О линейной независимости значений некоторых гипергеометрических функций над мнимым квадратичным полем

Основная трудность, с которой приходится иметь дело при исследовании арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональными параметрами, состоит в том, что общий наименьший знаменатель нескольких первых коэффициентов соответствующих степенных рядов растет слишком быстро с увеличением числа этих коэффициентов. Последнее обстоятельство делает невозможным использование известного в теории трансцендентных чисел метода Зигеля для проведения упомянутого исследования. Применение названного метода предполагает использование принципа Дирихле для построения функциональной линейной приближающей формы. Это построение является первым этапом длинного и сложного рассуждения, приводящего в конечном итоге к получению требуемого арифметического результата. Попытка применить принцип Дирихле в случае функций с иррациональными параметрами наталкивается на непреодолимые трудности из-за упомянутого выше слишком быстрого роста общего наименьшего знаменателя коэффициентов соответствующих рядов Тейлора. Вследствие этого в случае функций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективное построение линейной приближающей формы (или совокупности таких форм при использовании совместных приближений). Коэффициенты построенной формы являются многочленами с алгебраическими коэффициентами. Для общего наименьшего знаменателя этих коэффициентов требуется затем получить приемлемую оценку сверху его абсолютной величины. Известные оценки такого рода нуждаются в некоторых случаях в уточнении. Это уточнение осуществляется с применением теории делимости в квадратичных полях; дополнительно используются сведения о распределении простых чисел в арифметической прогрессии. В настоящей работе рассматривается один из вариантов эффективного построения совместных приближений для гипергеометрической функции общего вида и ее производных. Общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов, входящих в эти приближения, оценивается затем с помощью уточненного варианта соответствующей леммы. Все это позволяет получить новый результат об арифметической природе значений указанной функции в малой по абсолютной величине ненулевой точке мнимого квадратичного поля.

гипергеометрическая функция, эффективная конструкция, линейная независимость, мнимое квадратичное поле

1. Galochkin A. I. On effective bounds for certain linear forms // New Advances in Transcendence theory. Cambridge, New Rochell, Melbourne, Sydney. 1988. P. 207–215.

2. Galochkin A. I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow journal of combinatorics and number theory. 2011. Vol. 1, iss. 2. P. 27–32.

3. Иванков П. Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 1, № 1. 1995. С. 191–206.

4. Галочкин А. И. Об арифметических свойствах некоторых целых гипергеометрических функций // Сибирский математический журнал. Т. XVII, № 6. 1976. C. 1220–1235.

5. Галочкин А. И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1978. № 6. С. 25–32.

6. Галочкин А. И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1979. № 1. С. 26–30.

7. Галочкин А. И. О некотором аналоге метода Зигеля // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1986. № 2. С. 30–34.

8. Иванков П. Л. О значениях гипергеометрических функций с различными иррациональными параметрами // Фундаментальная и прикладная математика. Т. 11, № 6. 2005. С. 65–72.

9. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций, том 2. М.: Наука, 1968.

10. Иванков П. Л. О совместных приближениях, учитывающих специфику однородного случая // Математические заметки. Т. 71, вып. 3. 2002. С. 390–397.

11. Chudnovsky D. V., Chudnovsky G. V. Applications of Pade approximations to diophantine inequalities in values of G-functions // Lecture Notes in Math. 1985. V. 1135. P. 9–51.

12. Шидловский А. Б. Трансцендентные числа М.: Наука, 1987.

13. Прахар К. Распределение простых чисел М.: Мир, 1967.

14. Иванков П. Л. О значениях функций с различными иррациональными параметрами в малых точках // Наука и образование. МГТУ им. Н. Э. Баумана. Электронный журнал. 2014, № 9. С. 65–74.

15. Иванков П. Л. О значениях продифференцированных по параметру гипергеометрических функций // Чебышевский сборник. Т. 13, вып. 2. 2012. С. 64–70.