Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск
Том 20, № 3 (2019)
Скачать выпуск PDF
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3

Статьи

7-21 38
Аннотация
Статья содержит краткий очерк о научном творчестве Наума Ильича Фельдмана.
22-26 88
Аннотация

Статья содержит краткий очерк о научном творчестве Аскольда Ивановича Виноградова.

27-43 33
Аннотация

Статья посвящена жизни и научно-педагогической деятельности известного математика, доктора физико-математических наук, профессора Александра Васильевича Малышева (1928–1993) в связи с 90-летием со дня его рождения. В ней сначала приводятся краткие биографические сведения из жизни А. В. Малышева. Основная часть нашей работы посвящена достижениям А. В. Малышева в теории чисел и его научно-педагогической и редакционно-издательской деятельности.

44-73 30
Аннотация

Этот краткий обзор содержит описание важнейших понятий геометрии чисел и ее главные предложения. Сюда не включена геометрия квадратичных форм — интересный, но специальный раздел теории чисел (и геометрии), стоящий на стыке геометрии чисел и теории квадратичных форм.

74-77 89
Аннотация
Статья содержит личные воспоминания автора о Борисе Фадеевиче Скубенко.
78-91 28
Аннотация

Данная работа посвящена проблеме устойчивости малого периодического решения нормальной автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При исследовании устойчивости периодического решения автономной системы естественно анализировать локальную динамику пересечений возмущенных траекторий с ортогональными сечениями соответствующего цикла. Путем введения специальной системы координат, в которой одна из осей направлена по касательной к траектории периодического решения, задача об орбитальной устойчивости периодического решения сводится к задаче об устойчивости по Ляпунову нулевого решения вспомогательной системы с периодической по t правой частью. Для вспомогательной системы, размерность которой на единицу меньше размерности исходной системы, в линейном приближении вопрос об устойчивости нулевого решения сводится к оценке мультипликаторов матрицы монодромии. Таким образом, по теореме Андронова — Витта реализуется классический подход к исследованию орбитальной устойчивости периодического решения. При этом имеет место некритический случай орбитальной устойчивости. Такой подход традиционно используется и в условиях бифуркации типа Хопфа для систем с параметром. В данной работе для автономной системы с параметром получены условия бифуркации малого решения, период которого близок к периоду решений соответствующей линейной однородной системы. Сформулировано определение свойства орбитальной устойчивости по параметру, согласно которому возмущенные правые полутраектории сколь угодно близки к исследуемому циклу не только за счет малости возмущений начальных значений, но и за счет малости параметра. При этом использована идея ослабления требований определения устойчивости ляпуновского типа, предложенная М.М. Хапаевым. Свойство орбитальной устойчивости по параметру может иметь место и при наличии орбитальной неустойчивости исследуемого цикла в классическом смысле. Для исследования орбитальной устойчивости малого периодического решения по параметру использовано нелинейное приближение упомянутой выше вспомогательной системы возмущенных движений.

92-106 41
Аннотация

В настоящее время существует ряд способов определения трендов и экстремумов на стохастических временных рядах, что неудивительно, поскольку тренды временного ряда являются фундаментальной характеристикой динамики процесса, стоящего за ним. 
Реальные стохастические тренды совсем не похожи на идеальные математические, посколько в них случаются сбои. Это не смущает исследователя, изначально обладающего адаптивным восприятием фундаментальных свойств предельности, непрерывности, связности, тренда и т. д. Он поймет, когда нарушение несущественно и тренд продолжается, а когда нарушение прерывает тренд.
В настоящей работе предлагается новый подход к распознаванию стохастических трендов, основанный на математической конструкции регрессионных производных для конечного временного ряда. Тренды ищутся с помощью производной по сценарию классического математического анализа.

92-106 11
Аннотация

В настоящее время существует ряд способов определения трендов и экстремумов на стохастических временных рядах, что неудивительно, поскольку тренды временного ряда являются фундаментальной характеристикой динамики процесса, стоящего за ним. 
Реальные стохастические тренды совсем не похожи на идеальные математические, посколько в них случаются сбои. Это не смущает исследователя, изначально обладающего адаптивным восприятием фундаментальных свойств предельности, непрерывности, связности, тренда и т. д. Он поймет, когда нарушение несущественно и тренд продолжается, а когда нарушение прерывает тренд.
В настоящей работе предлагается новый подход к распознаванию стохастических трендов, основанный на математической конструкции регрессионных производных для конечного временного ряда. Тренды ищутся с помощью производной по сценарию классического математического анализа.

107-123 42
Аннотация

В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему времени известно много криптосистем, основанных на теории помехоустойчивого кодирования. Одним из способов построения таких криптосистем является модификация криптосистемы Мак-Элиса с помощью замены кодов Гоппы на другие классы кодов. Однако, известно что криптографическая стойкость многих таких модификаций уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса.
В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы, наряду с криптосистемамми на решётках, рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым. Поэтому актуальна задача поиска перспективных классов кодов, применимых в криптографии. Представляется, что для этого можно использовать некоммутативные групповые коды, т.е. левые идеалы в конечных некоммутативных групповых алгебрах.
Для исследования некоммутативных групповых кодов полезной является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр. Однако конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы стоит задача конструктивного описания разложения Веддерберна. Это разложение позволяет легко получить все левые идеалы групповой алгебры, т.е. групповые коды.
В работе рассматривается полупрямое произведение $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ абелевых групп и конечная групповая алгебра $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$ этой группы. Для этой алгебры при условиях $$n \mid q -1$$ и $$\text{НОД}(2mn, q) = 1$$ построено разложение Веддербёрна. В случае поля чётной характеристики, когда эта групповая алгебра не является полупростой, также получена сходная структурная теорема. Описаны все неразложимые центральные идемпотенты этой групповой алгебры. Полученные результаты используются для алгебраического описания всех групповых кодов над $$Q_{m,n}.$$

