Статьи
Авторы статьи ставили перед собой две основные задачи: охарактеризовать основные этапы жизни профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Андрея Борисовича Шидловского и дать краткий анализ его научной и педагогической деятельности, имевшей значительное влияние на развитие научных школ в области теории трансцендентных чисел, где он явился одним из ведущих отечественных специалистов и организатором международных научных конференций по этому направлению. Среди его учеников 15 защитили кандидатские диссертации, причём трое из них впоследствии стали докторами физико-математических наук. Особо отмечаются исследования профессора А. Б. Шидловского по теории трансцендентных чисел.
В настоящей работе улучшена оценка плотности решетчатого покрытия евклидова пространства размерности n = 17. Этот результат направлен на решение проблемы, известной в литературе как проблема С. С. Рышкова в теории решетчатых покрытий [1, 2]. Настоящая работа является продолжением ряда работ автора, среди которых основной является работа [3], в которой даны подробные опре- деления, а также методика исследования и приведены доказательства основных теорем. Мы предполагаем, что читатель знаком с результатами работы [3]. Настоящий результат получен на основе полного описания строения L-разбиения классической решетки Коксетера A6 17. Также приведено полное описание строения её многогранника Вороного-Дирихле как многогранника, заданного своими вершинами. На основе этого для решетчатого покрытия, отвечающего этой решетке, вычислено точное значение радиуса покрытия и функции плотности покрытия. Значение функции плотности покрытия оказалось лучше (меньше) ранее известных. Тем самым для n = 17 улучшена оценка минимальной плотности решетчатого покрытия евклидова пространства равными шарами. Исторически исследование L-разбиений решеток Коксетера Ar n было начато С. С. Рышковым в работе [4]. Среди L-тел решетки A6 17 встречается правильный симплекс S относительного объёма 6 (в таблице 1 это тело обозначено через F1). Это заранее известное из [4] L-тело, с которого мы начинали перечисление всех L-тел. Первоначально L-тела были получены нами с использованием ЭВМ при помощи известного «метода пустого шара» Делоне (см. [5]). В качестве первого шага этого метода мы использовали результаты работы [4] для S. В настоящей работе мы для формы A6 17 доводим начатые в [4] исследования до полного завершения. Аналогичные результаты, полученные мною ранее для размерностей n = 11, . . . , 15, мы подробно обсуждали в своё время с С. С. Рышковым на его спецсеминарах по теории решёток при кафедре дискретной математики механико-математического факультета МГУ. Сергей Сергеевич давал высокую оценку тем результатам и называл их «результатами уровня доктора физико-математических наук», что для меня, безусловно, являлось и продолжает являться большим стимулом для проведения новых исследований. Настоящий результат для n = 17 по объемам вычислений превосходит все предыдущие вместе взятые. Я посвящаю этот результат памяти своего учителя — Сергея Сергеевича Рышкова.
Одним из мощных средств исследования в комплексном анализе являются интегральные представления. Теория аналитических функций комплексного переменного построена в большей степени на основе интегральной формулы Коши [1]. Значительным классом некорректно поставленных задач, возникших в физике, технике и других областях знаний, являются так называемые обратные задачи [2] — [4]. Автором [5] — [6] для функции f(z), голоморфной в круге KR : |z| < < R, установлена интегральная формула (она в данной статье приведена во введении как формула (1)), являющаяся решением обратной задачи для интегральной формулы Коши в круге KR. Формула (1), в отличие от формулы Коши, по значениям функции f(z) на любой окружности Cr : |z| = r (0 < r < R), лежащей в круге KR, или на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри окружности CR — границы круга KR, выражает ее значения во всех остальных точках круга KR. В [5] получены и решения обратных задач для формул Пуассона [1] и Шварца [7], а в [5] — [6] — и для формул производных формулы Коши [1]. Обратная задача для интегральной формулы Пуассона использована [8] для обобщения формулы Пуассона — Иенсена [7], из которого формулы Пуассона — Иенсена и Иенсена вытекают как частные случаи. Аналогично использована [9] и обратная задача для обобщения формулы Шварца — Иенсена [7]. В случае кольца D: r < |z| < R установлено [10] интегральное пред- ставление (в [10] это формула (1)) для голоморфной в области D функции f(z), которая, в отличие от формулы Коши для кольца, по значениям f(z) на произвольной замкнутой кусочно-гладкой линии, охватывающей начало координат и содержащейся внутри кольца D, выражает её значения во всех остальных точках этого кольца, т.е. в [10] решена обратная задача для формулы Коши и в случае кольца D. В статье [11] в случае круга KR найдено решение обратных задач для интегральных формул, приведённых в [12] (в [12] это формулы (3) и (4)), ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФОРМУЛАХ справедливые для функций, голоморфных в звёздной области относительно начала координат. Формула Коши имеет место и в случае многих комплексных перемен- ных ( см., например, [13]). В статье [14] в случае поликруга ER = E(R1, . . . , Rn) = {z = (z1, . . . , zn) : |z1| < R1, . . . , |zn| < Rn} решены обратные задачи как для формулы Коши, так и для вытекающих из неё формул (аналогичные формулам Шварца и Пуассона в случае одного комплексного переменного). Решены обратные задачи [15] и в случае интегральных формул Тем- лякова (об этих формулах см., например, [16]). Наконец, в настоящей статье в случае выпуклой области и круга (соот- ветственно теорема 2 и 3) установлены новые интегральные представления (3) и (5), из которых (3) есть интегральное представление для функций, голоморфных в выпуклой области, а (5) — решение обратной задачи для интегрального представления (3) в круге KR.
