Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Взаимосвязь между константами Никольского – Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-143-153

Полный текст:

Аннотация

Пусть $$0<p\le \infty,$$ $$\mathcal{C}(n;p;r)=\sup_{T}\frac{\|T^{(r)}\|_{L^{\infty}[0,2\pi)}}{\|T\|_{L^{p}[0,2\pi)}}$$ и $$\mathcal{L}(p;r)=\sup_{F}\frac{\|F^{(r)}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}}{\|F\|_{L^{p}(\mathbb{R})}}$$ - точные константы Никольского-Бернштейна для r-х производных тригонометрических полиномов степени n и целых функций экспоненциального типа 1 соответственно. Недавно Е.Левин и Д.Любинский доказали, что для констант Никольского $$\mathcal{C}(n;p;0)=n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ М.Ганзбург и С.Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского-Бернштейна: $$\mathcal{C}(n;p;r)=n^{r+1/p}\mathcal{L}(p;r)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ Также они показали существование в этой задаче экстремальных полинома $$\tilde{T}_{n,r}$$ и функции $$\tilde{F}_{r}$$ соответственно. Ранее мы дали более точные границы в результате типа Левина-Любинского, доказав, что для всех p и n $$n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)\le \mathcal{C}(n;p;0)\le (n+\lceil 1/p\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p;0).$$ Здесь мы устанавливаем близкие факты для случая констант Никольского-Бернштейна, из которых также вытекает асимптотическое равенство Ганзбурга-Тихонова. Результаты формулируется в терминах экстремальных функций $$\tilde{T}_{n,r},$$ $$\tilde{F}_{r}$$ и коэффициентов Тейлора ядра типа Джексона-Фейера $$(\frac{\sin \pi x}{\pi x})^{2s}$$. Мы неявно используем полиномы типа Левитана, возникающие при применении равенства Пуассона. Мы формулируем одну гипотезу о знаках коэффициентов Тейлора экстремальных функций.

Об авторах

Дмитрий Викторович Горбачев
Тульский государственный университет (г. Тула)
Россия

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра прикладной математики и информатики



Иван Анатольевич Мартьянов
Тульский государственный университет (г. Тула)
Россия

аспирант, кафедра прикладной математики и информатики



Список литературы

1. Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horv´ath ´A. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 21–42. DOI: 10.1007/s10476-018-0103-6

2. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // J. d’Analyse Math. 2019 (to appear); arXiv:1708.09837. 2017. 21 p.https://arxiv.org/pdf/1708.09837.pdf

3. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for spherical polynomials // arXiv:1907.03832. 2019. 27 p. https://arxiv.org/pdf/1907.03832.pdf

4. Ganzburg M. Sharp constants of approximation theory. I. Multivariate Bernstein–Nikolskii type inequalities // arXiv:1901.04400. 2019. 19 p. https://arxiv.org/pdf/1901.04400.pdf

5. Ganzburg M., Tikhonov S. On Sharp Constants in Bernstein–Nikolskii Inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449–466.

6. Горбачев Д. В., Иванов В. И. Константы Никольского–Бернштейна для целых функций экспоненциального сферического типа в весовых пространствах // Тр. ИММ УрО РАН. 2019. Том 25, № 2. С. 75–87. DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-2-75-87

7. Горбачев Д. В., Добровольский Н. Н. Константы Никольского в пространствах $$L^{p}(mathbb{R},|x|^{2alpha+1},dx)$$ // Чебышевский сб. 2018. Том 19, № 2. С. 67–79. DOI: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79

8. Горбачёв Д. В., Мартьянов И. А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сборник. 2018. Том 19, № 2. С. 80–89. DOI: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89

9. Levin E., Lubinsky D. Lp Chritoffel functions, Lp universality, and Paley–Wiener spaces // J. D’Analyse Math. 2015. Vol. 125. P. 243–283.

10. Levin E., Lubinsky D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 3. P. 459–468.

11. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. Москва: Наука, 1977.


Для цитирования:


Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Взаимосвязь между константами Никольского – Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа. Чебышевский сборник. 2019;20(3):143-153. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-143-153

For citation:


Gorbachev D.V., Martyanov I.A. Interrelation between Nikolskii–Bernstein constants for trigonometric polynomials and entire functions of exponential type. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):143-153. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-143-153

Просмотров: 58


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)