124-133 28
Аннотация
В статье изучаются p--расширения полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где p-характеристика поля вычетов рассматриваемого поля. Известно, что любое вполне разветвленное расширение Галуа степени p-с немаксимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера; при этом ограничение сверху на скачок ветвления соответствует ограничению снизу на нормирование правой части уравнения. Задача построения расширений с заданной группой Галуа произвольного конечного порядка не решена. В работах Инабы рассматривались p-расширения полей характеристики p, заданные матричным уравнением $$X^{(p)}=AX$$, которое мы здесь называем уравнением Инабы. В этом уравнении $$X^{(p)}$$ обозначает  матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы X в степень p, а - некоторая унипотентная матрица A над данным полем. Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера. Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное p-расширение Галуа задается уравнением такого вида. В настоящей работе для полей смешанной характеристики доказано, что расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени p достаточно малы. Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Уравнение Инабы задает последовательность расширений полей, полученную последовательным присоединением элементов диагоналей матрицы. Это означает, что, если расширение L/K задано уравнением Инабы, и матрица A выбрана так, что на диагоналях с большими номерами записаны нули, то можно получать расширения, содержащие L/K, заменяя нули другими элементами. В работе доказано, что любое нециклическое расширение степени $$p^2$$ с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфнной группе унипотентных матриц $$3\times 3$$ над полем из p элементов. В конце статьи сформулирован ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.
134-142 28
Аннотация
Обсуждаются единая интегральная форма записи пяти постулатов механики сплошной среды, возможная непротиворечивая аксиоматика феноменологического построения четвёртого и пятого из них — законов об изменении внутренней энергии и энтропии, а также роль закона Фурье или его гиперболического обобщения в определении температуры. Показывается, что в отличие от статистического и молекулярного подходов в данном случае внутренняя энергия и энтропия индивидуального (жидкого) объёма могут быть полностью определены посредством задания своих источника, потока через границу и производства. Тем самым два термодинамических постулата выполняют роль определений. Обсуждаются энергетические сопряжённые пары величин различной физической природы и возможности расширения таблицы постулатов.
143-153 36
Аннотация
Пусть $$0<p\le \infty,$$ $$\mathcal{C}(n;p;r)=\sup_{T}\frac{\|T^{(r)}\|_{L^{\infty}[0,2\pi)}}{\|T\|_{L^{p}[0,2\pi)}}$$ и $$\mathcal{L}(p;r)=\sup_{F}\frac{\|F^{(r)}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}}{\|F\|_{L^{p}(\mathbb{R})}}$$ - точные константы Никольского-Бернштейна для r-х производных тригонометрических полиномов степени n и целых функций экспоненциального типа 1 соответственно. Недавно Е.Левин и Д.Любинский доказали, что для констант Никольского $$\mathcal{C}(n;p;0)=n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ М.Ганзбург и С.Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского-Бернштейна: $$\mathcal{C}(n;p;r)=n^{r+1/p}\mathcal{L}(p;r)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ Также они показали существование в этой задаче экстремальных полинома $$\tilde{T}_{n,r}$$ и функции $$\tilde{F}_{r}$$ соответственно. Ранее мы дали более точные границы в результате типа Левина-Любинского, доказав, что для всех p и n $$n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)\le \mathcal{C}(n;p;0)\le (n+\lceil 1/p\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p;0).$$ Здесь мы устанавливаем близкие факты для случая констант Никольского-Бернштейна, из которых также вытекает асимптотическое равенство Ганзбурга-Тихонова. Результаты формулируется в терминах экстремальных функций $$\tilde{T}_{n,r},$$ $$\tilde{F}_{r}$$ и коэффициентов Тейлора ядра типа Джексона-Фейера $$(\frac{\sin \pi x}{\pi x})^{2s}$$. Мы неявно используем полиномы типа Левитана, возникающие при применении равенства Пуассона. Мы формулируем одну гипотезу о знаках коэффициентов Тейлора экстремальных функций.
154-164 30
Аннотация
Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$ и сумматорных функций $$\Phi(x)=\sum_{n\leq x} a_n$$ их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $$\zeta(s),$$  определенная для любого комплексного числа $$s=\sigma+it$$ с действительной частью $$\Re s=\sigma> 1$$ как $$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$$ Квадрат дзета-функции $$\zeta^{2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \qquad \Re s >1, $$ связан с функцией делителей $$\tau(n)=\sum_{d|n}1,$$ дающей  число натуральных делителей натурального числа n. Сумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^2(s)$$ является функция $$D(x)=\sum_{n\leq x}\tau(n),$$ вопросы асимптотической оценки которой известны как   проблема делителей Дирихле. В общем случае, $$ \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \qquad\Re s>1, $$ где функция $$\tau_k(n)=\sum_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$$ дает число представлений натурального числа  n в виде произведения  k натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^k(s)$$ является функция $$D_k(x)=\sum_{n\leq x}\tau_k(n).