Задачи о распределении точек с рациональными координатами явились естественными обобщениями задач о целых точках в выпуклых областях. Оценки сверху и снизу для количества рациональных точек на окружности были использованы в задаче о размерности Хаусдорфа множества точек окружности с заданным порядком приближаемых точками с рациональными координатами. За последние 15 лет в работах М. Хаксли, В. И. Берника, В. В. Бересневича, С. Велани, Р. Вогана были найдены двухсторонние асимптотические оценки для количества рациональных то- чек вблизи гладких кривых и поверхностей. Пусть I = [a, b] ∈ R – некоторый интервал, y = f(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция, которая при c2 > c1 > 0 удовлетво- ряет неравенству c1 < |f ′′(x)| < c2 для всех x ∈ I. Для произвольного γ, 0 ≤ γ < 1 и достаточно большого Q обозначим через AI (Q, γ) множество рациональных точек Γ = ( p1 q , p2 q ) , aq ≤ p1 ≤ bq, 1 ≤ q ≤ Q, для которых выполняется неравенство f ( p1 q ) − p2 q < Q−1−γ . Множество AI (Q, γ) состоит из точек внутри полосы ширины 2Q−γ вдоль кривой y = f(x), x ∈ I. Естественно ожидать, что величина #AI (Q, γ) имеет порядок Q3−γ , что в конце концов было доказано с использованием методов геометрии чисел и метрической теории диофантовых приближе- ний. Недавно [1] были получены оценки снизу для количества точек ви- да α¯ = (α1, α2) ∈ R 2 , где α1, α2 — сопряженные действительные алгеб- раические числа произвольной степени deg α1 = deg α2 = n и высоты H(α1) = H(α2) ≤ Q, в полосе шириной c(n)Q−γ , 0 ≤ γ ≤ 1 2 , Q > Q0(n) около любой гладкой кривой y = f(x). В данной работе получены новые результаты о распределении точек с алгебраическими сопряженными действительными и комплексными координатами. В частности, получено обобщение и вышеуказанного результата. Основу доказательства составляет метрическая теорема о диофантовых приближениях в областях G малой меры µG < c2(n)Q−γ1 , 0 ≤ γ1 ≤ 1 3 .
В конце 80-х и начале 90-х годов прошлого века американский математик Ч. Данкль (C. F. Dunkl) создал основу для теории специальных функций многих переменных, связанных с группами отражений, и их интегральных преобразований в ряде своих работ. Эта теория получила развитие в работах многих математиков. В настоящее время эта теория получила название теории Данкля в математической литературе. Теория Данкля находит широкие применения в теории вероятностей, математической физике, теории приближений. Настоящая работа посвящена применению гармонического анализа Данкля в пространствах Lp на евклидовом пространстве R d и единичной евклидовой сфере S d−1 с весом Данкля, определяемым системой корней и связанной с ней группой отражений, к задачам теории приближений. Задача нахождения точной константы в неравенстве Джексона, или константы Джексона, между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности является важной экстремальной задачей теории приближений. В работе рассматривается задача о константе Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной окружности S 1 с весом Данкля, связанным с группой диэдра Im, m ∈ N. Наилучшее приближение осуществляется подпространством κ-сферических гармоник, определяемых с помощью лапласиана Данкля. Модуль непрерывности опреде- ляется с помощью оператора обобщенного сдвига, впервые появившегося в работах Ю. Шу. В случае единичного веса, т. е. когда функция кратности κ на системе корней тождественно равняется нулю, неравенство Джексона на единичной многомерной евклидовой сфере S d−1 с константой 2 1/p−1 , совпадающей с константой Юнга пространства Lp, было доказано Д. В. Горбачевым. Он же установил точность этой константы. Неравенство Джексона с той же константой в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной многомерной евклидовой сфере S d−1 с весом Данкля, инвариантным относительно произвольной конечной группы отражений, было получено автором ранее. Теперь в работе получена оценка снизу константы Джексона в пространствах Lp, 1 ≤ p < 2, на единичной евклидовой окружности S 1 с весом Данкля, инвариантным относительно группы диэдра Im, m ∈ N. При m ≥ 3 группы диэдра — группы симметрий правильных m-угольников в R 2 . При решении поставленной задачи мы существенно используем подход, разработанный В. И. Ивановым совместно с Лю Юнпином. При этом преодолеваются дополнительные трудности, связанные с появлением в пространствах Lp[0, π], 1 ≤ p < 2, с весом |sin(t/2)| 2α+1| cos(t/2)| 2β+1 , α ≥ β ≥ −1/2, нового модуля непрерывности, определяемого с помощью несимметричного оператора обобщенного сдвига.
