Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Суммы Клоостермана по простым числам и разрешимость одного сравнения с обратными вычетами — II

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-221-232

Полный текст:

Аннотация

В настоящей статье продолжены исследования, связанные с распределением обратных вычетов по заданному модулю. Ранее автором был получен ряд нетривиальных оценок коротких сумм Клоостермана с простыми числами, отвечающих произвольному модулю $q$. Следствием таких оценок стали результаты о распределении вычетов $\overline{p}$, обратных простым числам "короткого" промежутка: $p\overline{p}\equiv 1\pmod{q}$, $1<p\leqslant N$, $N\leqslant q^{1-\delta}$, $\delta>0$, и, более общо, о распределении по модулю $q$ величин $g(p) = a\overline{p}+bp$, где $a,b$ - целые числа, $(ab,q)=1$.

Еще одно приложение найденных оценок связано с задачей о представимости произвольного заданного вычета $m\pmod{q}$ суммою $g(p_{1})+\ldots+g(p_{k})$ при фиксированных $a,b$ и $k\geqslant 3$, и простых $1<p_{1},\ldots,p_{k}\leqslant N$. Для количества таких представлений автором была найдена формула, поведение предполагаемого главного члена которой определяется аналогом "сингулярного ряда" классического кругового метода, т. е. некоторой величиной $\kappa$, зависящей от $q$ и набора $k, a, b, m$. При фиксированных $k, a, b, m$ она является мультипликативной функцией $q$. В случае, когда модуль $q$ не делится на 2 или 3, эта величина строго положительна, так что формула для искомого числа представлений является асимптотической.

В настоящей работе исследуется поведение $\kappa$ в случае, когда $q = 3^{n}$. Оказывается, что при любых $n\geqslant 1$, $k\geqslant 3$ существуют "исключительные" тройки $a, b, m$, для которых $\kappa = 0$. Цель работы состоит в описании всех таких троек и нижней оценки величины $\kappa$ для "неисключительных" троек.

Об авторе

Максим Александрович Королев
Математический институт им. В. А. Стеклова РАН
Россия

октор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник



Для цитирования:


Королев М.А. Суммы Клоостермана по простым числам и разрешимость одного сравнения с обратными вычетами — II. Чебышевский сборник. 2020;21(1):221-232. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-221-232

For citation:


Korolev M.A. Kloosterman sums with primes and the solvability of one congruence with inverse residues — II. Chebyshevskii Sbornik. 2020;21(1):221-232. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2020-21-1-221-232

Просмотров: 141


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)