ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ЖЕСТКОСТЬ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И В ДИНАМИКЕ

С. С. Рышков в своих работах исследовал экстремальные формы и экстремальные решетки. Экстремальные формы и экстремальные решетки связаны с жесткими (в смысле М. Громова и других) математическими объектами. В своих работах, а также в работах с коллегами С. С. Рышков пришел и к другим жестким объектам. Жесткие и мягкие задачи, методы и результаты проявляются уже при исследовании классических проблем теории чисел. Остановимся очень кратко на интерпретации с точки зрения жестких и мягких методов бинар- ной и тернарной проблем Гольдбаха, проблем гольдбахова типа и методов их исследования. Так как в бинарной (соответственно, тернарной) пробле- мах Гольдбаха в их современной постановке речь идет о равенствах типа 2n = p1 + p2 (соответственно 2n + 1 = p1 + p2 + p3), где n — натуральное число, большее 1 (соответственно n больше 2), p1, p2, p3 — простые числа, то в своей постановке это жесткие проблемы; результаты их исследования также являются жесткими. Однако методы их исследования включают как жесткие методы — точная формула метода Харди — Литтлвуда — Рамануджана (Х-Л-Р), получаемая методами комплексного анализа, так и сочетание жестких и мягких (soft) методов исследования главного члена в форме Х-Л-Р и оста- точного члена методом тригонометрических сумм Виноградова. Ряд задач аналитической теории чисел допускают динамическую ин- терпретацию. Отметим в связи с этим, что на связи методов аналитической теории чисел и теории динамических систем обращал внимание и развивал такие аналогии А. Г. Постников. Целью предлагаемой работы не является исчерпывающее введение в жесткость в арифметике и в динамике. Скорее мы сделали попытку представить элементарные методы, результаты и некоторые основные идеи в этой области, вместе с обзором ряда новых результатов. Мы не даем ис- черпывающего обзора возможных тем, а также не входим в детали дока- зательств. После представления элементарного теоретико-числового, алгебраического и алгебро-геометрического введения в жесткие неархимедовы пространства на основе локальных одномерных полных регулярных колец, де- ревьев и формальных схем по И. Р. Шафаревичу, Ж.-П. Серру, Дж. Тэйту, Д. Мамфорду, мы даем обзор некоторых новых результатов и методов в направлении жесткости. Изложение включает (но не исчерпывает) результаты и методы H. Furstenberg, G. A. Margulis, G. D. Mostow, R. Zimmer, J. Bourgain, A. Furman, A. Lindenstrauss, S. Mozes, J. James, T. Koberda, K. Lindsey, C. Silva, P. Speh, A. Ioana, K. Kedlaya, J. Tuitman, и других. Я признателен В. М. Бухштаберу за полезные замечания в процессе обсуждения моего доклада. Я благодарю рецензента за замечания относительно содержания и стиля изложения и за предложения по улучшению. Особая признательность Н. М. Добровольскому за помощь и поддержку в процессе подготовки статьи к печати.

1. Рышков С. С. Полиэдр µ(m) и некоторые экстремальные задачи геометрии чисел // Доклады АН СССР. 1970. Т. 194, № 3. С. 514–517.

2. Hardy G. H., Littlewood J. E. Some problems of "Partitio Numerorum" : V. A further contribution to the study of Goldbach‘s problem // Proc. London Math. Soc., 1923. (2), 22, P. 46–56.

3. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. – М.: Наука. 1980.

4. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука. 1976. 119 с.

5. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. 1987. 368 с.

6. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О мощности исключительного множества в бинарной аддитивной проблеме гольдбахова типа // Доклады РАН. 2002. Т. 387, № 3. С. 295–296.

7. Постников А. Г. Избранные труды. Под редакцией В. Н. Чубарикова. М.: Физматлит. 2005. 512 с.

8. Арнольд В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели . – М.: Издательство МЦНМО. 2004. 32 c.

9. И. Р. Шафаревич Основания алгебраической геометрии. Т. 1, Т. 2. – М.: Наука. 1988. 351 с., 304 с. 10. Serre J.-P. Trees. – Berlin–Heidelberg–New York: Springer –Verlag. 2003.

10. K. Kedlaya, J. Tuitman Effective convergence bounds for Frobenius structures on connections // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. 2012. Vol. 128. P. 7–16.

11. J. Bourgain, A. Furman, E. Lindenstraussl, S. Mozes Stationary measures and equidistribution for orbits of nonabelian semigroups on the torus // J. Am. Math. Soc. 2011. Vol. 1. P. 231–280.

12. A. Ioana Cocycle superrigidity for profinite actions of property (T) groups // Duke Math. J. 2011. Vol. 2. P. 337–367.

13. J. James, T. Koberda, K. Lindsey, C. Silva, P. Speh On ergodic transformations that are both weakly mixing and uniformly rigid // New York J. Math. 2009. Vol. 15. P. 393–403.

14. M. Gromov Soft and Hard Symplectic Geometry // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Berkeley, California, USA. 1986. Vol. I. P. 81–98.

15. R. Hartshorne Algebraic Geometry. Springer –Verlag, Berlin–Heidelberg–New York. 1977.

16. J. Tate Rigid analytic spaces // Invent. Math. 1971. Vol. 12. P. 257–289.

17. D. Mumford An analytic construction of degenerating curves over complete local rings // Compositio Mathematica. 1972. Vol. 24. P. 129–174.