С. С. Рышков в своих работах исследовал экстремальные формы и экстремальные решетки. Экстремальные формы и экстремальные решетки связаны с жесткими (в смысле М. Громова и других) математическими объектами. В своих работах, а также в работах с коллегами С. С. Рышков пришел и к другим жестким объектам. Жесткие и мягкие задачи, методы и результаты проявляются уже при исследовании классических проблем теории чисел. Остановимся очень кратко на интерпретации с точки зрения жестких и мягких методов бинар- ной и тернарной проблем Гольдбаха, проблем гольдбахова типа и методов их исследования. Так как в бинарной (соответственно, тернарной) пробле- мах Гольдбаха в их современной постановке речь идет о равенствах типа 2n = p1 + p2 (соответственно 2n + 1 = p1 + p2 + p3), где n — натуральное число, большее 1 (соответственно n больше 2), p1, p2, p3 — простые числа, то в своей постановке это жесткие проблемы; результаты их исследования также являются жесткими. Однако методы их исследования включают как жесткие методы — точная формула метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана (Х-Л-Р), получаемая методами комплексного анализа, так и сочетание жестких и мягких (soft) методов исследования главного члена в форме Х-Л-Р и оста- точного члена методом тригонометрических сумм Виноградова. Ряд задач аналитической теории чисел допускают динамическую ин- терпретацию. Отметим в связи с этим, что на связи методов аналитической теории чисел и теории динамических систем обращал внимание и развивал такие аналогии А. Г. Постников. Целью предлагаемой работы не является исчерпывающее введение в жесткость в арифметике и в динамике. Скорее мы сделали попытку представить элементарные методы, результаты и некоторые основные идеи в этой области, вместе с обзором ряда новых результатов. Мы не даем ис- черпывающего обзора возможных тем, а также не входим в детали дока- зательств. После представления элементарного теоретико-числового, алгебраического и алгебро-геометрического введения в жесткие неархимедовы пространства на основе локальных одномерных полных регулярных колец, де- ревьев и формальных схем по И. Р. Шафаревичу, Ж.-П. Серру, Дж. Тэйту, Д. Мамфорду, мы даем обзор некоторых новых результатов и методов в направлении жесткости. Изложение включает (но не исчерпывает) результаты и методы H. Furstenberg, G. A. Margulis, G. D. Mostow, R. Zimmer, J. Bourgain, A. Furman, A. Lindenstrauss, S. Mozes, J. James, T. Koberda, K. Lindsey, C. Silva, P. Speh, A. Ioana, K. Kedlaya, J. Tuitman, и других. Я признателен В. М. Бухштаберу за полезные замечания в процессе обсуждения моего доклада. Я благодарю рецензента за замечания относительно содержания и стиля изложения и за предложения по улучшению. Особая признательность Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.
В работе изучается вид и свойства минимальных многочленов остато ных дробей в разложении алгебраических чисел в цепные дроби. Показано, что для чисто-вещественных алгебраических иррациональностей α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью приведённых алгебраических иррациональностей. Дано определение обобщённого числа Пизо, которое отличается от определения чисел Пизо отсутствием требования целочисленности. Показано, что для произвольной вещественной алгебраической иррациональности α степени n > 2, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), последовательность остаточных дробей αm является последовательностью обобщённых чисел Пизо. Найдена асимптотическая формула для сопряжённых чисел к остаточным дробям обобщённых чисел Пизо. Из этой формулы вытекает, что сопряжённые к остаточной дроби αm концентрируются около дроби − Qm−2 Qm−1 либо в интервале радиуса O ( 1 Q2 m−1 ) в случае чисто-вещественной алгебраической иррациональности, либо в круге такого же радиуса в общем случае вещественной алгебраической иррациональности, имеющей ком- плексные сопряжённые числа. Установлено, что, начиная с некоторого номера m0 = m0(α), справед- лива рекуррентная формула для неполных частных qm разложения вещественной алгебраической иррациональности α, выражающая qm че- рез значения минимального многочлена fm−1(x) для остаточной дроби αm−1 и его производной в точке qm−1. Найдены рекуррентные формулы для нахождения минимальных многочленов остаточных дробей с помощью дробно-линейных преобразований. Композиция этих дробно-линейных преобразований является дробнолинейным преобразование, переводящем систему сопряжённых к алгебраической иррациональности α в систему сопряжённых к остаточной дро- би, обладающую ярко выраженным эффектом концентрации около рациональной дроби − Qm−2 Qm−1 . Установлено, что последовательность минимальных многочленов для остаточных дробей образует последовательность многочленов с равными дискриминантами. В заключении поставлена проблема о структуре рационального сопряжённого спектра вещественного алгебраического иррационального числа α и о его предельных точках.
Некоторые проблемы теории чисел тесно связаны с нулями специальных функций, к которым относятся дзета-функция Римана ζ(s), L-функции Дирихле L(s, χ) и др. Самой известной из этих функций явля- ется дзета-функция Римана. На полуплоскости ℜs > 1 она задаётся рядом Дирихле ζ(s) = ∑ +∞ n=1 n −s . В 1859 г. Б. Риман высказал гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции ζ(s) лежат на критической прямой. Г. Харди был первым, кто доказал, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей дзета-функции Римана. В 1942 г. А. Сельберг получил правильную по порядку оценку числа нулей ζ(s), лежащих на отрезках критической прямой [T, T + H], H = T 0.5+ε . В 1984 году А. А. Карацуба доказал оценку Сельберга 1942 г. для случая отрезка критической прямой меньшей длины, т.е. для отрезка [T, T + H], H = T 27 82 +ε . Для арифметических рядов Дирихле без эйлерова произведения правильные по порядку нижние оценки для числа их нулей на отрезках прямой ℜs = 1 2 пока не получены. В 1980 г. С. М. Воронин доказал, что отрезок ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой содержит больше, чем cT e 1 20 √ ln ln ln ln T нулей функции Дэвенпорта-Хейльброна. Тем самым С. М. Воронин впер- вые доказал, что на критической прямой лежит «аномально много» нулей арифметического ряда Дирихле без эйлерова произведения. В 1989 г. А. А. Карацуба разработал новый метод оценок снизу чис- ла нулей некоторых рядов Дирихле на отрезках критической прямой, с помощью которого существенно улучшил результат Воронина. В 1991 г. А. А. Карацуба решил своим методом задачу о нижней оценке числа нулей, лежащих на интервале ( 1 2 , 1 2 + iT] критической прямой, линейной комбинации аналогов функции Харди, соответствующих L(s, χ)− функциям Дирихле. В настоящей работе решается задача о числе нулей линейных комбинаций L−функций Дирихле на почти всех промежутках вида [T, T + H], H = Xε , ε > 0, X ≤ T ≤ 2X.
