Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-247-258

Полный текст:

Аннотация

В работе изучается константа Никольского (или константа Джексона-Никольского)
для комплексных тригонометрических полиномов в пространстве
$L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})$ при $p\ge 1$ с периодическим весом Гегенбауэра
$|\!\sin x|^{2\alpha+1}$:
$$
\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)=\sup_{T\in \mathcal{T}_{n}\setminus \{0\}}
\frac{\|T\|_{\infty}}{\|T\|_{p}},
$$
где $\|{\,\cdot\,}\|_{p}=\|{\,\cdot\,}\|_{L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})}$.
Д. Джексон (1933) доказал, что $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)\le c_{p}n^{1/p}$ для
всех $n\ge 1$. Задача нахождения $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)$ имеет
долгую историю. Однако точные значения известны только при $p=2$. При $p=1$
задача имеет интересные приложения, например, в теории чисел. Отметим
результаты Я. Л. Геронимуса, Л. В. Тайкова, Д. В. Горбачева, И. Е. Симонова,
П. Ю. Глазыриной. Для $p>0$ отметим результаты И. И. Ибрагимова, В. И. Иванова,
Е. Левина, Д. С. Любинского, М. И. Ганзбурга, С. Ю. Тихонова, в весовом случае -
В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, М. В. Дейкаловой, А. Хорват.

Доказывается, что супремум здесь достигается на действительном четном
тригонометрическом полиноме с максимумом модуля в нуле. Как следствие,
установлена связь с алгебраической константой Никольского с весом
$(1-x^{2})^{\alpha}$, исследованная В. В. Арестовым и М. В. Дейкаловой (2015).
Доказательство следует их методу и базируется на положительном операторе
обобщенного сдвига в пространстве $L^{p}_{\alpha}(\mathbb{T})$ с периодическим весом
Гегенбауэра. Этот оператор был построен и изучен Д.~В.~Чертовой (2009). Как
приложение, предлагается подход к вычислению $\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)$ на
основе соотношений двойственности Арестова-Дейкаловой.

Об авторе

Иван Анатольевич Мартьянов
Тульский государственный университет
Россия

аспирант кафедры прикладной математики и информатики



Для цитирования:


Мартьянов И.А. Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра. Чебышевский сборник. 2020;21(1):247-258. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-247-258

For citation:


Martyanov I.A. Nikolskii constant for trigonometric polynomials with periodic Gegenbauer weight. Chebyshevskii Sbornik. 2020;21(1):247-258. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-247-258

Просмотров: 95


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)