$$ Ее изучение - это  многомерная проблема делителей Дирихле. Логарифмическая производная  $$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции представима  в виде $$ \frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},\quad\Re s >1. $$ Здесь $$\Lambda(n)$$ - функция Мангольдта, которая определяется как $$\Lambda(n)=\log p,$$ если $$n=p^{k}$$ для простого p и натурального k, и как $$\Lambda(n)=0,$$ иначе. Таким образом, функция Чебышева $$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}, $$ соответствующего логарифмической производной $$\displaystyle\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими  задачами, прежде всего, с  асимптотическим законом распределения простых чисел. В частности, хорошо известно представление  функции $$\psi(x)$$  по нулям дзета-функции: $$\psi(x)=x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right), $$ где x=n+0,5, $$n \in\mathbb{N},$$ $$2\leq T \leq x,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ -  нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1. Аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, можно получить и для арифметических функций, родственных функции Чебышева, например, для функции $$\psi_{1}(x)=\sum_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n).$$ Именно, в настоящей статье получено представление  функции $$\psi_1(x)$$  по нулям дзета-функции Римана следующего вида: $$\psi_1(x)=\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)}\right)x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}+O\left(\frac{x^{2}}{T^2}\ln^2 x\right)+O\left(\sqrt{x}\ln^2x\right),$$ где x>2, $$T \geq 2,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ - нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1.
165-192 27
Аннотация
Работа посвящена исследованию задач о поведении конечных автоматов в лабиринтах. Для любого n строится лабиринт, который можно обойти с помощью 2n камней но нельзя обойти с помощью n камней. Спектр задач обхода обширен и затрагивает ключевые аспекты теоретической Computer Science. Конечно, решение таких задач не означает автоматическое решение сложных проблем теории сложности, тем не менее рассмотрение данных вопросов может положительно сказаться на понимании сути теоретической Computer Science. Есть надежда, что поведение автоматов в лабиринтах является хорошей моделью для нетривиальных теоретико-информационных задач, и отработка методов и подходов к исследованию поведения роботов даст более серьезные результаты с будущем. Задачи связанные c автоматным анализом геометрических сред имеют довольно богатую историю изучения. Первой работой, давшей начало подобного рода задачам, стоит признать работу Шеннона [24]. В ней рассматривается модель мыши в виде автомата, которая должна найти определенную цель в лабиринте. Другая ранняя работа, так или иначе затрагивающая нашу проблематику, это работа Фишера [9] о вычислительных системах с внешней памятью в виде дискретной плоскости. Серьёзным толчком к исследование поведения автоматов в лабиринтах послужила работы Деппа [7, 8], в которых предложена следующая модель: имеется некоторая конфигурация клеток из Z^2 (шахматный лабиринт), в которой конечные автоматы, обозревая некоторую окрестность клетки, в которой они находятся, могут перемещаться в соседнюю клетку в одном из четырёх направлений. Основной вопрос, который ставится в подобной модели, существует ли автомат обходящий все подобные лабиринты. В [20] Мюллер построил для заданного автомата плоскую ловушку (лабиринт который обходится не полностью) в виде 3-графа. Будах [5] построил шахматную ловушку для любого заданного конечного автомата. Отметим, что решение Будаха было довольно сложным (первые варианты содержали 175 страниц). Более наглядные решения данного вопроса представлены здесь [29, 31, 33, 34]. Антельман [2] оценил сложность подобной ловушки по числу клеток, а в [1] Антельман, Будах и Роллик сделали конечную ловушку для любой конечной системы автоматов. В постановке с шахматным лабиринтом и одним автоматом есть ещё ряд результатов, связанных с проблемами обходимости лабиринтов с различными числом дыр, с расслоениями лабиринтов по количеству состояний автомата и другими вопросами. Обзор подобных проблем можно найти например здесь [35]. Невозможность обхода всех плоских шахматных лабиринтов одним автоматом выдвинула вопрос об изучении возможных усилений модели автомата, которая решит задачу обхода. Основным способом усиления может являться рассмотрение коллектива автоматов,вместо одного автомата, взаимодействующих между собой. Частным и широко используемым случаем является рассмотрение системы из одного полноценного автомата и некоторого количества автоматов камней, которые не имеют внутреннего состояние и могут передвигаться только совместно с главным автоматом. Взаимодействие между автоматами является ключевой особенностью данного усиления, оно позволяется иметь коллективу (или одному автомату с камнями) внешнюю память, тем самым существенно разнообразит его поведение. Если от взаимодействия автоматов избавиться, то полученная независимая система будет немногим лучше одного автомата. Далее обсудим известные результаты связанные с коллективом автоматов.
193-219 30
Аннотация