В этой работе дается некоторое развитие ранее проведенных исследований по задаче А. В. Малышева о числе целых точек, лежащих в некоторых областях на многомерных гиперболоидах. А. В. Малышевым [1] ставилась задача получения асимптотических формул для количества целых точек в областях типа Де Лури на многомерных гиперболоидах. Де Лури [3] в случае четырехмерной гиперболической поверхности p (x1, . . . , x4) = ∑ 4 k=1 akx 2 k − m = 0, m ̸= 0 в области Ωp(L) на ней определяемой неравенством ∑ 4 k=1 |ak| x 2 k 6 L получил асимптотическую формулу (при L → ∞ фиксированных a1, a2, a3, a4, и m) для величины R (Ωp(L)), равной количеству целых точек в об- ласти Ωp(L) на указанном гиперболоиде, но при этом остаточной формулы Де Лури не оценивает. В дальнейшем в [1] дается обобщение этого результата на многомерный гиперболоид, задаваемый уравнением p = p (x1, . . . , xs) = ∑s k=1 akx 2 k + ∑s k=1 bkxk + c = 0, где ak, bk, (k = 1, . . . , s), c ̸= 0 — целые числа, причем коэффициенты ak не все одного знака, а область Ωp(L) на этом гиперболоиде задается неравенством ∑s k=1 |ak| x 2 k 6 L. В развитие указанной задачи А. В. Малышева мы в уравнении гипер- болоида рассматриваем квадратичную форму, эквивалентную диагональ- ной, а область Ωp(L) : ∑s k=1 |ak| x 2 k 6 L заменяется на область ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) + Q (2) i (zi , ti) } 6 L, где Q (1) i и Q (2) i — бинарные квадратичные формы, эквивалентные диаго- нальным формам. Обозначим через R (Ωp (L), s) количество целых точек, лежащих в об- ласти Ωp (L) на 4s-мерном гиперболоиде ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) − Q (2) i (zi , ti) } = h, где Q (1) i (xi , yi), Q (2) i (zi , ti) — положительные целочисленные бинарные квадратичные формы дискриминанта d; h ̸= 0, при этом эти формы считаем эквивалентными диагональным. При выводе нашего асимптотического результата о величине R (Ωp, L) используется теорема о взвешенном числе целых точек Ih(n, s) из [2] при n → ∞ и комплексный вариант тауберовой теоремы с остаточным членом для степенных рядов (см. [5, 6]). Отметим также, что полученный нами результат аналогичен одному результату Дэвенпорта [7] по обобщенной проблеме Варинга при показа- теле k = 2, но при таком значении k наше уравнение гиперболической поверхности имеет несколько более общий вид.
В работе круговым методом получена асимптотическая формула для взвешенного числа целых точек на многомерных гиперболических поверхностях, определяемых прямой суммой неопределённых кватернарных целочисленных квадратичных форм специального вида. При этом взвеши- вающая функция выбрана как экспонента, в показателе которой стоит целочисленная квадратичная форма, являющаяся прямой суммой положительных бинарных квадратичных форм с одними и тем же дискриминантом. Выбор такого специального вида взвешивающей функции обусловлен возможностью приложения используемого подхода при исследовании вопроса о числе целых точек лежащих в некоторых областях специального вида на рассматриваемых многомерных гиперболоидах. Опираясь на подход статьи [7], основанный на использовании точных значений двойных сумм Гаусса, мы рассматриваем многомерную задачу о взвешенном числе целых точек на гиперболических поверхностях специ- ального вида. Речь идёт об асимптотике с остаточным членом для величины Ih (n, s) = ∑ p(x,y,z,t)=h e − ω(x,y,z,t) n , где n → ∞ — вещественный параметр, p ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) − Q (2) i (zi , ti) } , ω ( x, y, z,t ) = ∑s i=1 { Q (1) i (xi , yi) + Q (2) i (zi , ti) } , Q (1) i , Q(2) i — положительные целочисленные бинарные квадратичные фор- мы одного и того же дискриминанта δF ; h ̸= 0 — целое число. При выводе асимптотической формулы для Ih (n, s) существенно ис- пользуются: 1) формула обращения тета-ряда бинарной квадратичной формы (в нашем случае достаточно использовать двойной Θ-ряд вместо многомер- ного) 2) формула для 1 q( ∫q+N) − 1 q(q+N) e −2πihx ( 1 n2 + 4π 2x 2 )S dx 3) оценка для суммы Клостермана K (u, v; q) = ∑ x mod q ′ e 2πi q ( ux+vx ′ ) , где ll′ ≡ (mod q). Полученная асимптотическая формула для Ih (n, s) обобщает один из результатов Куртовой Л. Н. [7] о взвешенном числе целых точек на че- тырёхмерных гиперболоидах на случай многомерных гиперболоидов со- ответствующего специального вида. Кроме того, наш результат в слу- чае постоянных коэффициентов уравнения гиперболоида обобщает также один результат Малышева А. В. [10] на случай некоторых недиагональ- ных квадратичных форм, а в сравнении с результатом Головизина В. В. [3] главный член в рассматриваемой задаче получен в явном виде, а в [3] он выражен через некоторый комплексный интеграл W (N), для которого дана только оценка сверху, при этом в нашем случае N = [√ n]. В дальнейшем результат о величине Ih (n, s) може быть применён при получении асимптотических формул для числа целых точек, лежащих в некоторых областях специального вида на многомерных гиперболоидах.
