Взаимосвязь между константами Никольского – Бернштейна для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа

Аннотация

Пусть $$0<p\le \infty,$$ $$\mathcal{C}(n;p;r)=\sup_{T}\frac{\|T^{(r)}\|_{L^{\infty}[0,2\pi)}}{\|T\|_{L^{p}[0,2\pi)}}$$ и $$\mathcal{L}(p;r)=\sup_{F}\frac{\|F^{(r)}\|_{L^{\infty}(\mathbb{R})}}{\|F\|_{L^{p}(\mathbb{R})}}$$ - точные константы Никольского-Бернштейна для r-х производных тригонометрических полиномов степени n и целых функций экспоненциального типа 1 соответственно. Недавно Е.Левин и Д.Любинский доказали, что для констант Никольского $$\mathcal{C}(n;p;0)=n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ М.Ганзбург и С.Тихонов обобщили этот результат на случай констант Никольского-Бернштейна: $$\mathcal{C}(n;p;r)=n^{r+1/p}\mathcal{L}(p;r)(1+o(1)),\quad n\to \infty.$$ Также они показали существование в этой задаче экстремальных полинома $$\tilde{T}_{n,r}$$ и функции $$\tilde{F}_{r}$$ соответственно. Ранее мы дали более точные границы в результате типа Левина-Любинского, доказав, что для всех p и n $$n^{1/p}\mathcal{L}(p;0)\le \mathcal{C}(n;p;0)\le (n+\lceil 1/p\rceil)^{1/p}\mathcal{L}(p;0).$$ Здесь мы устанавливаем близкие факты для случая констант Никольского-Бернштейна, из которых также вытекает асимптотическое равенство Ганзбурга-Тихонова. Результаты формулируется в терминах экстремальных функций $$\tilde{T}_{n,r},$$ $$\tilde{F}_{r}$$ и коэффициентов Тейлора ядра типа Джексона-Фейера $$(\frac{\sin \pi x}{\pi x})^{2s}$$. Мы неявно используем полиномы типа Левитана, возникающие при применении равенства Пуассона. Мы формулируем одну гипотезу о знаках коэффициентов Тейлора экстремальных функций.