О линейных приближающих формах

Аннотация

Обобщенная гипергеометрическая функция определяется суммой степенного ряда, коэффициентами которого являются произведения значений некоторой дробной рациональной функции. Взятые со знаком минус корни числителя и знаменателя этой рациональной функции называются параметрами соответствующей гипергеометрической функции. Для исследования арифметической природы значений гипергеометрических функций и их производных (включая производные по параметру) часто используют метод Зигеля. Соответствующее рассуждение, как правило, начинается с построения функциональной линейной приближающей формы. Если параметры гипергеометрической функции рациональны, то для построения этой формы можно применить принцип Дирихле. При этом построение возможно не только для самих гипергеометрических функций, но и для произведений их степеней. Этим объясняется общность результатов, получаемых таким методом. Если, однако, среди параметров имеются иррациональные числа, то применение принципа Дирихле невозможно, и для проведения соответствующего исследования приходится привлекать
дополнительные соображения.

Одним из способов преодоления затруднения, связанного с наличием иррациональных чисел среди параметров гипергеометрической функции является применение эффективного построения линейной приближающей формы, с которой начинается рассуждение. Первоначально эффективные конструкции построения таких приближений появились для функций специального вида (числитель рациональной функции, с помощью которой определяются коэффициенты гипергеометрической функции должен был равняться единице). Изучение свойств этих приближений показало, что они могут оказаться полезными и в случае рациональных параметров: получаемые с помощью эффективных методов количе ственные результаты оказались точнее их аналогов, полученных методом Зигеля. В дальнейшем методы эффективного построения линейной приближающей формы обобщались в различных направлениях.

В данной работе предлагается новая эффективная конструкция линейной приближающей формы для случая, когда для гипергеометрических функций рассматриваются также и производные по параметру. Эта конструкция используется для уточнения оценки снизу меры линейной независимости значений соответствующих функций.