В работе рассматривается бинарная аддитивная задача вида n1 +n2 = N с условиями n1 ∈ N(α, I1), n2 ∈ N(β, I2), где N(α, I) = {n ∈ N : {nα} ∈ I}. Такие множества описывают, в частности, натуральные числа, име- ющие заданное окончание разложения по линейным рекуррентным по- следовательностям, связанным с числами Пизо. Кроме того, множества N(α, I) являются частными случаями так называемых квазирешеток. Ра- нее рассматривались аддитивные задачи на множествах такого вида для случая α = β. В этом случае были получены асимптотические формулы для числа решений аддитивной задачи с произвольным числом слагаемых, а также для аналогов тернарной проблемы Гольдбаха, проблемы Хуа-Локена, проблемы Варинга и проблемы Лагранжа о представлении натуральных чисел в виде сумм четырех квадратов. При этом Гриценко и Мотькина обнаружили, что в случае линейных задач возникает нетри- виальный эффект: появление некоторой достаточно сложной функции в главном члене асимптотики числа решений. Для нелинейных задач подобный эффект отсутствует и вид главного члена получается из плотностных соображений. В рассматриваемой задаче обнаружено, что поведение главного чле- на асимтотической формулы для числа решений существенным образом зависит от арифметических свойств α и β. Если 1, α и β линейно независимы над кольцом целых чисел Z, то главный член асимптотики имеет плотностный вид, то есть равен |I1||I2|N. В случае линейной зависимо- сти 1, α и β имеет место эффект Гриценко-Мотькиной, то есть главный член имеет вид ρ({Nβ})N, где ρ – достаточно сложная эффективно вычислимая кусочно линейная функция от дробной доли {Nβ}. В работе получен алгоритм вычисления функции ρ, а также изучены ее основные свойства. В частности, получены достаточные условия ее необращения в нуль. Также рассмотрен численный пример вычисления данной функции для конкретных множеств N(α, I1), N(β, I2). В завершающей части работы обсуждается ряд открытых проблем в данной области.
Диалгеброй называется векторное пространство, снабжённое двумя би- нарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими следующим аксиомам: (D1) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊣ z), (D2) (x ⊣ y) ⊣ z = x ⊣ (y ⊢ z), (D3) (x ⊢ y) ⊣ z = x ⊢ (y ⊣ z), (D4) (x ⊣ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z), (D5) (x ⊢ y) ⊢ z = x ⊢ (y ⊢ z). Это понятие было введено Лодэ во время изучения феномена периодичности в алгебраической K-теории. Алгебры Лейбница являются некоммутативной версией алгебр Ли, а диалгебры – версией ассоциативных ал- гебр. Напомним, что любая ассоциативная алгебра даёт алгебру Ли, если положить [x, y] = xy −yx. Диалгебры связаны с алгебрами Лейбница аналогично тому как связаны между собой ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Диалгебра является линейным аналогом димоноида. Если операции димоноида совпадают, то он превращается в полугруппу. Таким образом, димоноиды обобщают полугруппы. Пожидаев и Колесников рассмотрели понятие 0-диалгебры, то есть векторного пространства, снабжённого двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D2) и (D4). Это понятие имеет связи с алгебрами Рота-Бакстера, а именно известна структура алгебр Рота- Бакстера, возникающих на 0-диалгебрах. Понятие ассоциативной 0-диалгебры, то есть 0-диалгебры с двумя бинарными операциями ⊣ и ⊢, удовлетворяющими аксиомам (D1) и (D5), является линейным аналогом понятия g-димоноида. Для того, чтобы получить g-димоноид, мы должны опустить аксиому (D3) внутренней ассоциативности в определении димоноида. Аксиомы димоноида и g-димоноида появляются в тождествах триалгебр и триоидов, введенных Лодэ и Ронко. Класс всех g-димоноидов образует многообразие. Строение свободных g-димоноидов и свободных n-нильпотентных g-димоноидов было описано в статье второго автора. Класс всех коммутативных g-димоноидов, то есть g-димоноидов с коммутативными операциями, образует подмногообразие многообразия g-димоноидов. Свободный димоноид в многообразии коммутативных димоноидов был построен в статье первого автора. В этой статье мы строим свободный коммутативный g-димоноид, а также описываем наименьшую коммутативную конгруэнцию на свободном g-димоноиде.
