Обобщённые разбиения Рози и множества ограниченного остатка
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-372-389
Аннотация
Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (β−1, β−2), где β – действительный корень уравнения β3 = β2+ β +1 и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози. В дальнейшем были введены многочисленные обобщения фракталов Рози, нашедшие применения в целом ряде задач теории чисел, теории динамических систем и комбинаторики.
Журавлев ввел бесконечную последовательность разбиений исходного фрактала Рози на фрактальные множества и показал, что они также состоят из множеств ограниченного остатка. В настоящей работе рассматривается задача о построении обобщения таких разбиений для фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо.
В работе введена бесконечная последовательность разбиений d − 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени d, на фрактальные множества d типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Доказан ряд свойств, описывающих самоподобие введенных разбиений.
Показано, что введенные разбиения являются так называемыми обобщенными перекладывающимися разбиениями относительно некоторого сдвига тора. В частности, действие данного сдвига на разбиении сводится к перекладыванию d центральных фигур разбиения. В качестве следствия получено, что разбиение Рози произвольного порядка состоит из множеств ограниченного остатка относительно рассматриваемого сдвига тора.
Также доказано, что орбита рассматриваемого сдвига тора обладает свойством самоподобия.
Список литературы
1. Rauzy G. Nombres algébriques et substitutions // Bull. Soc. Math. France. 1982. Vol. 110. P. 147–178.
2. Arnoux P., Berthe V., Ei H., Ito S. Tilings, Quasicrystals, Discrete Planes, Generalized Substitutions, and Multidimensional Continued Fractions // Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science Proceedings AA (DM-CCG). 2001. P. 059–078.
3. Arnoux P., Ito S. Pisot substitutions and Rauzy fractals // Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin. 2001. Vol. 8, № 2. P. 181–207.
4. Pytheas Fogg N. Substitutions in dynamics, aritheoremetics and combinatorics. Springer. 2001.
5. Akiyama S. Self affine tiling and Pisot numeration system // Number Theory and its Applications. Kanemitsu: Kluwer. 1999. P. 7–17.
6. Combinatorics, Automata and Number Theory. Edited by V. Berthe, M. Rigo. Cambridge University Press, 2010.
7. Siegel A., Thuswaldner J. Topological properties of Rauzy fractals. Memoires de la SMF. Vol. 118. 2009.
8. Shutov A. V., Maleev A. V. Generalized Rauzy fractals and quasiperiodic tilings // Classification and Application of Fractals: New Reserch. Nova Publishers. 2012. P. 55–111.
9. Журавлев В. Г. Разбиения Рози и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. 2005. Т. 322. С. 83–106.
10. Hecke E. Eber Analytische Funktionen und die Verteilung van Zahlen mod Eins // Math. Sem. Hamburg Univ. 1921. Vol. 5. P. 54–76.
11. Kesten H. On a conjecture of Erd‥os and Sz‥usz related to uniform distribution mod 1 // Acta Arithmetica. 1966. Vol. 12, № 2. P. 193–212.
12. Oren I. Admissible functions with multiple discontinuities // Israel Journal of Mathematics. 1982. Vol. 42, № 4. P. 353–360.
13. Шутов А. В. Оптимальные оценки в проблеме распределения дробных долей на множествах ограниченного остатка // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. № 7. С. 168–175.
14. Красильщиков В. В., Шутов А. В. Описание и точные значения максимума и минимума остаточного члена проблемы распределения дробных долей // Математические заметки. 2011. Т. 89, № 1. С. 43–52.
15. Ferenczi S. Bounded remainder sets // Acta Arithmetica. 1992. Vol. 61, № 4. P. 319–326.
16. Grepstad S., Lev N. Sets of bounded discrepancy for multi-dimensional irrational rotation // Geometric and Functional Analysis. 2015. Vol. 25, № 1. P. 87–133.
17. Rauzy G. Ensembles a restes bornes // Seminaire de theorie des nombres de Bordeaux 1983/1984. Vol. 24. Bordo, 1984. P. 1–12.
18. Журавлев В. Г. Многомерная теорема Гекке о распределении дробных частей // Алгебра и анализ. 2012. Т. 24, № 1. С. 95–130.
19. Кузнецова Д. В., Шутов А. В. Перекладывающиеся разбиения тора, подстановка Рози и множества ограниченного остатка // Математические заметки. 2015. Т. 98, № 6. С. 878–897.
20. Szüsz R. Über die Verteilung der Vielfachen einer komplexen Zahl nach dem Modul des Einheitsquadrats // Acta Math.Acad.Sci.Hungar. 1954. Vol. 5, № 1. P. 35–39.
21. Liardet P. Regularities of distribution // Compositio Math. 1987. Vol. 61, № 3. P. 267–293.
22. Heynes A., Koivusalo H. Constructing bounded remainder sets and cut-and-project sets which are bounded distance to lattices // Israel Journal of Mathematics. 2016. Vol. 212, № 1. P. 189–201.
23. Абросимова А. А. BR-множества // Чебышевский сборник. 2015. Т. 16, № 2. С. 8–22.
24. Журавлев В. Г. Перекладывающиеся торические развертки и множества ограниченного остатка // Записки научных семинаров ПОМИ. 2011. Т. 392. С. 95-–145.
25. Akiyama S., Barat G., Berthe V., Siegel A. Boundary of central tiles associated with Pisot betanumeration and purely periodic expansions // Monatshefte fur Mathematik. 2008. Vol. 155, № 3. P. 377–419.
26. Akiyama S. On the boundary of self-affine tilings generated by Pisot numbers // Journal of Math. Soc. Japan. 2002. Vol. 54, № 2. P. 283–308.
27. Akiyama S. Pisot number system and its dual tiling // Physics and Theoretical Computer Science. IOS Press. 2007. P. 133–154.
28. Parry W. On the β-expansions of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 1960. Vol. 11, № 3. P. 401–416.
29. Renyi A. Representations for real numbers and their ergodic properties // Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 1957. Vol. 8, № 3. P. 477–493.
30. Frougny C., Solomyak B. Finite beta-expansions // Ergod. Th. and Dynam. Sys. 1992. Vol. 12, № 4. P. 713-–723.
31. Berthe V., Siegel A. Tilings associated with beta-numeration and substitution // Integers: Electronic journal of combinatorial number theory. 2005. Vol. 5, № 3. ♯A02.
32. Weyl H. Üeber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins // Math. Ann. 1916. Vol. 7, № 3. P. 313–352.
33. Журавлев В. Г. Индуцированные множества ограниченного остатка // Алгебра и анализ. 2016. Т. 28, № 5. С. 171–194.
34. Шутов А. В. Подстановки и множества ограниченного остатка // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, № 2. С. 499-520.
Рецензия
Для цитирования:
Шутов А.В. Обобщённые разбиения Рози и множества ограниченного остатка. Чебышевский сборник. 2019;20(3):372-389. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-372-389
For citation:
Shutov A.V. Generalized Rauzy tilings and bounded remainder sets. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):372-389. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-372-389
Просмотров: 187
Послать статью по эл. почте 