Это первая статья из серии посвящённой сеткам Смоляка. Работа относится к аналитической теории чисел и в ней рассматриваются вопросы приложения теории чисел к задачам приближенного анализа. Рассмотрено понятие гиперболического параметра сеток с весами и аналог теоремы Бахвалова для гиперболического параметра сеток с весами и гиперболической дзета-функции сеток. В данной работе получены следующие результаты:
1. доказана усиленная обобщённая теорема Бахвалова–Коробова для гиперболической дзета-функции трёхмерных сеток;
2. подсчитано число узлов сетки Смоляка с учетом их кратности; число узлов c учетом их весов.
3. подсчитано число узлов сетки Смоляка без учета их кратности;
4. подсчитано число узлов сетки Смоляка c учетом их весов;
5. найдена форма квадратурной формулы с сеткой Смоляка без кратных узлов и найдены явные формулы для весов этой квадратурной формулы. Показано, что количество узлов такой квадратурной формулы в 7 раз меньше, чем в случае формулы с кратными узлами.

220-245 41
Аннотация
Представлен обзор работ по решению обратных задач рассеяния звуковых волн упругими телами. Теоретические основы решения обратных задач дифракции звука базируются на фундаментальных исследованиях проблемы обратных задач для уравнений в частных производных, выполненных отечественными учеными. В самой общей классификации обратные задачи акустики делятся на обратные задачи излучения (ОЗИ) и обратные задачи рассеяния (ОЗР). При решении задач первого класса по характеристикам звукового поля определяют некоторые параметры излучателя. При решении задач второго класса измерения параметров рассеянного звукового поля используют для идентификации свойств рассеивающего объекта. Большая часть приложений акустических методов основана на решении обратных задач дифракции, когда по параметрам излучаемого или отраженного звукового поля судят о параметрах объекта или среды. Анализ звуковых полей составляет основу методов в гидро- и аэроакустике; исследований в биологии и медицине; неразрушающего контроля и диагностики объектов; ультразвуковой дефектоскопии; обследовании и испытании материалов, конструкций и сооружений. Решения всех обратных задач основаны на решении прямых задач дифракции. В работе представлены наиболее значимые результаты в решении прямых задач рассеяния звуковых волн упругими объектами. Выделены работы, посвященные проблемам обратных задач рассеяния звука неоднородными упругими телами. Это направление составляет предмет интересов в исследованиях авторов.
246-260 38
Аннотация
Теория геометрических подстановок Арно-Ито позволяет строить последовательности обобщенных перекладывающихся разбиений d-мерного тора. Эти разбиения состоят из параллелепипедов d + 1 типа, а действие некоторого сдвига тора на разбиении сводится к перекладыванию d+1 центрального параллелепипеда. Более того, множество вершин всех параллелепипедов разбиения представляет собой фрагмент орбиты нуля относительно этого сдвига тора. Рассматриваемые разбиения активно используются в различных задачах теории чисел, комбинаторики и теории динамических систем. В настоящей работе изучается локальная структура разбиений тора, получаемых на основе геометрических подстановок. n-короной параллелепипеда называется множество всех параллелепипедов, отстоящих от данного на расстояние не более n в естественной метрике разбиения. Задача состоит в описании всех возможных типов n-корон. Каждому параллелепипеду разбиения естественным образом присваивается номер – его номер в орбите соответствующего центрального параллелепипеда относительно сдвига тора. Доказано, что множество всех номеров распадается на конечное число полуинтервалов, определяющих возможные типы n-корон. Более того, доказано, что границы соответствующих полуинтервалов определяются номерами параллелепипедов, входящих в n-корону набора из d + 1 центрального параллелепипеда. Показано, что этот результат можно рассматривать как некоторое многомерное обобщение знаменитой теоремы о трех длинах. Ранее аналогичное описание было получено для 1-корон разбиений тора получаемых при помощи одной конкретной геометрической подстановки: подстановки Рози. Кроме того, аналогичные результаты ранее были получены для ряда квазипериодических разбиений плоскости. В заключении сформулирован ряд направлений для дальнейшего исследования.
261-271 42
Аннотация
n-кратной полугруппой называется непустое множество G, снабженное n бинарными операциями  $$\fbox{1}\,, \fbox{2}\,, ..., \fbox{n}\,,$$ удовлетворяющими аксиомам  $$(x\fbox{r} \, y) \fbox{s}\, z=x\fbox{r}\,(y\fbox{s}\,z)$$ для всех  $$x,y,z \in G$$  и  $$r,s\in \{1,2,...,n\}.$$ Это понятие рассматривал Н.А.Корешков в контексте теории  n-кратных алгебр ассоциативного типа. Доппельполугруппы являются  2-кратными полугруппами.  n-кратные полугруппы имеют связи с интерассоциативными полугруппами, димоноидами, триоидами, доппельалгебрами, дуплексами, G-димоноидами и рестриктивными биполугруппами. Если операции  n-кратной полугруппы совпадают, то  она превращается в полугруппу. Таким образом,  n-кратные полугруппы являются обобщением полугрупп. Класс всех n-кратных полугрупп образует многообразие. Недавно были построены свободная n-кратная полугруппа, свободная коммутативная  n-кратная полугруппа, свободная k-нильпотентная  n-кратная полугруппа и свободное произведение произвольных  n-кратных полугрупп. Класс всех прямоугольных  n-кратных полугрупп, то есть  n-кратных полугрупп с n прямоугольными полугруппами, образует подмногообразие многообразия  n-кратных полугрупп. В этой статье мы строим свободную прямоугольную n-кратную полугруппу и характеризуем наименьшую прямоугольную конгруэнцию на свободной n-кратной полугруппе.
272-281 28
Аннотация
Основная трудность, с которой приходится иметь дело при исследовании арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными параметрами, состоит в том, что общий наименьший знаменатель нескольких первых коэффициентов соответствующих степенных рядов растет слишком быстро с увеличением числа этих коэффициентов. Последнее обстоятельство делает невозможным использование известного в теории трансцендентных чисел метода Зигеля для проведения упомянутого исследования. Применение названного метода предполагает использование принципа Дирихле для построения функциональной линейной приближающей формы. Это построение является первым этапом длинного и сложного рассуждения, приводящего в конечном итоге к получению требуемого арифметического результата. Попытка применить принцип Дирихле в случае функций с иррациональными параметрами наталкивается на непреодолимые трудности из-за упомянутого выше слишком быстрого роста общего наименьшего знаменателя коэффициентов соответствующих рядов Тейлора. Вследствие этого в случае функций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективное построение линейной приближающей формы (или совокупности таких форм при использовании совместных приближений). Коэффициенты построенной формы являются многочленами с алгебраическими коэффициентами. Для общего наименьшего знаменателя этих коэффициентов требуется затем получить приемлемую оценку сверху его абсолютной величины. Известные оценки такого рода нуждаются в некоторых случаях в уточнении. Это уточнение осуществляется с применением теории делимости в квадратичных полях; дополнительно используются сведения о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. В настоящей работе рассматривается один из вариантов эффективного построения совместных приближений для гипергеометрической функции общего вида и ее производных. Общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов, входящих в эти приближения, оценивается затем с помощью уточненного варианта соответствующей леммы. Все это позволяет получить новый результат об арифметической природе значений указанной функции в малой по абсолютной величине ненулевой точке мнимого квадратичного поля.
282-295 20
Аннотация