Исследование арифметической природы значений продифференцированных по параметру обобщенных гипергеометрических функций проводилось во многих работах, см. [1]–[7], а также соответствующие главы в книгах [8] и [9]. Первоначально для этих целей использовался метод Зигеля. Этот метод применим для исследования гипергеометрических функций с рациональными параметрами и c его помощью были получены результаты о трансцендентности и алгебраической независимости значений таких функций, а также соответствующие количественные результаты (например, оценки мер алгебраической независимости). Возможности применения метода Зигеля в случае гипергеометрических функций с иррациональными параметрами ограничены. В классической форме метод Зигеля не удается применить в этой ситуации, и здесь потребовались некоторые дополнительные соображения. Следует, однако, отметить, что наиболее общие результаты об арифметической природе значений гипергеометрических функций с иррациональными параметра- ми получены с помощью метода Зигеля (в модифицированном виде, см. поэтому поводу [10] и [11]). Здесь речь не идет об алгебраической независимости и приходится ограничиться лишь результатами о линейной независимости соответствующих значений. Рассуждения по методу Зигеля начинаются с построения функциональной линейной приближающей формы, имеющей в начале координат достаточно высокий порядок нуля. Такая форма строится с помощью принципа Дирихле. Именно невозможность провести соответствующее рассуждение для функций с иррациональными параметрами служит препятствием при попытках применить метод Зигеля в случае иррациональных параметров. Уже давно было замечено, что в некоторых случаях линейную приближающую форму можно построить эффективно, указав явные формулы для ее коэффициентов. Этот метод значительно уступает методу Зигеля в общности получаемых результатов. Однако, именно с помощью метода, основанного на эффективном построении линейных приближающих форм, были получены наиболее точные оценки снизу модулей линейных форм от значений гипергеометрических функций, а также во многих случаях были получены результаты об арифметической природе значений таких функций в случае иррациональных параметров (см., например, [12]). Эффективная конструкция линейных приближающих форм для функций (2) была предложена в работе [13]. Эта конструкция использовала контурный интеграл, который применялся ранее для получения результатов об оценках линейных форм от значений гипергеометрических функций с различными параметрами, см. [14]. В настоящей работе предлагается новый подход к построению линейной приближающей формы для функций (2). Используется связь между гипергеометрическими функциями различных типов, которая позволяет упомянутое построение линейной приближающей формы свести к более простой задаче. В заключении даны краткие указания относительно возможных приложений.
В работе рассматриваются обобщенные гипергеометрические функции и их производные (см. (2) и (3)). Изучение арифметической природы значений таких функций обычно начинается с построения функциональной линейной приближающей формы, имеющей достаточно высокий порядок нуля в начале координат. Если параметры изучаемых функций (в данном случае это числа (1)) рациональны, то построение такой формы можно осуществить с помощью принципа Дирихле. Дальнейшие рассуждения опираются на использование построенной формы, а вся схема получила название метода Зигеля, см. [1] и [2]. Если некоторые из чисел (1) иррациональны, то функции (2) и (3) не сводятся к так называемым E-функциям и применить метод Зигеля (в его классической форме) не удается, причем схема не срабатывает в самом начале: невозможно с помощью принципа Дирихле построить первую приближающую линейную функциональную форму (в ходе рассуждений по методу Зигеля используется целая совокупность таких форм). Было замечено, что в некоторых случаях первую приближающую форму можно построить эффективно (см., например, [3] и [4]). Имея в своем распоряжении такую форму можно, рассуждая по схеме Зигеля (или используя специальные свойства эффективно построенной линейной фор- мы), получить требуемые результаты. Эти результаты в смысле общности обычно значительно уступают тем, которые могут быть получены методом Зигеля, однако у метода, основанного на применении эффективных конструкций, есть и свои достоинства. Одно из них состоит в том, что этот метод во многих случаях применим и тогда, когда некоторые из параметров (1) иррациональны. Другим достоинством является б´ольшая точность оценок (если речь идет, например, об оценке мер линейной назависимости), получаемых этим методом. Все вышесказанное относится к случаю, когда рассматриваемые функции не продифференцированы по параметру. Применение метода Зигеля для продифференцированных по параметру функций (таких, например, как функции (4) и (5)) возможно, и оно было фактически осуществлено в ряде работ; см. замечания к седьмой главе книги А. Б. Шидловского [5]. Но по-прежнему здесь требуется рациональность параметров изучаемых функций, а получаемые количественные результаты недостаточно точны. Проведенные исследования показывают, что использование совместных приближений вместо построения линейной приближающей формы практически всегда дает лучшие результаты. Поэтому, хотя появление (относительно недавно) эффективных конструкций линейных приближающих форм для продифференцированных по параметру гипергеометрических функций и позволило решить ряд относящихся сюда задач, основные новые результаты были получены именно с помощью совместных приближений, которые также могут быть построены эффективно. В настоящей работе предлагается новая эффективная конструкция совместных приближений для продифференцированных по параметру ги- пергеометрических функций в однородном случае. Относительно возможных приложений этой конструкции даются лишь краткие указания: можно получить результаты о линейной независимости значений функций вида (5) в случае иррациональности некоторых из чисел (1); можно также уточнить некоторые из относящихся сюда количественных результатов.
Рассматриваются идеальные конструкции, составленные из жестких рычагов, нерастяжимых веревок и несжимаемых распорок. По английски такие конструкции называют „tensegrity frameworks“, что можно перевести как напряженносвязанные конструкции. В частном случае конструкций, составленных из одних лишь рычагов, — это обычные шарнирно- рычажные конструкции. В последнее время напряженносвязанные конструкции все шире применяются в архитектуре и строительстве, например, строительстве мостов. В русской инженерной литературе они называются вантовыми. В англоязычной математической литературе геометрические свойства таких конструкций изучаются с семидесятых годов прошлого века. Данная статья, по-видимому, первая в отечественной математической литературе, посвященная этому вопросу. Она носит ознакомительно-обзорный характер. Вводится математическая формализация напряженносвязанных конструкций в духе работ автора по шарнирно-рычажным конструкциям. Эта формализация включает оригинальную терминологию, вовсе не сводящуюся к заимствованию английских слов. Рассматриваются лишь незакрепленные конструкции. Стяжками называем конструкции, допускающие внутреннее напряжение, и не допускающие непрерывной деформации с изменением формы. Возникает понятие определенной стяжки, то есть такой, которую из данных элементов можно собрать в заданном порядке единственным способом, с точностью до движений в пространстве как жесткого целого. Естественно возникает и понятие вполне определенной стяжки, как стяжки определенной не только в том евклидовом пространстве, где она построена, но и во всех евклидовых пространствах большего числа измерений. Основное внимание уделяется задаче — когда стяжка является определенной? Для решения задачи эффективен метод рассмотрения определенным образом выбранной функции – потенциальной энергии конструкции. Ищутся конструкции, для которых эта потенциальная энергия минимальна. Метод подробно изложен в статье. Приведено доказательство основной теоремы, дающей достаточное условие сверхопределённости стяжки. Фундаментальное значение в исследовании играет рассмотрение внутренних напряжений конструкции и ее матрицы напряжений, через которую записывается потенциальная энергия. Приведены примеры применения этой теоремы к плоским и пространственным конструкциям. В целом данная тематика еще недостаточно разработана, и в настоящее время активно развивается. В конце статьи приведены открытые вопросы.
