Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

О некоторых 3-примитивных полуполевых плоскостях

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-316-332

Полный текст:

Аннотация

Развивается подход к построению и классификации полуполевых проективных плоскостей с использованием линейного пространства и регулярного множества. Решается задача построения проективной плоскости с фиксированными ограничениями на группу коллинеаций (автоморфизмов).
Проективная плоскость называется полуполевой, если ее координатизирующее множество есть полуполе, или кольцо с делением. Это алгебраическая система с двумя бинарными операциями, удовлетворяющая всем аксиомам тела, за исключением, возможно, ассоциативности умножения. Коллинеация конечной проективной плоскости порядка p2n (p > 2 простое) называется бэровской, если она фиксирует поточечно подплоскость порядка pn. Если порядок бэровской коллинеации делит pn − 1, но не делит pi − 1 при i < n, то коллинеация называется p-примитивной. Полуполевая плоскость, допускающая такую коллинеацию, также называется p-примитивной.
М. Кордеро в 1997 г. построила четыре примера 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 с ядром порядка 9, используя регулярное множество, образованное 2 × 2-матрицами. В статье рассмотрен общий случай 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 c ядром порядка ≤ 9 и регулярным множеством в кольце 4 × 4-матриц. Полученные авторами ранее независимо теоретические результаты применены для построения матричного представления регулярного множества и группы автотопизмов. Выделено восемь классов изоморфизма 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, включающих примеры М. Кордеро. Разработан алгоритм, оптимизирующий проверку попарной изоморфности полуполевых плоскостей, и его программная реализация. Показана разрешимость полной группы коллинеаций 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, вычислены порядки автотопизмов, в том числе бэровских.
Описано строение попарно неизотопных полуполей порядка 81, координатизирующих восемь попарно неизоморфных 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81. Найдены спектры мультипликативных луп ненулевых элементов, лево- и правосторонние спектры, максимальные подполя и автоморфизмы. Полученные результаты иллюстрируют гипотезу Г. Венэ о лево- или правопримитивности конечного полуполя и демонстрируют некоторые аномальные свойства конечных полуполей.
Методы и алгоритмы, представленные в статье, могут быть использованы для построения и исследования полуполей и полуполевых проективных плоскостей нечетного порядка pn также для p ≥ 3 и n ≥ 4.

Список литературы

1. Мазуров В. Д., Хухро Е. И. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь // Российская академия наук. Сибирское отделение. Институт математики. Новосибирск. 2006.

2. Hughes D. R., Piper F. C. Projective planes // Springer-Verlag, New-York. 1973.

3. Luneburg H. Translation planes // Springer-Verlag, New-York. 1980.

4. Biliotti M., Jha V., Johnson N. L., Menichetti G. A structure theory for two-dimensional translation planes of order q2 that admit collineation group of order q2 // Geom. Dedicata. 1989. Vol. 29, P. 7–43.

5. Huang H., Johnson N. L. 8 semifield planes of order 82 // Discrete Math. 1990. Vol. 80, № 1, P. 69–79.

6. Cordero M. Matrix spread sets of p-primitive semifield planes // Internat. J. Math. & Math. Sci. 1997. Vol. 20, № 2, P. 293–298.

7. Кравцова О. В. Полуполевые плоскости нечетного порядка, допускающие подгруппу автотопизмов, изоморфную A4 // Известия вузов. Математика. 2016. № 9, c. 10–25.

8. Подуфалов Н. Д., Бусаркина И. В. Группа автотопизмов полуполевой p-примитивной плоскости порядка q4// Алгебра и логика. 1996. T. 35, № 3, с. 334–344.

9. Подуфалов Н. Д., Бусаркина И. В., Дураков Б. К. О группе автотопизмов полуполевой p-примитивной плоскости // в сб. Материалы межрегиональной научной конференции ”Исследования по анализу и алгебре” ТГУ, Томск. 1998. с. 190–195.

10. Podufalov N. D. On spread sets and collineations of projective planes // Contem. Math. 1992. Vol. 131, № 1, P. 697–705.

11. Подуфалов Н. Д., Дураков Б. К., Кравцова О. В., Дураков Е. Б. О полуполевых плоскостях порядка 162 // Сиб. Мат. Журн. 1996. Том 37, № 3, с. 616–623.

12. Hiramine Y., Matsumoto M., Oyama T. On some extension of 1-sread sets // Osaka J. Math. 1987. Vol. 24, P. 123–137.

13. Johnson N. L. Sequences of derivable translation plans // Osaka J. Math. 1988. Vol. 25. P. 519–530.

14. Johnson N. L. Semifield plans of characteristic p admiting p-primitive Baer collineation // Osaka J. Math. 1989. Vol. 26. P. 281–285.

15. Cordero M. Semifield plans of order p4 that admit a p-primitive Baer collineation // Osaka J. Math. 1991. Vol. 28. P. 305–321.

16. Cordero-Vourtsanis M. The autotopizm group of p-primitive semifield plans of order p4 // ARS Combinatoria. 1991. Vol. 32. P. 57–64.

17. Levchuk V. M., Kravtsova O. V. Problems on structure of finite quasifelds and projective translation planes // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38, № 4, P. 688–698.

18. Кравцова О. В., Куршакова П. К. К вопросу об изоморфизме полуполевых плоскостей // Вестник КГТУ. Математические методы и моделирование. 2006. № 42, с. 13–19.

19. Kravtsova O. V. On automorphisms of semifields and semifield planes // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2016. Vol. 13, P. 1300–1313.

20. Albert A. A. Finite division algebras and finite planes // Proc. Sympos. Appl. Math., AMS, Provid. R.I. 1960. Vol. 10, P. 53–70.


Для цитирования:


Кравцова О.В., Шевелева И.В. О некоторых 3-примитивных полуполевых плоскостях. Чебышевский сборник. 2019;20(3):316-332. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-316-332

For citation:


Kravtsova O.V., Sheveleva I.V. On some 3-primitive projective planes. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):316-332. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-316-332

Просмотров: 12


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)