В статье дан новый вариант метода Адамара в теории L-функций Дирихле. Доказано этим методом отсутствие нулей L-функций на единичной прямой. Показано, что метод Адамара позволяет получить результаты, которые по точности соответствуют результатам Валле-Пуссена в асимптотическом законе распределения простых чисел. Тем самым расширены возможности метода Адамара. Получены новые оценки дзетовой суммы, скрученной с характером Дирихле по модулю, равному степени нечётного простого числа, что позволяет получить современную границу нулей для соответствующей L-функции Дирихле.

296-315 5
Аннотация

Существует широкий спектр задач посвященных возможности обхода лабиринта конечными автоматами. Они могут отличаться как типом лабиринта(это может быть любой граф, даже бесконечный), так и самими автоматами или их количеством. В частности у конечного автомата может быть память(магазин) или генератор случайных битов. В дальнейшем будем считать, что робот — это конечный автомат с генератором случайных битов, если не сказано иное. Кроме того в этой системе могут быть камни-объект, который конечный автомат может переносить по графу, и флажки- объект, наличие которого конечный автомат может только "наблюдать". Эта тема представляет интерес в связи с тем, что некоторые из этих задач тесно связаны с задачами из теории вероятности и сложности вычислений.

В данной работе продолжают решаться некоторые открытые вопросы, поставленные в диссертации Аджанса: обход роботом с генератором случайных битов целочисленных пространств при наличии камня и подпространства флажков [4]. Подобные задачи помогают развить математический аппарат в данной области, кроме того в этой работе мы исследуем практически не изученное поведение робота с генератором случайных чисел. Представляется чрезвычайно важным перенос комбинаторных методов, разработанных А. М. Райгородским в задачах этой тематики.

Данная работа посвящена обходу лабиринта конечным автоматом с генератором случайных битов. Эта задача является частью активно развивающейся темы обхода лабиринта различными конечными автоматами или их коллективами, которая тесно связана с задачами из теории сложности вычислений и теории вероятности. В данной работе показано, при каких размерностях робот с генератором случайных битов и камнем может обойти целочисленное пространство с подпостранством флажков. В данной работе будет изучено поведение конечного автомата с генератором случайных битов на целочисленных пространствах. В частности доказано, что робот обходит Z2 и не может обойти Z3; робот c камнем обходит Z4 и не может обойти Z5; робот c камнем и флажком обходит Z6 и не может обойти Z7; робот c камнем и плоскостью флажков обходит Z8 и не может обойти Z9.

316-332 12
Аннотация

Развивается подход к построению и классификации полуполевых проективных плоскостей с использованием линейного пространства и регулярного множества. Решается задача построения проективной плоскости с фиксированными ограничениями на группу коллинеаций (автоморфизмов).
Проективная плоскость называется полуполевой, если ее координатизирующее множество есть полуполе, или кольцо с делением. Это алгебраическая система с двумя бинарными операциями, удовлетворяющая всем аксиомам тела, за исключением, возможно, ассоциативности умножения. Коллинеация конечной проективной плоскости порядка p2n (p > 2 простое) называется бэровской, если она фиксирует поточечно подплоскость порядка pn. Если порядок бэровской коллинеации делит pn − 1, но не делит pi − 1 при i < n, то коллинеация называется p-примитивной. Полуполевая плоскость, допускающая такую коллинеацию, также называется p-примитивной.
М. Кордеро в 1997 г. построила четыре примера 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 с ядром порядка 9, используя регулярное множество, образованное 2 × 2-матрицами. В статье рассмотрен общий случай 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 c ядром порядка ≤ 9 и регулярным множеством в кольце 4 × 4-матриц. Полученные авторами ранее независимо теоретические результаты применены для построения матричного представления регулярного множества и группы автотопизмов. Выделено восемь классов изоморфизма 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, включающих примеры М. Кордеро. Разработан алгоритм, оптимизирующий проверку попарной изоморфности полуполевых плоскостей, и его программная реализация. Показана разрешимость полной группы коллинеаций 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, вычислены порядки автотопизмов, в том числе бэровских.
Описано строение попарно неизотопных полуполей порядка 81, координатизирующих восемь попарно неизоморфных 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81. Найдены спектры мультипликативных луп ненулевых элементов, лево- и правосторонние спектры, максимальные подполя и автоморфизмы. Полученные результаты иллюстрируют гипотезу Г. Венэ о лево- или правопримитивности конечного полуполя и демонстрируют некоторые аномальные свойства конечных полуполей.
Методы и алгоритмы, представленные в статье, могут быть использованы для построения и исследования полуполей и полуполевых проективных плоскостей нечетного порядка pn также для p ≥ 3 и n ≥ 4.