Некоторые хорошо известные классические результаты, относящиеся к описанию целочисленных представлений конечных групп над дедекиндовыми кольцами R, в частности, для колец целых чисел Z и p-адических чисел Zp и максимальных порядков локальных полей и полей алгебраических чисел берут начало в классических работах С. С. Рышкова, П. М. Гу- дивка, А. В. Ройтера, А. В. Яковлева, В. Плескена. Для их явного опи- сания важно найти матричные реализаций представлений, и один из возможных подходов состоит в описании максимальных конечных подгрупп GLn(R) над дедекиндовым кольцом R при фиксированном натуральном n. Основная идея, лежащая в основе геометрического подхода, была приведена в работах С. С. Рышкова по вычислению конечных подгрупп из GLn(Z) и дальнейших работах М. Поста и В. Плескена. Тем не менее, было неясно, что происходит при расширении дедекиндова кольца R в общем случае, и в случаях представлений произвольных p-групп, сверхразрешимых групп или групп заданного класса нильпотентности. В настоящей работе изучаются представления вышеуказанных классов групп, в частности, доказано, что при фиксированном n и любой заданной неабелевой p-группы G существует бесконечное число попарно неизоморфных абсолютно неприводимых представлений группы G. Комбинаторная конструкция серии этих представлений получена в явном виде. В настоящей работе построена бесконечная цепочка целочисленных попарно неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений конечных p-групп с дополнительными условиями сравнимости по модулю дивизоров простого числа p. Мы рассматриваем некоторые связанные нашей конструкцией вопросы, включая задачи погружения в теории Галуа для локальных точных примитивных представлений сверхразрешимых групп и целочисленные представления, возникающие из эллиптических кривых.
Понятия риккартового и бэрового кольца возникли в теории линейных операторов гильбертова пространства. Бэровы кольца были введены И. Капланским в 1955 году, риккартовы кольца были введены С. Маэда в 1960 году. В последнее время активно изучаются модульные аналоги этих понятий. В настоящей работе вводятся и изучаются понятия существенно бэровых модулей, существенно квазибэровых модулей и дуальных к ним модулей. Показано, что прямое слагаемое существенно бэрового модуля является существенно бэровым модулем. Также установлено, что каждый свободный модуль над существенно квазибэровым справа кольцом является существенно квазибэровым модулем и каждый конечно порожденный свободный модуль над дуально существенно квазибэровым справа кольцом является дуально существенно квазибэровым модулем. Если M — CS-риккартовый модуль и M — SSIP-CS-модуль, то M — существенно бэровый модуль. Обратное верно, если SocM ≤e M. Если M — d-CS- риккартовый модуль и M — SSSP-d-CS-модуль, то M — дуально суще- ственно бэровый модуль. Обратное верно, если RadM ≪ M. Если R — полуартиново справа кольцо, то M — существенно бэровый модуль в точ- ности тогда, когда M — CS-риккартовый модуль и M — SSIP-CS-модуль. Если R — правое max - кольцо, то M — дуально существенно бэровый модуль в точности тогда, когда M — d-CS-риккартовый модуль и M — SSSP-d-CS-модуль. Если M — проективный модуль и P(M) = 0, то M — квазибэровый модуль тогда и только тогда, когда каждый вполне инвариантный подмодуль модуля M является существенным подмодулем в некотором вполне инвариантном прямом слагаемом модуля M, тогда и только тогда, когда M — строго существенно квазибэровый модуль. Описаны квазибэровы проективные модули, у которых пресечение всех 2 - первичных подмодулей равно нулю. Из полученных результатов в качестве следствий выводятся известные факты, связанные с бэровыми и дуально бэровыми модулями.
Гиперболическая плоскость Hb положительной кривизны реализуется на внешней относительно овальной линии области проективной плоскости P2, т. е. на идеальной области плоскости Лобачевского. В работах автора построены первые разбиения плоскости Hb. Среди них есть серии нормальных, но не моноэдральных разбиений и серии моноэдральных разбиений, не являющихся нормальными. В данной работе построены серии первых нормальных моноэдральных разбиений плоскости Hb. Одним из топологических отличий плоскости Hb от плоскости Лобачевского Λ 2 является тот факт, что никакая прямая плоскости Hb не разбивает плоскость на части (набор чисел Бетти для плоскости Hb: β0 = 1, β1 = 1, для плоскости Λ 2 : β0 = 1, β1 = 0). Вследствие этого основные известные методы построения разбиений плоскости Лобачевского не могут быть применены в разбиениях плоскости Hb. В качестве исключения можно рассматривать схему разбиения плоскости Λ 2 , предложенную венгерским ма- тематиком К. Берёцким. В данной работе схема Берёцкого адаптирована к плоскости Hb, с ее помощью построены нормальные моноэдральные раз- биения плоскости Hb с одной удаленной параболической прямой. Подробно исследованы ячейки построенных разбиений — правильные орицикли- ческие n-трапеции. Правильной орициклической n-трапецией называем (n + 3)-реберник, два ребра которого — конгруэнтные отрезки параллель- ных гиперболических прямых, а остальные ребра — конгруэнтные между собой эллиптические отрезки, причем один из них служит внутренней хордой некоторого орицикла ω, а остальные n отрезков — внутренними хордами орицикла, концентрического с ω. Для исследования ячеек разбиения в работе введена орициклическая система ортогональных криволинейных координат. Получены вспомогательные формулы площадей некоторых фигур на плоскости Hb. Доказано, что площадь правильной орициклической n-трапеции можно выразить с помощью введенной автором функции αe угла квазипараллельности на плоскости Hb, а длина бокового ребра не зависит от длины эллиптических ребер и равна ρ ln n, где ρ — радиус кривизны плоскости Hb.
