Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Расширения Инабы полных полей характеристики 0

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-124-133

Полный текст:

Аннотация

В статье изучаются p--расширения полных дискретно нормированных полей смешанной характеристики, где p-характеристика поля вычетов рассматриваемого поля. Известно, что любое вполне разветвленное расширение Галуа степени p-с немаксимальным скачком ветвления может быть задано уравнением Артина-Шрайера; при этом ограничение сверху на скачок ветвления соответствует ограничению снизу на нормирование правой части уравнения. Задача построения расширений с заданной группой Галуа произвольного конечного порядка не решена. В работах Инабы рассматривались p-расширения полей характеристики p, заданные матричным уравнением $$X^{(p)}=AX$$, которое мы здесь называем уравнением Инабы. В этом уравнении $$X^{(p)}$$ обозначает  матрицу, полученную возведением каждого элемента квадратной матрицы X в степень p, а - некоторая унипотентная матрица A над данным полем. Такое уравнение задает последовательность расширений полей, каждое из которых задано уравнением Артина-Шрайера. Было доказано, что любое уравнение Инабы задает расширение Галуа, и обратно, любое конечное p-расширение Галуа задается уравнением такого вида. В настоящей работе для полей смешанной характеристики доказано, что расширение, задаваемое уравнением Инабы, является расширением Галуа, если нормирования элементов матрицы удовлетворяют некоторым оценкам снизу, т.е. если скачки промежуточных расширений степени p достаточно малы. Данная конструкция может применяться при решении задачи погружения расширений полей. Уравнение Инабы задает последовательность расширений полей, полученную последовательным присоединением элементов диагоналей матрицы. Это означает, что, если расширение L/K задано уравнением Инабы, и матрица A выбрана так, что на диагоналях с большими номерами записаны нули, то можно получать расширения, содержащие L/K, заменяя нули другими элементами. В работе доказано, что любое нециклическое расширение степени $$p^2$$ с достаточно маленькими скачками можно погрузить в расширение с группой Галуа, изоморфнной группе унипотентных матриц $$3\times 3$$ над полем из p элементов. В конце статьи сформулирован ряд открытых вопросов, при исследовании которых, возможно, окажется полезной данная конструкция.

Об авторах

Сергей Владимирович Востоков
Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург)
Россия

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей алгебры и теории чисел



Игорь Борисович Жуков
Санкт-Петербургский государственный университет (г. Санкт-Петербург)
Россия

доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел



Ольга Юрьевна Иванова
Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения (г. Санкт-Петербург)
Россия

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры высшей математики и механики № 1



Список литературы

1. Cassels, J. W. S. Frohlich, A. Algebraic Number Theory / J. W. S. Cassels, A. Frohlich // Academiv Press, London and New-York, 1967.

2. Fesenko, I. B., Vostokov, S. V. Local fields and their extensions. A constructive approach/ I. B. Fesenko and S. V. Vostokov // Second edition, AMS, Providence, RI, 2002.

3. Hyodo, O. Wild ramification in the imperfect residue field case / O. Hyodo // Adv. Stud. Pure Math. 1987. Vol. 12, P. 287–314.

4. Inaba, E. On matrix equations for Galois extensions of fields with characteristic p / E. Inaba // Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1961. Vol. 12, P. 26–36.

5. Inaba, E. On generalized Artin-Schreier equations / E. Inaba // Natur. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1962. Vol. 13, № 2. P. 1–13.

6. MacKenzie, R. E., Whaples, G. Artin–Schreier equations in characteristic zero / R. E. Mac-Kenzie, G. Whaples // Amer. J. Math. 1956. Vol. 78. P. 473–485.

7. Miki, H. On Zp-extensions of complete p-adic power series fields and function fields / H. Miki // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect 1A. 1974. Vol. 21. P. 377–393.

8. Xiao, L., Zhukov, I. Ramification in the imperfect residue field case, approaches and questions / L. Xiao, I. Zhukov // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 5. С. 695–740.

9. Zhukov, I. Explicit abelian extensions of complete discrete valuation fields / I. Zhukov // in book: Fesenko, I., Kurihara, M. (eds.) Invitation to Higher Local Fields. Geometry and Topology Monographs, 2000. Vol. 3. P. 117–122.

10. Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Фесенко И. Б. К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции / С. В. Востоков, И. Б. Жуков, И. Б. Фесенко // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, № 4. С. 91–118.

11. Востоков, С. В., Жуков, И. Б., Пак, Г. К. Расширения с почти максимальной глубиной ветвления / С. В. Востоков, И. Б. Жуков, Г. К. Пак // Записки научных семинаров С.-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН (ПОМИ). 1999. Т. 265. С. 77–109.

12. Востоков, С. В., Жуков И. Б. Некоторые подходы к построению абелевых расширений для p-адических полей / С. В. Востоков, И. Б. Жуков // Труды С.-Петерб. мат. общ. 1995. Т. 3. С. 194–214.

13. Жуков, И. Б. Структурная теорема для полных полей / И. Б. Жуков // Тр. С.-Петербург. мат. общ-ва. 1995. Т. 3. С. 194–214.

14. Жуков, И. Б., Лысенко, Е. Ф. Построение циклического расширения степени p^2 полного поля / И. Б. Жуков, Е. Ф. Лысенко // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2017. T. 455. С. 52–66.

15. Мадунц, А. И. Формальные группы Любина–Тейта над кольцом целых многомерного локального поля / А. И. Мадунц // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2001. Т. 281. С. 221–226.


Для цитирования:


Востоков С.В., Жуков И.Б., Иванова О.Ю. Расширения Инабы полных полей характеристики 0. Чебышевский сборник. 2019;20(3):124-133. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-124-133

For citation:


Vostokov S.V., Zhukov I.B., Ivanova O.Y. Inaba extension of complete field of characteristic 0. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):124-133. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-124-133

Просмотров: 19


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)