333-348 8
Аннотация

В работе рассматривается одна из разновидностей радиотехнических систем, а именно — система частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ). Математическая модель такой системы описывается системой дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством. Для системы ЧФАПЧ определены условия формирования режимов скрытой синхронизации. Не смотря, на многочисленные работы, посвященные системам ЧФАПЧ, открытыми остаются вопросы нахождения скрытой синхронизации, определение механизмов ее возникновения, нахождение условий бифуркаций циклов и изучение их сценариев, возникновения сложно модулированных колебаний. Условиями формирования срытой синхронизации являются наличие в системе фазовой автоподстройки частоты режимов биения, колебательно-вращательных циклов, наличие мультистабильности. Под мультистабильностью понимают сосуществование в фазовом пространстве нескольких аттракторов, в частности аттракторами могут являться предельные циклы. Один из случаев мультистабильности – фазовая мультистабильность, когда аттракторы отличаются друг от друга значениями разности фаз между колебаниями системы. Фазовое пространство в системах с фазовой мультистабильностью оказывается более сложно устроенным, чем в системах с единственным устойчивым предельным циклом. В формировании мультистабильности определяющую роль играют неустойчивые предельные множества соответствующие ненаблюдаемым в эксперименте колебаниям. В связи с этим актуальным является разработка методов определения мультистабильности и определения механизмов ее появления. В связи свыше изложенным актуальной является задача разработки численных алгоритмов, позволяющих находить в радиотехнических системах сложномодулированные колебания и определять механизмы их возникновения. Предложены аналитические методы определения скрытой синхронизации системы ЧФАПЧ, позволяющие разработать эффективные вычислительные методы изучения математических моделей радиотехнических систем с применением компьютерных технологий.

349-360 14
Аннотация

В статье [11] авторами рассматривалась реализация T представления группы SO(2, 2) в одном пространстве однородных функций, заданных на 2×4-матрицах. Настоящее продолжение этой статьи посвящено вычислению матричных элементов тождественного оператора T(e) и операторов представления T(g) для подходящих элементов g группы относительно смешанного базиса, соответствующего двум различным базисам пространства представления, и вычислению некоторых несобственных интегралов, содержащих произведение функций Бесселя–Клиффорда и Уиттекера. Полученные результаты могут быть переписаны на языке интегральных преобразований Ганкеля–Клиффорда и их аналога. Первое и второе преобразования Ганкеля–Клиффорда, введенные сооответственно Хайеком и Перезом–Робайной, играют важную роль в теории дифференциальных операторов дробного порядка (см., например, [6, 8]). Близкий результат получен авторами недавно [12] для регулярной кулоновской функции.

361-371 6
Аннотация

В статье исследуются аналоги для случая многочленной формальной группы операторов введенных Кольманом для формальных группа Любина–Тэйта и мультипликативной формальной группы. Даны явные конструкции операторов нормы и следа для рядов Лорана, проверены их основные свойства. Также изучены собственные и корневые значения этих операторов и построен гомоморфизм связывающий аддитивную структуру и структуру формального модуля на множестве формальных степенных рядов.

372-389 4
Аннотация

Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (β−1, β−2), где β – действительный корень уравнения β3 = β2+ β +1 и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози. В дальнейшем были введены многочисленные обобщения фракталов Рози, нашедшие применения в целом ряде задач теории чисел, теории динамических систем и комбинаторики.

Журавлев ввел бесконечную последовательность разбиений исходного фрактала Рози на фрактальные множества и показал, что они также состоят из множеств ограниченного остатка. В настоящей работе рассматривается задача о построении обобщения таких разбиений для фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо.

В работе введена бесконечная последовательность разбиений d − 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени d, на фрактальные множества d типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Доказан ряд свойств, описывающих самоподобие введенных разбиений.

Показано, что введенные разбиения являются так называемыми обобщенными перекладывающимися разбиениями относительно некоторого сдвига тора. В частности, действие данного сдвига на разбиении сводится к перекладыванию d центральных фигур разбиения. В качестве следствия получено, что разбиение Рози произвольного порядка состоит из множеств ограниченного остатка относительно рассматриваемого сдвига тора.

Также доказано, что орбита рассматриваемого сдвига тора обладает свойством самоподобия.

Краткие сообщения

390-393 10
Аннотация

Целью данной работы является использование PI-теории для упрощения результатов Дикса и Левина [4] об автоморфизмах свободной алгебры F{X}, а именно: если якобиан обратим, тогда каждый эндоморфизм является эпиморфизмом. Результаты переносятся на широкий класс колец.

394-400 4
Аннотация

Изучается взаимосвязь между экстремальными задачами типа Турана и Никольского – Бернштейна на Rd с весом Данкля. Задача Турана состоит в нахождении супремума заданного момента положительно определенной (относительно преобразования Данкля) функции с носителем в евклидовом шаре и фиксированным значением в нуле. В точном L1-неравенстве Никольского–Бернштейна оценивается супремум-норма лапласиана Данкля целой функции экспоненциального сферического типа с единичной L1-нормой. Также отмечается связь с экстремальными задачами типа Фейера и Бомана. Преобразование Данкля покрывает случай классического преобразования Фурье в случае единичного веса.