Исследуются группы с ограничениями на подгруппы. Рассматриваются локально разрешимые группы с условием максимальности для подгрупп. Выделена подгруппа локально разрешимой группы, такая, что из выполнимости для неё условия максимальности следует выполнимость данного условия на всей группе.
В работе найдена оценка полной рациональной арифметической суммы от многочлена, точная по степени его знаменателя, с оценкой константы, зависящей от степени многочлена.
В статье приводится серия пользовательских рекурсивных функций для разнообразных задач поиска и замены элементов в гнездовых массивах. Последние определяются рекурсивно так, как это сделано в системе инженерных и научных вычислений PTC Mathcad Prime, то есть в виде матриц, элементы которых могут быть скаляры, строки и снова гнездовые массивы. Некоторые задачи поиска рассмотрены в [1-4]. Нашей задачей являлось развитие имеющихся и создание новых средств, связанных как с обычным, так и с обобщенным поиском и замещением элементов в гнез- довых массивах. Пусть A — скаляр, строка или гнездовой массив, B — гнездовой массив. Задачи с обобщенными вхождениями A в B (обобщенным поиском A в B), и замещением таких вхождений возникают тогда, когда в A или в B могут присутствовать специальные элементы, отож- дествляемые с любым скаляром, строкой или гнездовым массивом. В статье сформулировано 10 задач. Для каждой из них предложено одно или более решений в виде функций на языке программирования PTC Mathcad Prime. Все созданные функции протестированы на большом количестве примеров, но тесты приведены не полностью.
Решение задач с данными, представленными вложенными или, по- другому, гнездовыми массивами, является непростым делом из-за достаточно непредсказуемой их структуры. И здесь во многих случаях спасительной оказывается рекурсия. Ее использование позволяет линейно по одной и той же схеме осуществлять пробежку по всем элементам каждого уровня любого гнездового массива вне зависимости от его структуры и глубины вложенности. Гнездовой массив можно интерпретировать деревом, корнем которого является сам массив, от него идут дуги к массивам- элементам и т. д. Листьями подобного дерева являются скаляры или строки — конечные элементы, не имеющие ссылок на последующие массивы. В статье для решения ряда задач общего характера с гнездовыми массивами предлагаются соответствующие рекурсивные программы-функции. Вот примеры таких задач: подсчитать общее количество листьев массива; сформировать массив из транспонированных на всех уровнях вложенности элементов исходного массива; выяснить, является ли данный объект (скаляр, строка, простой массив, гнездовой массив) элементом данного массива на каком-либо уровне вложенности; подсчитать количество вхождений объекта в массив на всех уровнях вложенности; собрать все листья массива в вектор, заместить листья данного массива элементами какого-либо вектора и т. п. Во всех случаях рекурсивная триада такова: параметр рекурсии — гнездовой массив; декомпозиция — переходы на всех уровнях вложенности от массивов к их элементам и так до листьев; рекурсивная база, то есть тривиальные случаи в рекурсии — листья массивов [1]. Предлагаемые лаконичные рекурсивные программы-функции решения перечисленных и некоторых других задач реализованы на простом и интуитивно понятном языке программирования системы инженерных и научных вычислений PTC Mathcad Prime (версия 3.1) [2,3]. Отметим, что в этой системе гнездовые массивы — это вложенные друг в друга матрицы.
В PTC Mathcad, да и в прежних версиях Mathcad, для числовых и символьных вычислений предложена специальный оператор векторизации, с помощью которого можно выполнять многие встроенные и некоторые пользовательские функции одной переменной над каждым скалярным или строковым элементом простых или гнездовых (вложенных) массивов. Этот оператор выглядит в виде направленной слева направо стрелки над выражением. Операцию векторизации можно применять и к встроенным функциям нескольких переменных, но только над простыми масси- вами со скалярными или строковыми элементами. Итак, подчеркнем, что для встроенных функций от одной или нескольких переменных операция векторизации в случае гнездовых массивов может быть реализована далеко не всегда. А для пользовательских функций она, как правило, не реализуется даже для простых массивов. В статье сняты все упомянутые ограничения, то есть построены анало- ги операции векторизации для любых встроенных или пользовательских функций от одной или нескольких переменных при простых или гнездовых массивах. Предложены компактные рекурсивные функции, выполняющие роль оператора векторизации. Рассмотрено два возможных подхода к решению данной задачи. При первом подходе для функций g от n пе- ременных строятся отдельные рекурсивные программы-функции F1, F2, F3, . . . , реализующие векторизацию соответственно при n = 1, 2, 3, . . . . При втором подходе для функции g от n переменных создается единая при любых n = 1, 2, ... программа-функция F, выполняющую роль оператора векторизации. В связи с задачей векторизации гнездовых массивов сформулированы некоторые вспомогательные задачи и для них предложены решения в виде рекурсивных функций.
