О поведении функций, родственных функции Чебышева

Многие вопросы теории чисел связаны с исследованием рядов Дирихле $$f(s)=\sum_{n=1}^{\infty} a_nn^{-s}$$ и сумматорных функций $$\Phi(x)=\sum_{n\leq x} a_n$$ их коэффициентов. Наиболее известным примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана $$\zeta(s),$$  определенная для любого комплексного числа $$s=\sigma+it$$ с действительной частью $$\Re s=\sigma> 1$$ как $$ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}.$$ Квадрат дзета-функции $$\zeta^{2}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)}{n^s}, \qquad \Re s >1, $$ связан с функцией делителей $$\tau(n)=\sum_{d|n}1,$$ дающей  число натуральных делителей натурального числа n. Сумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^2(s)$$ является функция $$D(x)=\sum_{n\leq x}\tau(n),$$ вопросы асимптотической оценки которой известны как   проблема делителей Дирихле. В общем случае, $$ \zeta^{k}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau_k(n)}{n^s}, \qquad\Re s>1, $$ где функция $$\tau_k(n)=\sum_{n=n_1\cdot ...\cdot n_k}1$$ дает число представлений натурального числа  n в виде произведения  k натуральных сомножителей. Cумматорной функцией ряда Дирихле $$\zeta^k(s)$$ является функция $$D_k(x)=\sum_{n\leq x}\tau_k(n).$$ Ее изучение - это  многомерная проблема делителей Дирихле. Логарифмическая производная  $$\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции представима  в виде $$ \frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s},\quad\Re s >1. $$ Здесь $$\Lambda(n)$$ - функция Мангольдта, которая определяется как $$\Lambda(n)=\log p,$$ если $$n=p^{k}$$ для простого p и натурального k, и как $$\Lambda(n)=0,$$ иначе. Таким образом, функция Чебышева $$\psi(x)=\sum_{n\leq x}\Lambda(n)$$ является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}, $$ соответствующего логарифмической производной $$\displaystyle\frac{\zeta^{'}(s)}{\zeta(s)}$$ дзета-функции Римана. Она хорошо известна в аналитической теории чисел и связана со многими классическими  задачами, прежде всего, с  асимптотическим законом распределения простых чисел. В частности, хорошо известно представление  функции $$\psi(x)$$  по нулям дзета-функции: $$\psi(x)=x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho}}{\rho}+O\left(\frac{x\ln^{2}x}{T}\right), $$ где x=n+0,5, $$n \in\mathbb{N},$$ $$2\leq T \leq x,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ -  нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1. Аналогичные представления, связанные с нетривиальными нулями дзета-функции Римана, можно получить и для арифметических функций, родственных функции Чебышева, например, для функции $$\psi_{1}(x)=\sum_{n\leq x}(x-n)\Lambda(n).$$ Именно, в настоящей статье получено представление  функции $$\psi_1(x)$$  по нулям дзета-функции Римана следующего вида: $$\psi_1(x)=\frac{x^2}{2}-\left(\frac{\zeta^{'}(0)}{\zeta(0)}\right)x-\sum_{|\Im \rho|\leq T}\frac{x^{\rho+1}}{\rho(\rho+1)}+O\left(\frac{x^{2}}{T^2}\ln^2 x\right)+O\left(\sqrt{x}\ln^2x\right),$$ где x>2, $$T \geq 2,$$ и $$\rho=\beta+i\gamma$$ - нетривиальные нули дзета-функции Римана, то есть нули $$\zeta(s),$$ лежащие в критической полосе 0 < Res < 1.

арифметические функции, ряд Дирихле, суматорная функция коэф- фициентов ряда Дирихле, дзета-функция Римана, функция Чебышева, нетривиальные нули дзета-функции Римана, теорема Коши о вычетах

1. Деза Е. И., Варухина Л. В. Вопросы суммирования арифметических функций, родственных функции Чебышева // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, № 2. С. 319–333.

2. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.

3. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981.

4. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.

5. Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Известия АН СССР. Сер. матем. 1972. Т. 36, № 3. С. 475–483.

6. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

7. Пантелеева (Деза) Е. И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях // Математические заметки. 1988. Т. 44, вып. 4. С. 494–505.

8. Пантелеева (Деза) Е. И. Одно замечание к вопросу о проблеме делителей // Математические заметки. 1993. Т. 53, вып. 4. С. 148–152.

9. Пантелеева (Деза) Е. И. О средних значениях некоторых арифметических функций // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 5. С. 7–12.

10. Пантелеева (Деза) Е. И. Проблема делителей Дирихле в кольце целых Гауссовых чисел // Труды МПГУ. 2001. № 4. C. 23–34.

11. Пантелеева Е. И., Варухина Л. В. Об оценке сумматорных функций рядов Дирихле // Научные труды математического факультета МПГУ. Юбилейный сборник. М.: МПГУ, 2000. C. 45–56.

12. Пантелеева Е. И., Варухина Л. В. Об оценке дзетовой суммы и проблеме делителей Дирихле // Вестник Санкт-петербургского Университета. 2013. Сер. 1, вып. 4. С. 15–24.

13. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

14. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

15. Титчмарш Е. К. Теория функций. М.: Наука, 1980.

16. Iviˆc A. The Riemann zeta-function. New Jork: J. Wiley & Sons, 1985.

17. Deza E., Varukhina L. On mean values of some arithmetic functions in number fields // Discrete Mathematics. 2008. Vol. 308. P. 4892–4899.

18. Deza E., Varukhina L. Representations of arithmetic sums over non-trivial zeros of the zeta function // Asian-European Journal of Mathematics. 2008. Vol. 1, issue 4. P. 509–519.