах

Владимир Петрович Платонов
Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований РАН»; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Россия

кадемик РАН, доктор физико-математических наук, профессор



Максим Максимович Петрунин
Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований РАН»
Россия

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник



Юрий Николаевич Штейников
Федеральный научный центр «Научно-исследовательский институт системных исследований РАН»
Россия

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник



Для цитирования:


Платонов В.П., Петрунин М.М., Штейников Ю.Н. Периодические элементы $\sqrt f$ в эллиптических полях с полем констант нулевой характеристики. Чебышевский сборник. 2020;21(1):273-296. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-273-296

For citation:


Platonov V.P., Petrunin M.M., Shteinikov Yu.N. Periodic elements $\sqrt{f}$ in elliptic fields with a field of constants of zero characteristic. Chebyshevskii Sbornik. 2020;21(1):273-296. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-273-296

Просмотров: 150


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)