18. M. Raynaud G´eom´etrie analytique rigide d’apr´es Tate, Kiehl,...,table ronde a’analyse non-archimedienne // Bull. Soc. math. France. 1974. Vol. 39–40. P. 319–327.

19. M. Demazure Lectures on p - divisible groups, LNM 302. Springer Verlag, Berlin. 1972.

20. J.-P. Serre A Course of Arithmitic. Springer –Verlag, Berlin–Heidelberg–New York. 1973.

21. A. Selberg On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces // Contributions to function theory (Internat. Colloq. Function Theory, Bombay, Tata Institute of Fundamental Research. 1960. Vol. 4. P. 147–164.

22. E. Calabi, E. Vesentini On compact locally symmetric K¨ahler manifolds // Ann. of Math. 1960. Vol. 71. P. 472–507.

23. A. Weil On discrete subgroups of Lie groups I // Ann. Math. 1960. Vol. 72. P. 369–384.

24. H. Furstenberg Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation // Math. Systems Theory. 1967. Vol. 1. P. 1–49.

25. G. Mostow Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms // Publ. Math. IHES 1968. Vol. 34. P. 53–104.

26. G. Margulis Discrete groups of motions of manifolds of nonpositive curvature // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, Canada. 1974. Vol. II. P. 21–34.

27. D. Fisher Local rigidity of group actions: past, present, future // Recent Progress in Dynamics, MSRI Publications. 2007. Vol. 54. P. 211–231.

28. R. Spatzier An invitation to rigidity theory // Modern dynamical systems and applications, Cambridge University Press, Cambridge. 2004. P. 45–97.

29. S. Glasner, D. Maon Rigidity in topological dynamics // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1989. Vol. 9. P. 309–320.

30. O. Ageev, C. Silva Genericity of rigid and multiply recurrent infinite measurepreserving and nonsingular transformations // Proceedings of the 16ty Summer Conference on General Topology and its applications (New York), Topology Proc. 2002. Vol. 26. No. 2. P. 357–365.

31. J. James, T. Koberda, K. Lendsey, C. Silva, P. Speh Measurable sensitivity // Proc. Amer. Math. Soc. 2008. Vol. 136. P. 3549–3559.

32. K. Peterson Ergodic Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 2. Cambridge University Press, Cambridge. 1983.

33. P. Halmos Measure theory. D. van Nostrand Co., New York. 1950.

34. H. Furstenberg Stiffness of group actions // Tata Ins. Fund. Res. Stud. Math., Bombay. 1998. Vol. 14. P. 105-117.

35. M. Einsiedler, E. Lindenstrauss Rigidity properties of Z d -actions on tori and and solinoids // Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 9. P. 99– 110.

36. G. Margulis Problems and conjectures in rigidity theory // Mathematics: frontiers and perspectives, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 2000. P. 161–174.

37. P. Berthelot G´eom´etrie rigide et cohomologie des vari´et´es alg´ebriques de caract´eristique p // M´emoires de la Soci´et´e Math´ematique de France, Nouvelle S´erie. 1986. Vol. 23. P. 7–32.

38. K. Kazhdan On the connection of the dual space of a group with the structure of the closed subgroups // Funct. Anal. and its Appl. 1967. Vol. 1. P. 63-65.

39. G. Margulis Finitely additive invariant measures on Euclidian spaces // Ergodic Theory Dynam. Systems. 1982. Vol. 2. P. 383–396.

40. G. Mostow Strong rigidity of locally symmetric spaces. Princeton University Press, Princeton, N.J., Annals of Mathematics Studies, No. 78. 1973.

41. G. Margulis Discrete subgroups of semisimple Lie groups. Ergeb. Math. Grenzgeb. 17, Springer-Verlag, Berlin. 1991.

42. A. Furman Gromov‘s measure equivalence and rigidity of higher rank lattices // Ann. of Math. 1999. Vol. 2. P. 1059–1081, 1083–1108.

43. R. Zimmer Ergodic theory and semisimple groups. Monographs in Mathematics, 81, Birkhuser Verlag, Basel. 1984.

44. S. Popa Deformation and rigidity for group actions and von Newmann algebras // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Eur. Math. Soc., Z¨urich. 2007. Vol. I. P. 445–477.

45. G. Faltings Algebraic loop group and moduli spaces of bundles // Journ. Eur. Math. Soc. (JEMS) 2003. Vol. 5. P. 41–68.

46. E. Viehmann Newton strata in the loop group of a reductive group // Am. J. Math. 2013. Vol. 135, No. 2. P. 499–518.

47. A. Vasiu Crystalline boundedness principle // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. ´ 2006. Vol. (4) 39, no. 2. P. 245–300.

48. U. G´’ortz, T. Haines, R. Kottwitz, D. Reuman Dimensions of some affine Deligne-Lusztig varieties // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 2006. Vol. (4) 39. P. ´ 467–511.

49. C. Chai Newton polygons as lattice points // Journ. Amer. Math. Soc. 2003. Vol. 13. P. 209–241.

50. Glazunov N. M. On norm maps and "universal norms" of formal groups over integer rings of local fields // Continuous and Distributed Systems. Theory and Applications. Springer. 2014. P. 73–80.

51. Glazunov N. M. Crystalline cohomology and their applications // Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application: XII International Conference. Tula, RFFI. 2014. P. 52–54.