Preview

Чебышевский сборник

Расширенный поиск

Структура конечной групповой алгебры одного полупрямого произведения абелевых групп и её приложения

https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-107-123

Полный текст:

Аннотация

В 1978 году Р. Мак-Элисом построена первая асимметричная кодовая криптосистема, основанная на применении помехоустойчивых кодов Гоппы, при этом эффективные атаки на секретный ключ этой криптосистемы до сих пор не найдены. К настоящему времени известно много криптосистем, основанных на теории помехоустойчивого кодирования. Одним из способов построения таких криптосистем является модификация криптосистемы Мак-Элиса с помощью замены кодов Гоппы на другие классы кодов. Однако, известно что криптографическая стойкость многих таких модификаций уступает стойкости классической криптосистемы Мак-Элиса.
В связи с развитием квантовых вычислений кодовые криптосистемы, наряду с криптосистемамми на решётках, рассматриваются как альтернатива теоретико-числовым. Поэтому актуальна задача поиска перспективных классов кодов, применимых в криптографии. Представляется, что для этого можно использовать некоммутативные групповые коды, т.е. левые идеалы в конечных некоммутативных групповых алгебрах.
Для исследования некоммутативных групповых кодов полезной является теорема Веддерберна, доказывающая существование изоморфизма групповой алгебры на прямую сумму матричных алгебр. Однако конкретный вид слагаемых и конструкция изоморфизма этой теоремой не определены, и поэтому для каждой группы стоит задача конструктивного описания разложения Веддерберна. Это разложение позволяет легко получить все левые идеалы групповой алгебры, т.е. групповые коды.
В работе рассматривается полупрямое произведение $$Q_{m,n} = (\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n) \leftthreetimes (\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)$$ абелевых групп и конечная групповая алгебра $$\mathbb{F}_q Q_{m,n}$$ этой группы. Для этой алгебры при условиях $$n \mid q -1$$ и $$\text{НОД}(2mn, q) = 1$$ построено разложение Веддербёрна. В случае поля чётной характеристики, когда эта групповая алгебра не является полупростой, также получена сходная структурная теорема. Описаны все неразложимые центральные идемпотенты этой групповой алгебры. Полученные результаты используются для алгебраического описания всех групповых кодов над $$Q_{m,n}.$$

Об авторах

Кирилл Владимирович Веденёв
Южный федеральный университет (г. Ростов-на-Дону).
Россия


Владимир Михайлович Деундяк

Россия

кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ФГАНУ НИИ «Спецвузавтоматика» (г. Ростов-на-Дону). 



Список литературы

1. Milies, C.P. & Sehgal, S. K. 2002, An inroduction to Group Rings, Kluwer Academic Publishers, Boston.

2. Lang, S., 2002, Algebra, Springer-Verlag, New York.

3. Kelarev, A. V. & Sol´e, P. 2001, ”Error correcting codes as ideals in group rings”, Contemp. Math., vol. 273, pp. 11–18.

4. Kouselo, E., Gonsales, S., Markov, V. T., Martines, K. & Nechaev, A.A. 2012, ”Ideal representations of Reed-Solomon and Reed-Muller codes”, Algebra Logic, vol. 51, no. 3, pp. 195–212.

5. Berman, S. D. 1967, ”On the theory of group codes”, Cybernetics, vol. 3, pp. 25–31.

6. Charpin, P. 1983, ”The Extended Reed-Solomon Codes Considered as Ideals or a Modular Algebra” North-Holland Mathematics Studies, vol. 75, pp. 171–176.

7. Tumaykin, I. N. 2018, ”Group Ring Ideals Related to Reed–Muller Codes”, J Math Sci, vol. 233, pp. 745–748.

8. Zimmermann, K.H. 1994, Beitrage zur algebraischen Codierungstheorie mittels modularer Darstellungstheorie, Bayreuther Mathematische Schriften Vol. 48, University of Bayreuth.

9. Assuena, S. & Milies, C.P 2019, ”Good codes from metacyclic groups”, Contemp. Math., vol. 727, pp. 39–49.

10. Olteanu, G. & Van Gelder, I. 2015, ”Construction of minimal non-abelian left group codes”, Des. Codes Cryptogr., vol. 75, no. 3, pp. 359–373.

11. Vedenev, K. V. & Deundyak, V.M 2018, ”Codes in Dihedral Group Algebra” (in Russian), Modeling and Analysis of Information Systems, vol. 25, no. 2, pp. 232–245.

12. https://csrc.nist.gov/Projects/Post-Quantum-Cryptography/Post-Quantum-Cryptography-Standardization Last visited 1.07.2019.

13. Minder, L. & Shokrollahi, A. 2007, ”Cryptanalysis of the Sidelnikov cryptosystem”, Lecture Notes in Computer Science, vol. 4515, pp. 347–360.

14. Chizhov, I. I. & Borodin, M. A. 2014, ”Effective attack on the McEliece cryptosystem based on Reed-Muller codes”, Discrete Mathematics and Applications, vol. 24, issue 5, pp. 273–280.

15. Sidelnikov, V. M., & Shestakov, S. O. 1992, ”On an encoding system constructed on the basis of generalized Reed–Solomon codes”,Discrete Mathematics and Applications, vol. 2, issue 4, pp. 439–444.

16. Broche, O. & Del RiO, A. 2007, ”Wedderburn decomposition of finite group algebras”, Finite Fields and Their Applications, vol. 13(1), pp. 71–79.

17. Bakshi, G. K., Gupta, S., & Passi, I. B. S. 2013, ”The structure of finite semisimple metacyclic group algebras”, J. Ramanujan Math. Soc, vol. 28(2), pp. 141–158.

18. Martinez, F. B. 2015, ”Structure of finite dihedral group algebra”, Finite Fields and Their Applications, vol. 35, pp. 204–214.

19. Coxeter, H. S., & Moser, W. O. 2013, Generators and relations for discrete groups, Springer Science & Business Media.

20. Magnus, W., Karrass, A., & Solitar, D. 2004, Combinatorial group theory: Presentations of groups in terms of generators and relations, Courier Corporation.

21. Jacobson, N. 1956, Structure of rings, Vol. 37, American Mathematical Soc.


Для цитирования:


Веденёв К.В., Деундяк В.М. Структура конечной групповой алгебры одного полупрямого произведения абелевых групп и её приложения. Чебышевский сборник. 2019;20(3):107-123. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-107-123

For citation:


Vedenev K.V., Deundyak V.M. The structure of finite group algebra of a semidirect product of abelian groups and its applications. Chebyshevskii Sbornik. 2019;20(3):107-123. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2019-20-3-107-123

Просмотров: 58


Creative Commons License
Контент доступен под лицензией Creative Commons Attribution 4.0 License.


ISSN 2226-8383 (Print)