О значениях последовательности Битти в арифметической прогрессии

Аннотация

В статье доказана асимптотическая формула для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии с растущей разностью. Пусть $\alpha>1$ - иррациональное число и $\beta$ - вещественное число из промежутка $[0;\alpha)$, $a$ и $d$ - целые числа, $d\geqslant 2$, $0\leqslant a<d$, $x$ - достаточно большое натуральное число. Обозначим через $N_d(x)$ число значений последовательности Битти $[\alpha n+\beta]$, $1\leqslant n\leqslant x$, принадлежащих арифметической прогрессии $(a+kd)$\textup, $k\in\mathbb{N}$. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа $\alpha$ ограничены, то при $x\to\infty$ справедлива асимптотическая формула $N_d(x) = \frac{x}{d} + O(d\ln^3 x),$ где постоянная в знаке $O$ абсолютная. Разность прогрессии может расти вместе с $x$, причём результат нетривиален, если $d\ll \sqrt{x}\ln^{-3/2-\varepsilon}x$, $\varepsilon>0$.