Неравенства Никольского - -Бернштейна являются классическими в теории приближений, а задачи типа Турана имеют приложения в метрической геометрии. Тем не менее мы доказываем, что они имеют один и тот же ответ, который явно выписывается. Простое доказательство опирается на наши старые результаты из теории решения экстремальных задач для преобразования Данкля.

Доклады молодых ученых

405-429 4
Аннотация

Данная работа посвящена разработке нового подхода для оценки снизу константы наилучших диофантовых приближений. История вопроса оценки константы наилучших диофантовых приближений восходит к П. Г. Дирихле. С течением времени подходы, применяемые для решения этой задачи претерпели серьезные изменения. Из алгебры (П. Г. Дирихле, А. Гурвиц, Ф. Фуртвенглер) это задача перешла в область геометрии чисел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс). Нельзя не отметить такую интересную составляющую данной проблематики, как тесная взаимосвязь диофантовых приближений с геометрией чисел вообще, и алгебраическими решетками в частности (Дж. В. С. Касселс, А. Д. Брюно). Это дало новые возможности, как для применения уже известных результатов, так и для применения новых подходов в проблеме наилучших диофантовых приближений (А. Д. Брюно, Н. Г. Мощевитин).

В середине двадцатого века Г. Дэвенпортом была найдена фундаментальная связь значение константы наилучших совместных диофантовых приближений и критического определителя звездного тела специального вида. Позднее Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя к оценке его значения с помощью вычисления наибольшего значения Vn,s – объема параллелепипеда с центром в начале координат обладающего определенными свойствами. Этот подход позволил получить оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для n = 2, 3, 4 (см. работы Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса).

В данной работе, основываясь на описанном выше подходе, получены оценки n = 5 и n = 6. Идея построения оценок отличается от работы Т. Кьюзика. С помощью численных экспериментов были получены вначале примерные, а затем и точные значения оценок Vn,s. Доказательство этих оценок достаточно громоздко и представляет в первую очередь техническую сложность. Другим отличием построенных оценок является возможность обобщить их на любую размерность.

В рамках доказательства оценок константы наилучших диофантовых приближений нами был решен ряд многомерных оптимизационных задач. При их решении мы достаточно активно использовали математический пакет Wolfram Mathematica. Эти результаты являются промежуточным шагом для аналиттических доказательств оценок Vn,s и константы наилучших диофантовых приближений Cn для n ≥ 3.

В процессе численных экспериментов была также получена интересная информация о структуре значений Vn,s. Эти результаты достаточно хорошо согласуется с результатами полученными в работах С. Красса. Вопрос о структуре значений Vn,s для больших размерностей мало исследован и может представлять значительный интерес как с точки геометрии чисел, так и с точки теории диофантовых приближений.

История математики и приложений

430-436 5
Аннотация
В работе изложен краткий обзор по истории развития новых разделов математики и их влияние на теоретические исследования механики композиционных материалов. Показан вклад российских и советских математиков и механиков, позволивший создать функциональную основу для изучения механических свойств композитов – новых материалов, получивших широкое применение в технике и народном хозяйстве. Композитные материалы были созданы во второй половине ХХ века. Они представляют собой многокомпонентные структуры, составленные из различных однородных материалов. Наиболее распространенными являются двухкомпонентные структуры из матрицы и наполнителя. Технологически эти компоненты могут составлять детерминированные или случайные структуры. Изменяя структуру и свойства компонентов, можно получать материалы с заранее заданными макроскопическими свойствами (эффективные свойства), необходимыми для конкретного применения. Появление композитных материалов вызвало бурный рост исследований механических свойств, позволяющих проектировать эти материалы. Эти исследования велись как в теоретическом, так и в практическом плане. Теоретические исследования, сводились в основном, к построению математических моделей механического поведения композитов, как структурно-неоднородных материалов.
437-452 2
Аннотация

В работе обсуждается эволюция курса математического анализа в отечественных университетах в первой половине ХХ столетия и роль в этом процессе профессора Ленинградского университета Г. М. Фихтенгольца (1888–1959), автора классических сочинений — трёхтомного «Курса дифференциального и интегрального исчисления» (1947–1949) и двухтомного учебника «Основы математического анализа» (1955–1956).

453-477 7
Аннотация

В работе представлены сравнительные схемы классического производства изделий сложной формы и их получения с применением аддитивных технологий с указанием основных положительных и отрицательных аспектов применения аддитивных технологий. Перечислены основные технологии аддитивного производства изделий, с указанием специфики их применения. Рассказано о способах получения и свойствах порошковых материалов. Описана технология сфероидизации порошковых материалов и ее пост-процессы. Представлена концепция полного цикла аддитивного производства. Приведены основные программные пакеты для моделирования процессов аддитивного получения изделий из различных металлических систем.

478-493 11
Аннотация

Хрупкое разрушение высокопрочных металлов и сплавов применяемых на предприятиях химической и нефтеперерабатывающей промышленности, вызванное воздействием агрессивных водородсодержащих сред, представляет собой серьезную научную проблему, актуальность которой за последние десятилетия резко возросла в связи с открытием аномального воздействия водорода на комплекс свойств металлов и сплавов (аномальная пластическая автодеформация железа, структурно-фазовые превращения, синергетические эффекты микропластичности, эффект обратимой потери формы в аморфных металлических сплавах и многие другие). Значительное количество источников водорода (коррозия в водных растворах, абсорбция водорода при производстве сварочных операций и нанесении технологических защитных покрытий или при катодной защите подземных трубопроводов) вызывает значительные трудности при описании процессов водороднойдеградации металлических материалов. Деградация проявляется различными способами, такими как: водородное растрескивание (ВР) высокопрочных сталей; участие водорода в процессе коррозионного растрескивания под напряжением (КРН) нержавеющих сталей; растрескивание труб ядерных реакторов, выполненных из циркониевых сплавов и охрупчивание титановых сплавов путем образования гидрида, деградация GaAs монолитных СВЧ-интегральных схем на спутниках и др. Вредное влияние водорода на механические свойства впервые было отмечено Джонсоном в 1875 г. С того времени ученые добились многих успехов в разработке металлов с оптимальными параметрами прочности и пластичности. Несмотря на многолетние исследования проблема взаимодействия систем металл-водород остается открытой в связи с разнообразием подходов и методик к оценке охрупчивающего воздействия водорода и водородсодержащих сред. Так вплоть до настоящего времени не удалось установить единый механизм взаимодействия водорода с металлическими материалами, который позволил бы объяснить всю совокупность явлений, связанных с водородным разрушением. Поэтому анализ механизмов водородного растрескивания металлических систем и разработка методов защиты стального проката от коррозионно-механического разрушения являются актуальными направлениями научной и практической деятельности.

494-505 4
Аннотация

В статье рассказывается об истории возникновения Варшавской математической школы В. Серпинского и Львовской школы функционального анализа С. Банаха, сыгравших важную роль в развитии новых областей математики в первой половине XX в. Особое внимание уделено взаимосвязям между польскими и московскими математиками в период между двумя мировыми войнами. Большую часть своих выдающихся результатов, в особенности по топологии, московские ученые публиковали в только что созданных польских математических журналах. Лидеры школ постоянно поддерживали тесные дружеские отношения, свидетельством чему являются сохранившиеся письма Н. Н. Лузина и В. Серпинского, П. С. Урысона и К. Куратовского, Н. К. Бари и А. Райхмана, в которых среди прочих обсуждаются вопросы организации математических исследований.

Освещено участие польских ученых в работе нескольких важных математических форумов, проходивших в то время в СССР: Первого Всесоюзного съезда математиков в Харькове (1930 г.), Международной конференции по дифференциальной геометрии и тензорному анализу (Москва, 1934 г.) и Международной топологической конференции (Москва, 1935 г.). Отмечено, что и в Москве, и в польских университетах в первой половине XX века начинают работать научные студенческие семинары, тематика которых также свидетельствует о постоянном интересе как польских, так и московских математиков к исследованиям своих коллег.

506-513 2
Аннотация

В данной статье анализируются наиболее крупные и важные работы Н. Е. Жуковского (1847-1921), связанные с развитием теоретической гидродинамики: о кинематике жидкого тела, о движении твердого тела имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью и о видоизменении метода Кирхгофа.

Работа посвящена 170-летию со дня рождения выдающегося русского ученого Николая Егоровича Жуковского.

514-532 5
Аннотация

На фоне становления и развития одного из перспективных методов физического материаловедения – механической спектроскопии - представлена история открытия тульскими металлофизиками Н.Н. Сергеевым и В.С. Агеевым ранее неизвестного эффекта неупругого поведения сталей. Описана их первая попытка теоретического описания механизма его формирования. Изложена дальнейшая судьба обнаруженного эффекта в переплетении с судьбами его исследователей. Предложена история реновации забытого почти на 30 лет открытия. Подробно представлена реализованная через десятилетия последователями первооткрывателей многоплановая программа масштабного изучения механизма незаслуженнозабытого эффекта. Описаны споры со скептиками. Изложены основные альтернативные идеи, как причины научных споров вокруг природы эффекта. Даны ответы на критические вопросы, позволившие авторам статьи убедить скептиков в реальности обнаруженного явления и создать на его базе новое направление в исследовании сталей и сплавов – метод оценки их повреждаемости по результатам механической спектроскопии. Описаны примеры промышленного применения созданного направления. Перечислены области применения разработанной авторами на основе возрожденного метода методики применения комплекса эффектов неупругости для разномасштабного описания структурных изменений в сталях и сплавах в ходе внешних деструктивных воздействий различной природы. Описаны новые пути развития и совершенствования предложенного авторами метода в исследовании изделий, полученных как по типовой слитковой технологии, так и в условиях аддитивных технологий 3d печати.

Памятные даты

533-558 8
Аннотация

Важнейшей научной проблемой, решаемой под руководством профессора Криштала М. А. была проблема коррозионно-механического разрушения высокопрочных арматурных железных сплавов. Много сил было затрачено для решения данной научной проблемы громадного прикладного значения. Были установлены комплексные закономерности и выявлены физическая природа и механизмы водородного охрупчивания и разрушения арматурных высокопрочных сталей, применяемых в композиционных железобетонных конструкциях и сооружениях в виде волокнистых стальных арматурных наполнителей. В тульском регионе в решении данной проблемы значительный вклад внес ученик Михаила Ароновича Криштала – профессор Николай Николаевич Сергеев, защитивший под его руководством кандидатскую и докторскую диссертации.



Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)